La distanza limite alla quale un satellite può avvicinarsi senza rompersi dipende dalla rigidità del satellite. Ad un estremo, un satellite completamente rigido manterrà la sua forma fino a quando le forze di marea lo spezzeranno. All’altro estremo, un satellite altamente fluido si deforma gradualmente portando ad un aumento delle forze di marea, causando il satellite ad allungarsi, aggravando ulteriormente le forze di marea e facendolo rompere più facilmente.

La maggior parte dei satelliti reali si troverebbe da qualche parte tra questi due estremi, con una resistenza alla trazione che rende il satellite né perfettamente rigido né perfettamente fluido. Ad esempio, un asteroide cumulato di macerie si comporterà più come un fluido che come un solido roccioso; un corpo ghiacciato si comporterà in modo abbastanza rigido all’inizio, ma diventerà più fluido man mano che il riscaldamento delle maree si accumula e i suoi ghiacci iniziano a sciogliersi.

Ma si noti che, come definito sopra, il limite di Roche si riferisce a un corpo tenuto insieme esclusivamente dalle forze gravitazionali che causano la fusione di particelle altrimenti non collegate, formando così il corpo in questione. Il limite di Roche è anche solitamente calcolato per il caso di un’orbita circolare, anche se è semplice modificare il calcolo da applicare al caso (ad esempio) di un corpo che passa il primario su una traiettoria parabolica o iperbolica.

Calcolo del satellite rigidomodifica

Il limite di Roche del corpo rigido è un calcolo semplificato per un satellite sferico. Le forme irregolari come quelle della deformazione delle maree sul corpo o le orbite primarie sono trascurate. Si presume che sia in equilibrio idrostatico. Queste ipotesi, sebbene non realistiche, semplificano notevolmente i calcoli.

Il limite di Roche per un satellite sferico rigido è la distanza, d {\displaystyle d}

, dalla primaria alla quale la forza gravitazionale su una massa di prova sulla superficie dell’oggetto è esattamente uguale alla forza di marea che allontana la massa dall’oggetto: d = R M ( 2 ρ ρ M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(2{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

dove R M {\displaystyle R{M}}

è il raggio della primaria, ρ M {\displaystyle \rho _{M}}

è la densità del primario, e ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

è la densità del satellite. Questo può essere equivalentemente scritto: d = R m ( 2 M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

dove R m {\displaystyle R{m}}

è il raggio della secondaria, M {\displaystyle M_{M}}

è la massa del primario, e M m {\displaystyle M_{m}}

è la massa del secondario.

Questo non dipende dalla dimensione degli oggetti, ma dal rapporto tra densità. Questa è la distanza orbitale all’interno della quale il materiale sciolto (ad esempio regolite) sulla superficie del satellite più vicino al primario sarebbe stato tirato via, e allo stesso modo il materiale sul lato opposto al primario si allontanerà anche da, piuttosto che verso, il satellite.

Si noti che questo è un risultato approssimativo poiché la forza di inerzia e la struttura rigida vengono ignorate nella sua derivazione.

Il periodo orbitale dipende quindi solo dalla densità del secondario:

P = 2 π ( d 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( d 3 ( 4 / 3 ) π G R a M 3 ρ M ) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}

dove G è la costante gravitazionale. Ad esempio, una densità di 3.346 g / cc (la densità della nostra luna) corrisponde a un periodo orbitale di 2.552 ore.

Derivazione del formulaEdit

per determinare il limite di Roche, prendere in considerazione una piccola massa u {\displaystyle u}

sulla superficie del satellite più vicino al primario. Ci sono due forze su questa massa u {\displaystyle u}

: l’attrazione gravitazionale verso il satellite e l’attrazione gravitazionale verso il primario. Supponiamo che il satellite sia in caduta libera attorno al primario e che la forza di marea sia l’unico termine rilevante dell’attrazione gravitazionale del primario. Questa ipotesi è una semplificazione in quanto la caduta libera si applica veramente solo al centro planetario, ma sarà sufficiente per questa derivazione.

La forza gravitazionale F G {\displaystyle F_{\text{G}}}

sulla massa u {\displaystyle u}

verso il satellite di massa m {\displaystyle m}

e raggio r {\displaystyle r}

può essere espresso secondo la legge di Newton della gravitazione. F G = G m u r 2 {\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}

la forza di marea F T {\displaystyle F_{\text{T}}}

sulla massa u {\displaystyle u}

verso le primarie con raggio R {\displaystyle R}

e massa M {\displaystyle M}

, ad una distanza d {\displaystyle d}

tra i centri dei due corpi, può essere espresso approssimativamente come F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d ^ {3}}}}

.

Per ottenere questa approssimazione, trova la differenza nell’attrazione gravitazionale del primario sul centro del satellite e sul bordo del satellite più vicino al primario:

F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

Nell’approssimazione in cui r ≪ R {\displaystyle r\ll R}

e R < d {\displaystyle R<d}

, si può dire che la r 2 {\displaystyle r^{2}}

al numeratore e ogni termine con r {\displaystyle r}

il denominatore va a zero, il che ci dà: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

o

G m u r 2 = 2 G M u r d 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

che dà il limite di Roche, d {\displaystyle d}

d = r ( 2 M ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}

Il raggio del satellite non dovrebbe apparire nell’espressione del limite, così riscritto in termini di densità.

Per una sfera di massa M {\displaystyle M}

può essere scritta come: M = 4 π r M R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}

dove R {\displaystyle R}

è il raggio della primaria.

E allo stesso modo

m = 4 π r m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}

dove r {\displaystyle r}

è il raggio del satellite.

Sostituire le masse nell’equazione per il limite di Roche, e annullando 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}

dà d = r ( 2 ρ M R 3 r m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}

che può essere semplificata il seguente limite di Roche:

d = R ( 2 ρ ρ M m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( ρ ρ M m ) 1 3 {\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.26 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

.

Una formulaEdit più accurata

Poiché un satellite vicino probabilmente orbiterà in un’orbita quasi circolare con rotazione sincrona, considera come la forza centrifuga dalla rotazione influenzerà i risultati. Che la forza sia

C = ω 2 r = G M u r d 3 {\displaystyle F_{C}=\omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}}

e viene aggiunto a FT. Che fa la forza-equilibrio di calcolo produce questo risultato per la Roche limite:

d = R M ( 3 M ρ ρ m ) 1 3 ≈ 1.442 R M ( ρ ρ M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{M}\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (1)

o: d = R m ( 3 M M M m ) 1 3 ≈ 1.442 R m M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (2)

Utilizzare m = 4 π r m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}

(dove r {\displaystyle r}

è il raggio del satellite) per sostituire ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

nella formula(1), si può avere una terza formula:
d = ( 9 M M 4 π ρ m ) 1 3 ≈ 0.8947 ( M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=\left({\frac {9M_{M}}{4\pi \rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.8947\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (3)

Quindi, è sufficiente osservare la massa della stella (pianeta) e stimare la densità del pianeta (satellite) per calcolare il limite di Roche del pianeta (satellite) nel sistema stellare (planetario).

limite di Roche, Collina sfera ed il raggio di planetEdit

si Consideri un pianeta con una densità ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

e con un raggio di r {\displaystyle r}

, che orbita intorno ad una stella withis è il significato fisico del limite di Roche, lobo di Roche e Hill sphere.

la Formula(2) può essere descritto come: R Roche = R Collina a 3 M m 3 = R secondario 3 M m 3 {\displaystyle R{\text{Roche}}=R_{\text{Collina}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}=R_{\text{secondario}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}}

, una perfetta simmetria matematica.
Questo è il significato astronomico di Roche limite e Hill sfera.

Nota: Roche limit e Hill sphere sono completamente diversi l’uno dall’altro, ma sono entrambi opera di Édouard Roche.

La sfera di collina di un corpo astronomico è la regione in cui domina l’attrazione dei satelliti mentre il limite di Roche è la distanza minima a cui un satellite può avvicinarsi al suo corpo primario senza che la forza di marea superi la gravità interna che tiene insieme il satellite.

Nota : Roche limit e Hill sphere sono completamente diversi l’uno dall’altro, ma sono entrambi opera di Édouard Roche.

La sfera di collina di un corpo astronomico è la regione in cui domina l’attrazione dei satelliti mentre il limite di Roche è la distanza minima a cui un satellite può avvicinarsi al suo corpo primario senza che la forza di marea superi la gravità interna che tiene insieme il satellite.

Satelliti fluidimodiFica

Un approccio più accurato per calcolare il limite di Roche tiene conto della deformazione del satellite. Un esempio estremo sarebbe un satellite liquido bloccato in orbita attorno a un pianeta, dove qualsiasi forza che agisce sul satellite lo deformerebbe in uno sferoide prolato.

Il calcolo è complesso e il suo risultato non può essere rappresentato in una formula algebrica esatta. Roche stesso ha derivato la seguente soluzione approssimativa per il limite di Roche:

d ≈ 2.44 R ( ρ M ρ m ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2.44 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}

Tuttavia, una migliore approssimazione, che tiene conto del primario tiene conto dello schiacciamento e il satellite di massa è:

d ≈ 2.423 R ( ρ ρ M m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 M ) + c 3 R ( 1 + m ) 1 − c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\circa 2.423 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}

dove c / R {\displaystyle c/R}

si tiene conto dello schiacciamento della primaria. Il fattore numerico è calcolato con l’aiuto di un computer.

La soluzione fluida è appropriata per corpi che sono tenuti insieme solo vagamente, come una cometa. Ad esempio, l’orbita decadente della cometa Shoemaker–Levy 9 attorno a Giove passò entro il suo limite di Roche nel luglio 1992, facendola frammentare in un numero di pezzi più piccoli. Al suo prossimo approccio nel 1994 i frammenti si schiantarono sul pianeta. Shoemaker-Levy 9 è stato osservato per la prima volta nel 1993, ma la sua orbita ha indicato che era stato catturato da Giove alcuni decenni prima.

Derivazione della formulaEdit

Poiché il caso del satellite fluido è più delicato di quello rigido, il satellite viene descritto con alcune ipotesi semplificative. Primo, si supponga che l’oggetto si compone di fluido incomprimibile che è costante la densità ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

e volume V {\displaystyle V}

che non dipendono da forze esterne o interne.

In secondo luogo, supponiamo che il satellite si muova in un’orbita circolare e rimanga in rotazione sincrona. Ciò significa che la velocità angolare ω {\displaystyle \omega }

alla quale ruota attorno al suo centro di massa è la stessa della velocità angolare alla quale si muove attorno al baricentro generale del sistema.

La velocità angolare ω {\displaystyle \ omega}

è data dalla terza legge di Keplero: ω 2 = G M + m d 3 . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Quando M è molto più grande di m, questo sarà vicino a

ω 2 = G M d 3 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}

La rotazione sincrona implica che il liquido non si muove e il problema può essere considerato statico. Pertanto, la viscosità e l’attrito del liquido in questo modello non giocano un ruolo, poiché queste quantità giocherebbero un ruolo solo per un fluido in movimento.

Date queste ipotesi, le seguenti forze dovrebbero essere prese in considerazione:

• La forza di gravitazione dovuta al corpo principale;
• la forza centrifuga nel sistema di riferimento rotante; e
• il campo di auto-gravitazione del satellite.

Poiché tutte queste forze sono conservative, possono essere espresse per mezzo di un potenziale. Inoltre, la superficie del satellite è equipotenziale. Altrimenti, le differenze di potenziale darebbero origine a forze e movimenti di alcune parti del liquido in superficie, il che contraddice l’ipotesi del modello statico. Data la distanza dal corpo principale, deve essere determinata la forma della superficie che soddisfa la condizione equipotenziale.

Come l’orbita è stata assunta circolare, il totale della forza gravitazionale orbitale e la forza centrifuga che agisce sul corpo principale annulla. Ciò lascia due forze: la forza di marea e la forza centrifuga rotazionale. La forza di marea dipende dalla posizione rispetto al centro di massa, già considerata nel modello rigido. Per i piccoli corpi, la distanza delle particelle liquide dal centro del corpo è piccola in relazione alla distanza d dal corpo principale. Così la forza di marea può essere linearizzata, risultante nella stessa formula per FT come indicato sopra.

Mentre questa forza nel modello rigido dipende solo dal raggio r del satellite, nel caso del fluido, tutti i punti sulla superficie devono essere considerati e la forza di marea dipende dalla distanza Δd dal centro di massa a una data particella proiettata sulla linea che unisce il satellite e il corpo principale. Chiamiamo Δd la distanza radiale. Dal momento che la forza di marea è lineare in Δd, il relativo potenziale è proporzionale al quadrato della variabile e per m ≪ M {\displaystyle m\ll M}

abbiamo V T = − 3 G M 2 d 3 Δ d 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

allo stesso modo, la forza centrifuga ha un potenziale

V C = − 1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M 2 d 3 Δ d 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

per rotazione velocità angolare ω {\displaystyle \omega }

.

Vogliamo determinare la forma del satellite per il quale la somma del potenziale di auto-gravitazione e VT + VC è costante sulla superficie del corpo. In generale, un tale problema è molto difficile da risolvere, ma in questo caso particolare, può essere risolto da una congettura abile a causa della dipendenza quadrata del potenziale di marea sulla distanza radiale Δd Ad una prima approssimazione, possiamo ignorare il potenziale centrifugo VC e considerare solo il potenziale di marea VT.

Poiché il potenziale VT cambia solo in una direzione, cioè la direzione verso il corpo principale, il satellite può assumere una forma assialmente simmetrica. Più precisamente, possiamo supporre che esso assuma una forma di solido di rivoluzione. L’auto-potenziale sulla superficie di un tale solido di rivoluzione può dipendere solo dalla distanza radiale dal centro di massa. In effetti, l’intersezione del satellite e un piano perpendicolare alla linea che unisce i corpi è un disco il cui confine secondo le nostre ipotesi è un cerchio di potenziale costante. Se la differenza tra il potenziale di auto-gravitazione e VT è costante, entrambi i potenziali devono dipendere allo stesso modo da Δd. In altre parole, l’auto-potenziale deve essere proporzionale al quadrato di Δd. Quindi si può dimostrare che la soluzione equipotenziale è un ellissoide di rivoluzione. Data una densità e un volume costanti l’auto-potenziale di tale corpo dipende solo dall’eccentricità ε dell’ellissoide:

V s = V 0 + G π r m ⋅ f ( ε ) ⋅ Δ d 2 , {\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}}+G\pi \rho _{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \Delta d^{2},}

dove V s 0 {\displaystyle V_{s_{0}}}

è la costante auto-potenziale sull’intersezione tra il bordo circolare del corpo centrale e un piano di simmetria dato dall’equazione Δd=0.

Il adimensionale funzione f è determinato dall’accurata soluzione per il potenziale dell’ellissoide

f ( ε ) = 1 − e 2 ε 3 ⋅ {\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}

e, abbastanza sorprendentemente, non dipende dal volume della tv.

Sebbene la forma esplicita della funzione f appaia complicata, è chiaroche possiamo e facciamo scegliere il valore di ε in modo che il potenziale VT sia uguale a VS più una costante indipendente dalla variabile Δd. Dall’ispezione, questo si verifica quando

2 G π r M R 3 d 3 = G π ρ m f ( ε ) {\displaystyle {\frac {2G\pi \rho _{M}R^{3}}{d^{3}}}=G\pi \rho _{m}f(\varepsilon )}

Questa equazione può essere risolta numericamente. Il grafico indica che ci sono due soluzioni e quindi quella più piccola rappresenta la forma di equilibrio stabile (l’ellissoide con l’eccentricità minore). Questa soluzione determina l’eccentricità dell’ellissoide di marea in funzione della distanza dal corpo principale. La derivata della funzione f ha uno zero in cui viene raggiunta la massima eccentricità. Questo corrisponde al limite di Roche.

Più precisamente, il limite di Roche è determinato dal fatto che la funzione f, che può essere considerata come una misura non lineare della forza che schiaccia l’ellissoide verso una forma sferica, è limitata in modo che vi sia un’eccentricità alla quale questa forza contraente diventa massima. Poiché la forza di marea aumenta quando il satellite si avvicina al corpo principale, è chiaro che esiste una distanza critica alla quale l’ellissoide viene strappato.

L’eccentricità massima può essere calcolata numericamente come lo zero della derivata di f’. Si ottiene

ε max ≈ 0 . 86 {\displaystyle \ varepsilon _{\text{max}} \ approx 0{.}86}

che corrisponde al rapporto degli assi ellissoidi 1: 1.95. Inserendo questo nella formula per la funzione f si può determinare la distanza minima alla quale esiste l’ellissoide. Questo è il limite di Roche,

d ≈ 2 . 423 R R ρ ρ m ρ m 3 . {\displaystyle d \ circa 2{.}423 \ cdot R\cdot {\sqrt {\frac {\rho _{M}} {\rho _{m}}}}\,.}

Sorprendentemente, incluso il potenziale centrifugo fa una differenza notevole, anche se l’oggetto diventa un ellissoide di Roche, un ellissoide triassiale generale con tutti gli assi con lunghezze diverse. Il potenziale diventa una funzione molto più complicata delle lunghezze degli assi, che richiede funzioni ellittiche. Tuttavia, la soluzione procede molto come nel caso di sola marea, e troviamo

d ≈ 2 . 455 R R ρ ρ m ρ m 3 . {\displaystyle d \ circa 2{.}455 \ cdot R\cdot {\sqrt {\frac {\rho _{M}} {\rho _{m}}}}\,.}