a lineáris egyenletrendszer megoldható a kibővített mátrix redukált echelon formává redukálásával.

a mátrix megváltoztatható csökkentett sorú echelon formájára, vagy az elemi sorműveletekkel csökkentett sorú echelon formájára redukálható. Ezek a következők:

1. cserélje ki a mátrix egyik sorát a mátrix másikával.
2. szorozzuk meg a Mátrix egy sorát egy nem nulla skaláris állandóval.
3. cserélje ki az egy sort az egy sorra, plusz a Mátrix egy másik sorának állandó szorzatával.

például a következő lineáris rendszert adva a megfelelő kibővített mátrixszal:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve ezt a rendszert, a mátrixot redukált echelon formává kell redukálni.

1. lépés: az 1.és a 3. sor váltása. Az összes vezető nulla most nem nulla vezető bejegyzés alatt van.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Állítsa a 2. sort a 2. sorra plusz (-1) szorozva az 1.sorral. Más szavakkal, vonja le az 1. sort a 2.sorból. Ez kiküszöböli a 2.sor első bejegyzését.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

4.lépés: Állítsa a 3. sort a 3. sorra plusz (-1) szorozva a 2. sorral. Más szavakkal, vonja le a 2. sort a 3.sorból. Ez kiküszöböli a 3.sor második bejegyzését.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: szorozzuk meg az egyes sorokat az első nem nulla értékének reciprokával. Ezzel minden sor 1-gyel kezdődik.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is most sorban echelon formában: az összes nem nulla sor az összes nulla sor felett van (nincsenek nulla sorok), egy sor minden vezető bejegyzése egy oszlopban található a fölötte lévő sor vezető bejegyzésétől jobbra, és a vezető bejegyzés alatti oszlop összes bejegyzése nulla.

amint az később is látható lesz, ebből a formából megfigyelhető, hogy a rendszernek végtelen sok megoldása van. Ahhoz, hogy ezeket a megoldásokat megkapjuk, a mátrixot tovább redukáljuk redukált echelon formává.

6. lépés: Állítsa a 2. sort úgy, hogy a 2.sor plusz (-1) szorozza a 3. sort, az 1. sort pedig az 1. sor plusz (-2) szorozza a 3. sort. Ez kiküszöböli a 3. sor vezető bejegyzése feletti bejegyzéseket.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Állítsa az 1. sort az 1. sorra plusz 3-szor a 2.sorra. Ez kiküszöböli a 2. sor vezető bejegyzése feletti bejegyzést.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a csökkentett echelon formában, mivel a vezető bejegyzés minden nem nulla sorban 1, és minden vezető 1 az egyetlen nem nulla bejegyzés az oszlopában.

ebből a rendszer megoldása olvasható:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}