az ő sok matematikai hozzájárulások, Arkhimédész volt a legbüszkébb erre az eredményre, még megy olyan messzire, hogy kérje, hogy a módszer, amit használni, hogy dolgozzanak ki a képlet — a diagram körülírja a gömb belsejében egy henger együtt az arány 2:3— kell nyomtatni a sírkő.

Arkhimédész képlete KR.E. 250-ben tudományos zsenialitás volt, de a modern kalkulus segítségével a levezetés rendkívül egyszerű. Ebben a bejegyzésben elmagyarázom a híres képlet levezetésének egyik módját, és elmagyarázom, hogyan lehet ezt a szokásos háromtól eltérő dimenziókban megtenni.

a levezetés

Tekintsük az alábbi ábrát. Ez egy gömb sugarú r. a cél az, hogy megtaláljuk a kötet, és itt van, hogyan csináljuk.

figyeljük meg, hogy az egyik dolog, amit könnyen megtalálhatunk, a labda egyetlen vízszintes szeletének területe. Ez az árnyékolt lemez a diagram tetején, amelyet magasságban rajzolnak z.a lemez sugara x, amelyre meg kell találnunk a lemez területét. Az x megtalálásához egy derékszögű háromszöget alkothatunk Z és x oldalakkal, és az R hipotenusz. Akkor könnyen megoldhatjuk az x-et.

A Pitagorasz-tétel alapján tudjuk, hogy

ugrás megoldása X van

ezután az árnyékolt lemez területe egyszerűen pi-szorosa a sugár négyzetének, vagy

most, hogy megvan az egyik vízszintes lemez területe, meg akarjuk találni az összes vízszintes lemez területét a labda belsejében összegezve. Ez megadja nekünk a gömb térfogatát.

ehhez egyszerűen felülről vesszük a lemezterület képletének határozott integrálját az összes lehetséges z magasságra, amelyek-r (a labda alján) és r (a labda tetején) között vannak. Vagyis a kötetünket a

melyik a kötet képlet kerestünk.

ugyanez a logika használható a “golyó” térfogatának képleteinek levezetésére 4, 5 és magasabb dimenziókban is. Ezzel megmutathatja, hogy egy egységgömb térfogata egy dimenzióban (egy vonal) csak 2; a kötet két dimenzióban (lemez)

és — ahogy az imént bemutattuk — a kötet három dimenzióban (egy gömb)

folytatva a négy, öt és végül n dimenziót, meglepő eredmény jelenik meg.

kiderül, hogy egy egységgolyó térfogata öt dimenzióban csúcsosodik ki, majd ezt követően zsugorodik, végül megközelíti a nullát, amikor az N dimenzió a végtelenbe megy.