実解析の主題は、数学的によく知られているRとして示す実数直線上の関数、シーケンス、および集合の挙動と特性を研究することに関 これらのアイデアの多くは、概念的または実用的なレベルで、通常の最初の年の微積分コースを含む数学の低いレベルで扱われているので、初心者の読者には、実際の分析の主題はむしろ無意味で些細なように見えるかもしれません。 しかし、実際の分析は、深さ、複雑さ、そして間違いなく美しさであり、それは日常の数学の表面の下で、数学の全体に浸透する正確さの保証、私たちが厳し したがって、実際の分析は、ある程度、私たちが頻繁に当たり前の直感的なアイデアをサポートするための厳密で実績のあるフレームワークの開発と見なすこ

実際の分析は、数学の話を通して遭遇した数学的アイデアのほぼ線形の発展であるという点で、非常に簡単な主題です。

実際の分析は、数学の話 しかし、時には不確実な直感（私たちが理解していなかった問題を解決していたときに私たち全員が感じていた）に頼るのではなく、厳密な数学的定理 この本を通して、私たちは数学を理解するために直感を必要としないことを理解し始めます。

この本の包括的な論文は、実数を公理的に定義する方法です。 それはどのように動作しますか？ この本はこのように読むでしょう：私たちは実数を定義すると思うプロパティを設定します。 次に、これらの特性から、そしてこれらの特性のみから、実数が常に想像していたように振る舞うことを証明します。 私たちは、それがすべて一緒に来るように、私たちの数学的な生活の上に収集したすべての私たちの基本定理と事実を再加工します,ほとんどの場合、それは常に我々はそれを分析する前に真実であったかのように;それは実際にはすべてに沿って厳格だったこと-今、私たちはそれがどのようになったかを知っているだろうことを除いて.あなたがこの本を完成させたら、数学は終わったとは思わないでください。

あなたがこの本を完成させたら、数学は終わったとは思わないで 学術研究の他の分野では、ますます標準的な思考の最前線にもたらされた数学の奇妙な領域の垣間見ることがあります。 この本を理解した後、数学は今、それは不完全であり、多分あなたが前に疑問に思っている概念に欠けているかのように見えるでしょう。 この本では、実数と実際の分析よりも数学に何かを垣間見ることができます。 結局のところ、私たちがここで話す数学は、常に数と演算と比較の海の中で一つの変数しか関与していないようです。

注：以下で使用される数学記号とその定義の表は、付録にあります。P>

• 序文
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• スタイルのマニュアル–このwikibookを読む方法

他の本からキュレーションされた章の選択リストを以下に示します。 彼らはあなたがこの本だけでなく、高等数学で必要とする思考の必要なモードであるあなたの数学的厳しさを開発するのに役立つはずです。p>

• セット理論の表記法と数学的証明、本から数学的証明
• 微積分の概念での作業の経験、本から微積分