a valós elemzés tárgya a függvények, szekvenciák és halmazok viselkedésének és tulajdonságainak tanulmányozása a valós számvonalon, amelyet matematikailag ismerősnek jelölünk R. a valós elemzéssel megvizsgálni kívánt fogalmak olyan tulajdonságokat tartalmaznak, mint a határok, a folytonosság, a származékok (változási sebességek) és az integráció (a változás mértéke az idő múlásával). Ezek közül az ötletek közül sok fogalmi vagy gyakorlati szinten a matematika alacsonyabb szintjein foglalkozik, beleértve a rendszeres elsőéves kalkulus tanfolyamot is, így a nem kezdő olvasó számára a valódi elemzés tárgya meglehetősen értelmetlen és triviális lehet. A valódi elemzés azonban olyan mélységben, bonyolultságban és vitathatatlanul szépségben rejlik, hogy azért van, mert a mindennapi matematika felszíne alatt van a korrektség bizonyossága, amit szigorúságnak nevezünk, amely áthatja az egész matematikát. Így a valódi elemzés bizonyos fokig egy szigorú, jól bevált keret kidolgozásának tekinthető, amely támogatja azokat az intuitív ötleteket, amelyeket gyakran magától értetődőnek veszünk.

a valódi elemzés nagyon egyszerű téma, mivel egyszerűen a matematikai ötletek szinte lineáris fejlődése, amellyel a matematika története során találkozott. Ahelyett azonban, hogy néha bizonytalan intuícióra támaszkodnánk (amelyet mindannyian éreztünk, amikor egy olyan problémát oldottunk meg, amelyet nem értettünk), szigorú matematikai tételekhez rögzítjük. Ebben a könyvben kezdjük látni, hogy nincs szükségünk intuícióra a matematika megértéséhez – szükségünk van egy kézikönyvre.

a könyv átfogó tézise a valós számok axiomatikusan történő meghatározása. Az hogy működne? Ez a könyv így fog olvasni: megállapítottuk azokat a tulajdonságokat, amelyek szerintünk meghatározzák a valós számokat. Ezután ezekből a tulajdonságokból – és csak ezekből a tulajdonságokból-bebizonyítjuk, hogy a valós számok úgy viselkednek, ahogyan mindig is elképzeltük őket. Ezután átdolgozzuk az összes elemi tételünket és tényünket, amelyeket matematikai életünk során összegyűjtöttünk, hogy minden összeálljon, mintha mindig is igaz volt, mielőtt elemeztük volna; hogy valójában végig szigorú volt – kivéve, hogy most tudni fogjuk, hogyan jött létre.

ne higgye, hogy miután befejezte ezt a könyvet, a matematika vége. Az akadémiai tanulmányok más területein bepillantások vannak a matematika furcsa birodalmába, amelyek egyre inkább a szokásos gondolkodás élvonalába kerülnek. Miután megértette ezt a könyvet, a matematika most úgy tűnik, mintha hiányos lenne, és hiányzik a fogalmak, amelyek talán már korábban is csodálkoztak. Ebben a könyvben bepillantást nyújtunk valami másba a matematika számára, mint a valós számok és a valós elemzés. Végül is a matematika, amiről itt beszélünk, mindig úgy tűnik, hogy csak egy változót foglal magában a számok, műveletek és összehasonlítások tengerében.

Megjegyzés: Az alábbiakban használt matematikai szimbólumok táblázata és definícióik a függelékben találhatók.

• Előszó
• régi Bevezetés
• Stíluskönyv – hogyan kell olvasni ezt a wikikönyvet

az alábbiakban felsoroljuk a más könyvekből összeállított fejezetek válogatott listáját. Segíteniük kell a matematikai szigor kifejlesztését, amely szükséges gondolkodásmód, amire szüksége lesz ebben a könyvben, valamint a magasabb matematikában.

• a halmazelmélet jelölése és matematikai bizonyításai, a matematikai bizonyítás könyvből
• a kalkulus fogalmakkal való munka tapasztalata, a kalkulus könyvből