Ha egy gumiszalagot egy alma felszíne köré nyújtunk, akkor egy pontig összezsugoríthatjuk, ha lassan mozgatjuk, anélkül, hogy elszakadna, és anélkül, hogy hagynánk elhagyni a felszínt. Másrészt, ha elképzeljük, hogy ugyanazt a gumiszalagot valahogy a megfelelő irányba nyújtották egy fánk körül, akkor nincs mód arra, hogy egy pontig zsugorítsuk anélkül, hogy megtörnénk a gumiszalagot vagy a fánkot. Azt mondjuk, hogy az alma felülete “egyszerűen össze van kötve”, de a fánk felülete nem. Poincar közel száz évvel ezelőtt tudta, hogy a kétdimenziós szférát lényegében az egyszerű összekapcsolhatóság ezen tulajdonsága jellemzi, és feltette a megfelelő kérdést a háromdimenziós szférára.

Ez a kérdés rendkívül nehéznek bizonyult. Közel egy évszázad telt el a Henri Poincar által 1904-ben megfogalmazott megfogalmazás és Grigoriy Perelman megoldása között, amelyet preprints-ben jelentettek be ArXiv.org 2002-ben és 2003-ban. Perelman megoldása Richard Hamilton Ricci-áramlás elméletén alapult, és Cheeger, Gromov és Perelman által a metrikák tereire vonatkozó eredményeket használta fel. Ezekben a papírokban Perelman is bizonyította William Thurston Geometrizációs sejtés, egy speciális eset, amely a Poincar sejtés. Lásd a sajtóközleményt március 18, 2010.

kép jóváírás:http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/