életrajz

Paul Cohen szülei, Abraham és Minnie Cohen zsidó bevándorlók voltak az Egyesült Államokba szülőföldjükről, Lengyelországból. Abraham Cohen alapvetően furcsa ember volt, különféle munkák felé fordította a kezét, míg felesége ruhakészítésből hozott be néhány nagyon szükséges pénzt a családnak. Paul volt a legfiatalabb a szülei négy gyermeke és ő nevelkedett Brooklyn, New York. Kilenc éves korától anyja nevelte, mivel abban az időben szülei elváltak. A gyermekkortól kezdve a matematika iránt érdeklődve fiatal korától kezdte tanulmányozni a fejlett matematikát. Ő: –

… csak kilenc éves volt, amikor nővére, Sylvia kivett neki egy könyvet a kalkulusról egy New York-i könyvtárból. A könyvtárosok vonakodtak engedni neki a könyvet, még kevésbé az öccse számára, azzal érvelve, hogy még néhány főiskolai tanár sem értette a kalkulust.

kamaszkorában matematikai csodagyerekként tartották számon, aki csodálatos volt körülötte a matematikai versenyeken mutatott képességeivel. Részt vett Stuyvesant Középiskola New Yorkban, 1950-ben érettségizett tizenhat éves korában. Ez az iskola, amely jó hírnévnek örvend a matematika és a tudomány számára, csak a legjobb diákokat fogadta el a felvételi vizsga után. A Stuyvesant középiskola elvégzése után Cohen a Brooklyn College hallgatója volt 1950-től 1953-ig, de anélkül távozott, hogy diplomát szerzett volna, miután felvételt nyert a Chicagói Egyetem miután látogatást tett, hogy megvitassa kutatási lehetőségeit Chicagóban. Tanult az ő mesterképzésre Chicagóban, figyelembe tanfolyamok, hogy illeszkedjen az ő célja abban az időben, amely az volt, hogy végezzen kutatást a számelmélet. Tudását a számelmélet megérkezése előtt Chicagóban volt számos klasszikus szövegek, hogy ő olvasta a saját, míg a főiskolán. Ahhoz, hogy illeszkedjen ezzel a céllal kezdett dolgozni a számelmélet által felügyelt Androviccsal Weil. – Ben elnyerte a mesterképzésre 1954 – ben, de jött, hogy jobban érdekli az a tény, hogy bizonyos eredmények Számelmélet voltak eldönthetetlen, mint a számelmélet maga, Számelmélet, azonban továbbra is a téma az érdeklődés őt egész pályafutása során :-

tette a szokása, kérve a kar és a diáktársak, amit a legfontosabb problémák voltak a saját területén, mert ezek voltak az egyetlen probléma, amit meg akart oldani.

folytatva tanulmányait Chicagóban doktorált felügyelete alatt Antoni Zygmund-ben elnyerte a PhD 1958-ban az ő doktori értekezés témák elmélete egyediségét trigonometrikus sorozat. Ebben a dolgozatban Cohen kijelenti, hogy ő :-

… legmélyebb háláját fejezi ki Zygmund professzornak a disszertáció előkészítése során nyújtott folyamatos támogatásáért és bátorításáért.

a bevezetést a dolgozat témájának kontextusba helyezésével kezdi :-

a trigonometriai sorozatok egyediségének elmélete abból a kérdésből kiindulva tekinthető, hogy egy függvény Fourier-sorozata milyen értelemben tekinthető a függvény legitim kiterjesztésének egy végtelen trigonometriai sorozatban. Természetesen tudjuk, hogy ha a sorozat a függvényhez kötötten konvergál, akkor a sorozat együtthatóit az Euler-Fourier képletekkel kell megadni. Ilyen feltétel hiányában azonban feltehetjük magunknak a kérdést, hogy két trigonometrikus sorozat konvergálhat-e mindenhol ugyanahhoz a funkcióhoz. A válasz erre a kérdésre nemleges, és ezt lényegében Riemann bizonyította, a bizonyítékot Cantor egészítette ki. Az egyediség halmazainak elmélete a mindenütt való konvergencia feltételének a szinte mindenütt való konvergencia feltételével való helyettesítésével foglalkozik.

a kutató hallgatóként töltött évek jók voltak Cohen számára, és sok barátságot kötött diáktársaival, olyan barátságokat, amelyek egész életében fennmaradtak. John Thompson egy ilyen kutató diák volt Chicagóban. Cohen ezeken a barátságokon keresztül kezdett érdeklődni a logika iránt is: –

végzős hallgatóként Cohen kapcsolata a logikával a diákok élénk csoportjával volt, akik logikusok lettek; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan és Stanley Tennenbaum. Egy ideig élt Tennenbaum házában, és felszívódik logika ozmózis, mert nem voltak tanfolyamok logika a Chicago Matematika Tanszék.

1957-ben, doktori fokozatának odaítélése előtt Cohent egy évre kinevezték matematika oktatónak a Rochesteri Egyetemen. Ezután töltötte a tanév 1958-59 a Massachusetts Institute of Technology előtt kiadások 1959-61 mint egy fickó a Institute for Advanced Study at Princeton. Ezekben az években Cohen számos jelentős matematikai áttörést hajtott végre. A faktorizáció csoport algebrák (1959) azt mutatta, hogy minden integrálható függvény egy lokálisan kompakt csoport a konvolúció két ilyen funkciók, a probléma megoldása által felvetett Walter Rudin. 1960-ban Cohen jelentős áttörést ért el a Littlewood-sejtés megoldásában. Korábban írt Harold Davenportnak erről az eredményről, és Davenport így válaszolt:-

… Paul azt mondta, hogy ha Paul bizonyítéka megállja a helyét, javította volna a brit elemzők egy generációját, akik keményen dolgoztak ezen a problémán. Pál bizonyítéka valóban kitartott; valójában Davenport volt az első, aki javította Paul eredményét.

1961-ben Cohent kinevezték a Stanford Egyetem Matematika adjunktusává. Ben elő docens matematika a következő évben, és szintén 1962-ben elnyerte Alfred P Sloan kutatási ösztöndíj. 1962 augusztusában Cohen részt vett a Nemzetközi Matematikai Kongresszus Stockholmban. Ő volt a meghívott előadó, amely a címet idempotens intézkedések és homomorphisms csoport algebrák. A Kongresszust követően Stockholmból Leningrádba tartó körutazáson Cohen találkozott Christina Karlsszal Malung, Svédország. Összeházasodtak október 10-én 1963-ban, és volt három fia, ikrek Eric és Steven, és Charles.
volt elő egyetemi tanár a Stanford Egyetemen 1964-ben, miután ebben az időben, megoldotta az egyik legnagyobb kihívást nyitott problémák a matematikában. Cohen a “kényszerítés” nevű technikát alkalmazta, hogy bizonyítsa a választás axiómájának és az általánosított kontinuum hipotézisnek a halmazelméletben való függetlenségét. Angus MacIntyre írja :-

a kontinuum hipotézis munkájának drámai aspektusa az, hogy Cohen autodidakta kívülálló volt a logikában. Munkája a halmazelmélet és a p-adikus mezők egy nagyon jellegzetes stílus, kombinatorikus és inkább mentes az általános elmélet.

Cohen elmagyarázza, hogyan jutott el arra az ötletre, hogy kényszerítse az olvasást Kurt G. a kontinuum hipotézis konzisztenciája, egy könyv, amely az 1938-39-es haladó tanulmányi Intézetben tartott tanfolyam jegyzeteiből áll. A kontinuum hipotézis probléma volt az első David Hilbert híres 23 problémák szállított a második Nemzetközi Matematikai Kongresszus Párizsban 1900-ban. Hilbert híres beszéde a problémák a matematika megtámadta (és ma is kihívások) matematikusok megoldani ezeket az alapvető kérdéseket, és Cohen a különbséget megoldásA probléma 1.
ő kezdett dolgozni a függetlenségét a kontinuum hipotézis vége felé 1962. 1963 áprilisára úgy érezte, hogy a dolgok a helyükre kattintanak :-

minden matematikai felfedezésben vannak bizonyos pillanatok, amikor egy probléma megoldása olyan tudatalatti szinten történik, hogy utólag lehetetlennek tűnik boncolni és megmagyarázni annak eredetét. Inkább az egész ötlet egyszerre jelenik meg, gyakran talán homályos formában, de fokozatosan pontosabbá válik.

miután elolvasta Cohen bizonyíték, amit küldött egy levelet a május 9, 1963, Kurt G Enterprises válaszolt neki:-

hadd ismételjem meg, hogy valóban öröm olvasni a kontinuum hipotézis függetlenségének bizonyítékát. Úgy gondolom, hogy minden lényeges szempontból a lehető legjobb bizonyítékot szolgáltatták, és ez nem gyakran fordul elő. A bizonyíték elolvasása hasonlóan kellemes hatással volt rám, mint egy igazán jó játék látása.

Cohen beszélt munkájáról a függetlenségét az axióma a választás és a kontinuum hipotézist az axiómák Zermelo-Fraenkel halmazelmélet egy előadás függetlenség eredmények halmazelmélet szállított a nemzetközi szimpózium a “theory of Models” Berkeley július 4-én 1963. Bizonyítékai a The independence of the continuum hipotézis (1963) és a The independence of the continuum hipotézis című könyvekben jelentek meg. II (1964). Andrzej Mostowski, áttekintve ezek közül az elsőt, írja:-

ezek az eredmények az axiomatikus halmazelmélet legkiemelkedőbb nyitott problémáinak régóta várt megoldásait mutatják be, és az axiomatikus halmazelmélet tanulmányozásának legfontosabb előrelépéseként kell értékelni a G. D. D. 1940-es monográfiája, a ‘The consistence of the continuum hipotézis’ (1940) megjelenése óta. … ennek a bírálónak több mint valószínűnek tűnik, hogy Cohen felfedezésének hatása legalább olyan mély lesz a metamatematikában, mint a matematika általános filozófiájában (és talán nem csak a matematikában).

Angus MacIntyre, aki 1964-től 1967-ig a Stanford végzős hallgatója volt, ezt írja: –

fiatal matematikus koromban inspirált. Soha nem hallottam előadást halmazelmélet, hanem az algebrai geometria és a p-adikus mezők. Nagyon különleges stílusa volt, tele lelkesedéssel és nagyon jó kezekkel. A lehető legkevesebb általános elméletet alkalmazta, és mindig azt az érzést közvetítette, hogy a dolgok középpontjába került. Technikái, még olyan elvont módon is, mint a halmazelmélet, nagyon konstruktívak voltak. Ő volt dauntingly okos, és az egyik kellett volna, hogy naiv vagy kivételesen önzetlen, hogy az ember “legnehezebb probléma”, hogy a Paul I tudta, a ’60-as években.

Lásd egy cikket Paul Cohen a matematika és a tanítás ezen a linken
1966-ban Cohen megjelent a monográfia halmazelmélet és a kontinuum hipotézis alapján természetesen adta a Harvardon 1965 tavaszán. Azriel l Enterprises (aki először hallotta Cohen eredményeit a Berkeley modellelméleti konferencián) írja:-

ez a monográfia többnyire a szerző ünnepelt eredményeinek, nevezetesen a kontinuumhipotézis függetlenségének és a választás axiómájának bemutatása. Ezenkívül bemutatja a logika és a halmazelmélet fő klasszikus eredményeit is. … Ez a könyv friss és intuitív megközelítést mutat be, és bepillantást enged abba a mentális folyamatba, amely a szerzőt felfedezéseihez vezette. Az olvasó ebben a könyvben csak a megfelelő mennyiségű filozófiai megjegyzést találja meg egy matematikai monográfiához.

ugyanebben az évben Cohen Fields-érmet kapott a halmazelmélet alapjain végzett alapvető munkájáért. Mstislav Vsevolodovich Keldysh, a Szovjetunió Tudományos Akadémia elnöke mutatta be neki az 1966-os Moszkvai Nemzetközi Matematikai kongresszuson. Csak egy Fields-érmes (Lars Ahlfors) fiatalabb korban kapta meg a Fields-érmet. Alonzo Church beszédet mondott a Kongresszusnak Paul J. Cohenről és a kontinuum problémáról, amely Cohen figyelemre méltó eredményeit írta le. A Fields-érem azonban nem volt az első díj, amelyet Cohen kapott. 1964-ben elnyerte az American Mathematical Society B! – tól A B! – díjat: –

…az ő papír, egy sejtés Littlewood és idempotens intézkedések, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

három évvel később, 1967-ben Cohen megkapta a National Medal of Science:-

a matematikai logika korszakalkotó eredményeiért, amelyek élénkítették és kiszélesítették a matematika alapjait.

megkapta a díjat elnök Lyndon B Johnson egy ünnepségen a Fehér Ház február 13-án 1968. Ő is megválasztották a National Academy of Sciences, az American Academy of Arts and Sciences, és tiszteletbeli külföldi tagja a London Mathematical Society.
amellett, hogy a munka halmazelmélet, Cohen dolgozott differenciálegyenlet és harmonikus elemzés. Dawn Levy jelentések megjegyzéseket tett Cohen által Peter Sarnak (matematika professzora a Princeton és egy korábbi doktorandusz Cohen a tézis Prime geodéziai tételek (1980)):-

Paul Cohen volt az egyik legragyogóbb matematikusok a 20.században. Mint sok nagy matematikus, a matematikai érdekek és hozzájárulások nagyon széles, kezdve a matematikai analízis és differenciálegyenletek matematikai logika és a számelmélet. Ezt a szélességet hangsúlyozta a Stanfordban tavaly szeptemberben tartott konferencián, amely Cohen munkáját és 72. születésnapját ünnepelte. Az összejövetel különböző területek vezető szakértőiből állt, akik általában nem találják magukat ugyanazon előadások hallgatásában. … Cohen dinamikus és lelkes előadó és tanár volt. A matematika egyszerűnek és egységesnek tűnt. Mindig szívesen osztotta meg ötleteit és meglátásait különböző területeken. A matematika iránti szenvedélye soha nem szűnt meg.

Macintyre írja a fontos papírokat Cohen után készített kiemelkedő eredményeket a kontinuum hipotézis:-

1969-ben Cohen megjelent egy nagyon eredeti papír p-adic sejtbomlás, amely konstruktív változata a híres eredmények Ax-Kochen-Ersov. Most alapvető fontosságú a motivikus integráció logikai elemzéséhez. 1969-től Cohen a legnagyobb kihívást jelentő és hajthatatlan problémáknak szentelte magát, mint például a Riemann-hipotézis. Szenvedélyes és inspiráló matematikus volt.

Kathy Owen, aki az 1970-es években Stanfordban töltött időt, akkor Cohenről írt: –

Paul elképesztő ember volt. Türelmetlen, nyugtalan, versengő, provokatív és zseniális. Rendszeres volt a kávéórán a végzős hallgatók és a kar számára. Imádta a vita és az érvelés minden témában való vágását és lendületét, és könyörtelen volt, ha logikai gyengeséget talált egy ellentétes nézőpontban. Egyszerűen nem volt hova elrejteni! Kiemelkedett borotvaéles intellektusával, a nagy kérdések iránti elbűvölésével, furcsa érdeklődésével a “tökéletes hangmagasság” iránt (hangvillát hozott a kávéórához, és mindenkit tesztelt), valamint enyhe irritációjával azon kevesek iránt, akiknek tökéletes hangmagasságuk van. Figyelemre méltó ember volt, egy kedves barát, aki nagy hatással volt az életemre, egy fény a színek teljes spektrumával.

Cohent Marjorie Mhoon Fair professzornak nevezték el a kvantitatív tudományban Stanfordban 1972-ben, ő volt az első tulajdonosa ennek a széknek. 2004-ben hivatalosan nyugdíjba vonult, de röviddel halála előtt folytatta a tanítást Stanfordban. Ritka tüdőbetegségben halt meg a Palo Altói Stanford kórházban.
ami Cohen érdekeit kívül matematika, játszott mind a zongora és a hegedű, énekelt egy Stanford kórus, és tagja volt egy svéd népi csoport. Kiváló nyelvész volt, aki svédül, franciául, spanyolul, németül és jiddisül beszélt. Ő és a felesége gyakori vacsorákat tartottak diákoknak, kollégáknak és barátoknak. Szerette Megmutatni a látogatóknak San Franciscót és környékét.
fejezzük be ezt az életrajzot idézve Cohen visszaemlékezéseit a kontinuum hipotézisével kapcsolatos munkájáról:-

… kissé furcsa, hogy bizonyos értelemben a kontinuumhipotézis és a választott axióma nem igazán nehéz problémák – nem járnak technikai összetettséggel; mindazonáltal abban az időben nehéznek tekintették őket. Humoros módon mondhatnánk, hogy a bizonyításomhoz való hozzáállás a következő volt. Amikor először bemutatták, néhány ember úgy gondolta, hogy rossz. Aztán azt gondolták, hogy rendkívül bonyolult. Akkor azt gondolták, hogy könnyű. De természetesen könnyű abban az értelemben, hogy világos filozófiai ötlet van. Voltak technikai pontok, tudod, ami zavart, de alapvetően ez nem volt igazán rendkívül érintett kombinatorikus probléma; ez egy filozófiai ötlet volt.