Az ebben a szakaszban szereplő egyenletek nem a kvantummechanika axiómáit használják, hanem olyan kapcsolatokat használnak, amelyeknek közvetlen megfeleltetése van a klasszikus mechanikában.

például: egy merev szabályos, kristályos (nem amorf) rács N részecskékből áll. Ezek a részecskék lehetnek atomok vagy molekulák. N nagy szám, mondjuk 1023 nagyságrendű, vagy az Avogadro-szám sorrendjében egy szilárd anyag tipikus mintájához. Mivel a rács merev, az atomoknak erőket kell gyakorolniuk egymásra, hogy minden atom egyensúlyi helyzete közelében maradjon. Ezek az erők lehetnek Van der Waals-erők, kovalens kötések, elektrosztatikus vonzerőkés mások, amelyek végső soron az elektromos erőnek köszönhetők. A mágneses és gravitációs erők általában elhanyagolhatóak. Az egyes atompárok közötti erőket egy v potenciális energiafunkció jellemezheti, amely az atomok elválasztásának távolságától függ. A teljes rács potenciális energiája az összes páros potenciális energia összege, szorozva 1/2-es tényezővel a kettős számlálás kompenzálására:

1 2 Fő/Fő/Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / Fő / j} \right)}

ahol ri az i − edik atom helyzete, v pedig a két atom közötti potenciális energia.

nehéz ezt a soktestű problémát kifejezetten megoldani sem a klasszikus, sem a kvantummechanikában. A feladat egyszerűsítése érdekében általában két fontos közelítést alkalmaznak. Először is, az összeget csak a szomszédos atomok felett hajtják végre. Bár a valódi szilárd anyagok elektromos erői a végtelenségig terjednek, ez a közelítés továbbra is érvényes, mert a távoli atomok által termelt mezőket hatékonyan átvizsgálják. Másodszor, az V potenciált harmonikus potenciálként kezeljük. Ez mindaddig megengedett, amíg az atomok egyensúlyi helyzetük közelében maradnak. Formálisan ezt úgy érjük el, hogy Taylor kiterjeszti v az egyensúlyi értéke körül kvadratikus sorrendre, így V arányos az elmozdulással x2 a rugalmas erő pedig egyszerűen arányos x-szel. A magasabb rendű kifejezések figyelmen kívül hagyásának hibája továbbra is kicsi, ha x közel marad az egyensúlyi helyzethez.

a kapott rács rugókkal összekötött gömbök rendszereként jeleníthető meg. Az alábbi ábra egy köbös rácsot mutat, amely jó modell sokféle kristályos szilárd anyag számára. Más rácsok közé tartozik a lineáris lánc, amely egy nagyon egyszerű rács, amelyet hamarosan használni fogunk a fononok modellezéséhez. (Más gyakori rácsokról lásd: kristályszerkezet.)

a rács potenciális energiája így írható:

{i j } ( n n ) 1 2 N N 6 ( R I − R j ) 2 . {\displaystyle \ sum _ {\{ij\} (\mathrm {nn})} {\tfrac {1}{2}}nn\omega ^{2}\balra (R_{i}-R_{j} \ jobbra)^{2}.}

itt a harmonikus potenciálok természetes frekvenciája, amelyekről feltételezzük, hogy azonosak, mivel a rács szabályos. Ri az i-edik atom helyzetkoordinátája, amelyet most egyensúlyi helyzetéből mérünk. A legközelebbi szomszédok összegét (nn) jelöljük.

Lattice wavesEdit

fonon négyzetes rácson keresztül terjed (az atomok elmozdulásai nagymértékben eltúlzottak)

az atomok közötti kapcsolatok miatt egy vagy több atom elmozdulása egy vagy több az egyensúlyi helyzetükből származó atomok rezgéshullámok halmazát eredményezik, amelyek a rácson keresztül terjednek. Az egyik ilyen hullám a jobb oldali ábrán látható. A hullám amplitúdóját az atomok egyensúlyi helyzetükből való elmozdulása adja. A hullámhossz (hullámhossz) megjelölve van.

van egy minimális lehetséges hullámhossz, amelyet az atomok közötti egyensúlyi elválasztás kétszerese ad meg. Bármely ennél rövidebb hullámhossz leképezhető a 2A-nál hosszabb hullámhosszra, a rács periodicitása miatt. Ez a Nyquist–Shannon mintavételi tétel egyik következményének tekinthető, a rácspontokat a folyamatos hullám “mintavételi pontjainak” tekintik.

nem minden lehetséges rácsrezgésnek van jól meghatározott hullámhossza és frekvenciája. A normál üzemmódok azonban jól meghatározott hullámhosszokkal és frekvenciákkal rendelkeznek.

egydimenziós latticeEdit

animáció, amely az egydimenziós rács első 6 normál módját mutatja: a részecskék lineáris láncát. A legrövidebb hullámhossz a tetején van, fokozatosan hosszabb hullámhossz alatt. A legalacsonyabb vonalakban a hullámok jobbra mozgása látható.

az atomok 3 dimenziós rácsához szükséges elemzés egyszerűsítése érdekében kényelmes egy 1 dimenziós rács vagy lineáris lánc modellezése. Ez a modell elég összetett ahhoz, hogy megjelenítse a fononok legfontosabb jellemzőit.

Classical treatmentEdit

az atomok közötti erők feltételezhetően lineárisak és legközelebbi szomszédosak, és rugalmas rugóval vannak ábrázolva. Feltételezzük, hogy minden atom pontrészecske, és a mag és az elektronok lépésben mozognak (adiabatikus tétel):

n − 1 n n + 1 A (Z) A (Z) n+n+1 A (Z) A (Z) n − edik atomot jelöli az n-edik atomból, a (Z) az atomok közötti távolság, amikor a lánc a (z) o+++++++++o+++++++o++++++o++++++o++++++o+++++o+++++o+++++o+++ + + o + + + + + o + + + + + o + + + + + o + + + + + o + + + + + o + + + + + o + + + + + o + + + + + o···un-1 un un + 1

ahol n az n-edik atomot jelöli az n-edik atomból, a az atomok közötti távolság, amikor a egyensúlyban, és Un az n-edik atom elmozdulása egyensúlyi helyzetéből.

Ha C a rugó rugalmas állandója, m pedig az atom tömege, akkor az n-edik atom mozgási egyenlete

– 2 c u n + C (u n + 1 + u n − 1 ) = m d 2 u n d t 2 . {\displaystyle-2cu_{n} + c \ balra (u_{n + 1} + u_{n-1}\jobbra)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}

Ez egy kapcsolt egyenletek halmaza.

mivel a megoldások várhatóan oszcillatívak lesznek, az új koordinátákat diszkrét Fourier-transzformáció határozza meg, annak szétválasztása érdekében.

Put

u n = fő n a K / 2 fő = 1 N K k e i k N a . {\displaystyle u_{n}= \ sum _ {Nak / 2 \ pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}

itt az na megfelel a skaláris térelmélet folytonos változójának x. A Qk-t normál koordinátáknak, kontinuum mezőmódoknak nevezzük.

a mozgásegyenlet helyettesítése a következő szétválasztott egyenleteket eredményezi (ez jelentős manipulációt igényel a diszkrét Fourier − transzformáció ortonormalitási és teljességi viszonyainak felhasználásával,

2 C ( cos kb k a-1 ) Q k = m d 2 Q k d t 2 . {\displaystyle 2C (\cos {ka-1})Q_{k}=m {\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}

ezek az egyenletek a szétválasztott harmonikus oszcillátorokra, amelyek megoldása Q k = A k e I kb ; KB K = 2 C m ( 1 − cos kb ka ) . {\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i \ omega _ {k}t}; \ qquad \ omega _ {k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}

minden normál koordináta Qk a rács független rezgési módját képviseli hullámszámmal k, amelyet normál módnak neveznek.

a WK esetében a második egyenlet a szögfrekvencia és a hullámszám közötti diszperziós viszony.

a kontinuumhatáron belül, a(0), n ( n), a (Z), un (X), egy skaláris mező, és (K) A (Z) és (K) A (Z) A (Z) {\displaystyle \Omega (k)\propto ka}

. Ez a klasszikus szabad skaláris térelmélet, független oszcillátorok összeállítása.

Quantum treatmentEdit

az egydimenziós kvantummechanikai harmonikus lánc N azonos atomból áll. Ez a rács legegyszerűbb kvantummechanikai modellje, amely lehetővé teszi a fononok keletkezését. Ennek a modellnek a formalizmusa könnyen általánosítható két és három dimenzióra.

az előző szakasszal ellentétben a tömegek helyzetét nem ui jelöli, hanem x1, x2…, egyensúlyi helyzetükből mérve (azaz. xi = 0, ha az I részecske egyensúlyi helyzetben van.) Két vagy több dimenzióban az xi vektormennyiségek. Ennek a rendszernek a Hamiltonianusa

H = 6 n p i 2 2 m + 1 2 m 2 m ( n n ) ( x i − x j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}} = \sum _{I=1}^{n} {\frac {p_ {i}^{2}} {2m}}+{\frac {1} {2}} m\omega ^{2}\sum _{\{IJ\} (\mathrm{NN})} \balra(x_ {i}-x_{J}\jobbra)^{2}}

ahol m az egyes atomok tömege (feltételezve, hogy mindenki számára egyenlő), xi és pi pedig a helyzet, illetve a lendület operátorok, az i-edik atom esetében az összeg a legközelebbi szomszédokra (nn) vonatkozik. Arra számítunk azonban, hogy egy rácsban olyan hullámok is megjelenhetnek, amelyek részecskékként viselkednek. Szokás a hullámokkal foglalkozni Fourier tér amely a hullámvektor normál módjait használja változóként a részecskék koordinátái helyett. A normál üzemmódok száma megegyezik a részecskék számával. A Fourier tér azonban nagyon hasznos, tekintettel a rendszer periodicitására.

bevezethető N “normál koordináták” QK halmaza, amely az XK diszkrét Fourier − transzformációjaként és N “konjugált Momentum” – ként határozható meg, a PK Fourier-transzformációjaként definiálva:

Q K = 1 n á l i k a l x L K = 1 n á l l e-i k a l p l . {\displaystyle {\begin{igazított}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{igazított}}}

a KN mennyiség kiderül, hogy a fonon hullámszáma, azaz 2 MHz osztva a hullámhosszal.

Ez a választás megtartja a kívánt kommutációs viszonyokat a valós térben vagy a hullámvektor térben

= i ( i) = i(i) (i) = i (m) = i (m) = i (i) (m) = i (i) (i) (i) (k)=i (k) (k)=0 (I) {\displaystyle (\begin {igazított})\left=I\HBAR \Delta _{L) M}\\\bal&={\frac {1} {n}}\sum _{l , m}e^{ikal}e^{−ikam}\left\\&={\FRAC {i\hbar} {n}}\sum _{l}e^{ial\left (k − k ‘\right)}=I\HBAR \Delta _{K , K’}\\\bal& = \bal = 0\end{igazított}}}

az általános eredmény

∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k ‘K k K k’ ∑ l e l ( k + k ‘ ) e i a m k ‘ = ∑ k K k K − k e i a m k ∑ l o l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{igazítva}\összeg _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\összeg _{kk’}Q_{k}Q_{k’}\összeg _{l}e^{ial\left(k+k’\right)}e^{iamk’}=\összeg _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\összeg _{l}{p_{l}}^{2}&=\összeg _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{igazítva}}}

A potenciális energia kifejezés

1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k K k K − k ( 2 − e-k − e − i k ) = 1 2 ∑ k i ω k 2 K k K k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\összeg _{j}\balra(x_{j}-x_{j+1}\jobbra)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k} Q_ {- k} (2-e^{ika}-e^{- ika})={\tfrac{1} {2}}\sum _{k} m {\omega _{k}}^{2}Q_ {k} Q_ {- k}}

ahol

ahol 0 = 2 ( 1-cos, 2 (ka ) = 2|sin, K 2|{\displaystyle \Omega _{k}={\sqrt{2\omega ^{2}\balra(1 – \cos, {ka}\jobbra)}}=2\Omega \balra / \sin {\frac{ka} {2}}\jobbra/}

a Hamiltont a wavevektor térben úgy lehet írni, hogy

H = 1 2 m ({\displaystyle {\mathcal {h}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\balra(\pi _{k}\PI _{−k} + m^{2}\omega _{K}^{2}q_{k}q_ {−k}\jobbra)}

a helyzetváltozók közötti kapcsolások ha a Q és a főnevek Remeték lennének (de nem azok), akkor a transzformált Hamilton-féle n nem kapcsolt harmonikus oszcillátort írna le.

a kvantálás formája a határfeltételek megválasztásától függ; az egyszerűség kedvéért periodikus határfeltételeket szabnak meg, meghatározva az (N + 1)th atomot az első atommal egyenértékűnek. Fizikailag ez megfelel a lánc végéhez való csatlakozásnak. Az így kapott kvantálás

k = k n = 2 N N A N = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k=k_{n} = {\frac {2 \ pi n}{Na}} \ quad {\mbox{for }}n=0, \ pm 1, \ pm 2, \ldots\pm {\frac {N}{2}}.\ }

az n felső határa a minimális hullámhosszból származik, amely kétszerese az a rácsköznek, amint azt fentebb tárgyaltuk.

a harmonikus oszcillátor sajátértékei vagy energiaszintjei a WK módnak:

E n = ( 1 2 + n ) kb n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\balra({\tfrac {1}{2}}+n\jobbra)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }

a szintek egyenletesen vannak elosztva:

1 2 6 fő , 3 2 fő , 5 2 fő {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }

ahol 1/2 db egy kvantum harmonikus oszcillátor nullponti energiája.

pontos mennyiségű energiát kell a harmonikus oszcillátor rácsba juttatni, hogy a következő energiaszintre tolja. A foton esetéhez képest, amikor az elektromágneses mezőt kvantálják, a vibrációs energia kvantumát phononnak nevezzük.

minden kvantumrendszer hullámszerű és részecskeszerű tulajdonságokat mutat egyszerre. A fonon részecskeszerű tulajdonságait legjobban a második kvantálás módszereivel és a később ismertetett operátor technikákkal lehet megérteni.

háromdimenziós rácsszerkesztés

Ez általánosítható háromdimenziós rácsra. A K hullámszámot egy háromdimenziós k hullámvektor váltja fel. Továbbá minden k most három normál koordinátához van társítva.

az új S = 1, 2, 3 indexek jelzik a fononok polarizációját. Az egydimenziós modellben az atomok csak a vonal mentén mozogtak, így a fononok hosszanti hullámoknak feleltek meg. Három dimenzióban a rezgés nem korlátozódik a terjedés irányára, hanem a merőleges síkokban is előfordulhat, mint a keresztirányú hullámok. Ez további normál koordinátákat eredményez, amelyeket-amint azt a Hamilton-féle forma jelzi-független fononfajnak tekinthetünk.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

kétféle M1 tömegű ion vagy atom egydimenziós váltakozó tömbjéhez, m2 periodikusan megismételve a távolságban, rugóállandó rugókkal összekötve K, kétféle rezgési mód eredménye:

2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2) K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 Sin 2 k a 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \Omega _{\pm }^{2}=k\balra({\frac {1}{M_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\jobbra)\PM k{\sqrt {\balra({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\jobbra)^{2}-{\frac {4\Sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{M_{1}m_{2}}}}},}

ahol k a rezgéshez kapcsolódó hullámvektor hullámhossz: k = 2! \ \ displaystyle k = {\tfrac {2\pi} {\lambda}}}

.

a frekvencia és a hullámvektor közötti kapcsolatot, a(z) = (k), diszperziós relációnak nevezzük. A pluszjel az úgynevezett optikai módot, a mínuszjel pedig az akusztikus módot eredményezi. Optikai módban két szomszédos különböző Atom mozog egymással szemben, míg akusztikus módban együtt mozognak.

az akusztikus fonon terjedési sebességét, amely egyben a rácsban lévő hangsebesség is, az akusztikus diszperziós reláció meredeksége adja meg, wk/kb (lásd csoportsebesség.) Alacsony k (azaz hosszú hullámhosszú) értékeknél a diszperziós reláció szinte lineáris, a hangsebesség pedig megközelítőleg wa, független a fonon frekvenciájától. Ennek eredményeként a különböző (de hosszú) hullámhosszúságú fononok csomagjai nagy távolságokra terjedhetnek a rácson anélkül, hogy szétszakadnának. Ez az oka annak, hogy a hang jelentős torzítás nélkül terjed a szilárd anyagokon keresztül. Ez a viselkedés nagy értékeknél kudarcot vall k, azaz rövid hullámhosszak, a rács mikroszkopikus részletei miatt.

egy olyan kristály esetében, amelynek primitív cellájában legalább két atom van, a diszperziós viszonyok kétféle fonont mutatnak, nevezetesen optikai és akusztikus módokat, amelyek megfelelnek a diagram felső kék és alsó piros görbéjének. A függőleges tengely a fonon energiája vagy frekvenciája, míg a vízszintes tengely a hullámvektor. A −A és a-A határok az első Brillouin zóna határai. A primitív cellában N 6 különböző atomot tartalmazó kristály három akusztikai módot mutat: egy longitudinális akusztikai módot és két keresztirányú akusztikai módot. Az optikai módok száma 3N-3. Az alsó ábra a Gaas több fononmódjának diszperziós viszonyait mutatja a wavevector függvényében k annak fő irányaiban Brillouin zóna.

számos fonon diszperziós görbét mértek rugalmatlan neutronszórással.

a folyadékokban lévő hang fizikája eltér a szilárd anyagokban lévő hang fizikájától, bár mindkettő sűrűséghullám: a folyadékokban lévő hanghullámoknak csak hosszanti komponensei vannak, míg a szilárd anyagokban a hanghullámoknak hosszanti és keresztirányú komponensei vannak. Ennek oka az, hogy a folyadékok nem képesek támogatni a nyírófeszültségeket (de lásd viszkoelasztikus folyadékok, amelyek csak a magas frekvenciákra vonatkoznak).

A fononok értelmezése második kvantálási technikákkal

a fent levezetett Hamilton-függvény klasszikus Hamilton-függvénynek tűnhet, de ha operátorként értelmezik, akkor leírja a nem kölcsönhatásban lévő bozonok kvantumtérelméletét.A második kvantálási technika, hasonlóan a kvantum harmonikus oszcillátorokhoz használt létra operátor módszerhez, az energia sajátértékek kinyerésének eszköze a differenciálegyenletek közvetlen megoldása nélkül. A Hamilton-féle, h {\displaystyle {\mathcal {H}}}

, valamint a konjugált pozíció, Q K {\displaystyle Q_{k}}

div \\displaystyle\PI _{k}}

a fenti kvantumkezelési szakaszban definiálhatjuk a létrehozási és megsemmisítési operátorokat: b k = I ω k 2 ℏ ( Q-k + i m ω k Π − k ) {\displaystyle p_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}

b k † = I ω k 2 ℏ ( Q − k − i ω k Π k ) {\displaystyle {p_{k}}^{\tőr }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}

a kanonikus kommutációs reláció helyettesítésével a következő kommutátorok könnyen beszerezhetők:

= K , K ‘, = = 0 {\displaystyle \left=\delta _{k,k’},\quad {\Big }=\left=0}

ennek segítségével a BK és BK operátorok invertálhatók a konjugált pozíció és momentum újradefiniálására:

Q k = ℏ 2 m ω k ( b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({p_{k}}^{\tőr }+p_{-k}\right)}

, majd a Π k = i ℏ m ω k 2 ( b k † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({p_{k}}^{\tőr }-p_{-k}\right)}

Közvetlenül e definíciók helyettesítése a Q K {\displaystyle Q_{k}}

és a K {\displaystyle \Pi _{k}}

Wavevector tér Hamiltoni, mivel a fent definiált, majd az egyszerűsítés azt eredményezi, hogy a Hamilton a formát veszi fel: H = (b) k (b) k + 12) {\displaystyle {\mathcal {h}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\balra ({b_{k}}^{\Dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\jobbra)}

Ez a második kvantálási technika, más néven a foglalkozási szám megfogalmazása, ahol nk = BK a foglalkozási szám. Ez N független oszcillátor Hamiltonians összege, mindegyik egyedi hullámvektorral rendelkezik, és kompatibilis a kvantum harmonikus oszcillátor módszereivel (vegye figyelembe, hogy nk hermitian). Amikor egy Hamiltonian írható az ingázó al-Hamiltoniak összegeként, az energia sajátállamokat az egyes különálló al-Hamiltoniak sajátállamainak szorzatai adják meg. A megfelelő energiaspektrumot ezután az al-Hamiltoniak egyedi sajátértékeinek összege adja meg.

a kvantum harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan meg lehet mutatni, hogy a BK és a BK egy szimpla mező gerjesztést hoz létre és pusztít el, egy fonont, amelynek energiája KB WK.

ebből a technikából a fononok három fontos tulajdonságára lehet következtetni. Először is, a fononok bozonok, mivel tetszőleges számú azonos gerjesztés hozható létre a létrehozó operátor ismételt alkalmazásával BK MHz. Másodszor, minden fonon egy “kollektív mód”, amelyet a rács minden atomjának mozgása okoz. Ez látható abból a tényből, hogy az itt a momentum térben definiált létrehozási és megsemmisítési operátorok minden atom pozíciójának és momentum operátorainak összegeit tartalmazzák, amikor pozíciótérbe vannak írva (lásd pozíció és momentum tér). Végül a helyzet–helyzet korrelációs függvény segítségével kimutatható, hogy a fononok a rács elmozdulásának hullámaként működnek.

Ez a technika könnyen általánosítható három dimenzióra, ahol a Hamiltonian a következő formát ölti:

h = kb k, s = 1 3 kb, s (b k , s b k, s + 1 2). {\displaystyle {\mathcal {H}}= \ sum _ {k} \ sum _ {s = 1}^{3} \ hbar\, \ omega _ {k, s} \ balra ({b_{k,s}}^{dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\jobbra).}