5.15: Equazioni di Poisson e Laplace
In questa sezione, sviluppiamo un approccio alternativo al calcolo \(V({\bf r})\) che soddisfa queste condizioni al contorno, e quindi facilita l’analisi del campo potenziale scalare in prossimità di strutture e proprietà del materiale spazialmente variabili. Questo approccio alternativo si basa sull’equazione di Poisson, che ora deriviamo.
Iniziamo con la forma differenziale della Legge di Gauss (Sezione 5.7):
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Successivamente, applichiamo la relazione (Sezione 5.14):
\ cedendo \
Questa è l’equazione di Poisson, ma non è nella forma in cui è comunemente impiegata. Per ottenere la forma alternativa, si consideri l’operatore \(\nabla \cdot \nabla\) in coordinate Cartesiane:
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l’Equazione di Poisson (Equazione \ref{m0067_ePoisson}) afferma che il Laplaciano di potenziale elettrico campo è uguale al volume la densità di carica divisa per la costante dielettrica, con un cambiamento di segno.
Si noti che l’equazione di Poisson è un’equazione differenziale parziale, e quindi può essere risolta utilizzando tecniche ben note già stabilite per tali equazioni. Infatti, l’Equazione di Poisson è un’equazione differenziale disomogenea, con la parte disomogenea \(- \rho_v / \ epsilon\) che rappresenta la sorgente del campo. In presenza della struttura del materiale, identifichiamo le condizioni al contorno rilevanti alle interfacce tra i materiali e il compito di trovare \(V({\bf r})\) è ridotto al compito puramente matematico di risolvere il problema del valore al contorno associato (vedere “Lettura aggiuntiva” alla fine di questa sezione). Questo approccio è particolarmente efficace quando uno dei materiali è un conduttore perfetto o può essere modellato come tale materiale. Questo perché – come notato all’inizio di questa sezione-il potenziale elettrico in tutti i punti sulla superficie di un conduttore perfetto deve essere uguale, risultando in una condizione al contorno particolarmente semplice.
In molte altre applicazioni, la carica responsabile del campo elettrico si trova al di fuori del dominio del problema; cioè, abbiamo campo elettrico diverso da zero (quindi, potenziale elettrico potenzialmente diverso da zero) in una regione che è gratuita. In questo caso, l’equazione di Poisson si semplifica all’equazione di Laplace:
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L’equazione di Laplace (Equation \ref{m0067_eLaplace}) afferma che il Laplaciano del campo potenziale elettrico è zero in una regione priva di sorgenti.