微積分の開発の2,000年前に働いて、ギリシャの数学者アルキメデスは、球の体積のための簡単な公式を働いた:

彼の多くの数学的貢献のうち、アルキメデスは最も多かったこの結果を誇りに思って、彼が式を作るために使用した方法、すなわち2：3の比とともに円筒内の球を外接する図が彼の墓石に刻印されていることをアルキメデスの公式は紀元前250年に科学的な天才のストロークだったかもしれませんが、現代の微積分の助けを借りて導出は非常に簡単です。

アルキメデスの公式は、紀元前250年に科学的な天才のストロークだったかもしれませんが、現代の微積分の助けを借り この記事では、有名な式を導出する1つの方法を説明し、通常の3つ以外の次元でどのように行うことができるかを説明します。

導出

以下の図を考えてみましょう。 目標は、ボリュームを見つけることであり、ここで我々はそれを行う方法です。/div>私たちが簡単に見つけることができるものは、ボールの単一の水平スライスの面積です。 これは図の上部にある影付きのディスクで、高さzで描かれています。 Xを見つけるには、辺zとx、および斜辺rを持つ直角三角形を形成することができます。 その後、我々は簡単にxを解くことができます。P>

ピタゴラスの定理によって、我々はそれを知っています

その後、影付きディスクの面積は、単にpi倍の半径の二乗、または

これで、1つの水平ディスクの面積が得られたので、ボール内のすべての水平ディスクの面積を合計したいと思います。 それは私たちに球の体積を与えるでしょう。

これを行うには、-r（ボールの底部）とr（ボールの上部）の間のすべての可能な高さzについて、上からディスク領域の公式の定積分を取るだけです。 つまり、ボリュームは

これは私たちが探していたボリューム式です。この同じ論理を使用して、4、5、およびそれ以上の次元の「ボール」の体積の公式を導出することもできます。

この論理を使用して、4、5、およびそれ以上の次元の「ボール」の体積の公式を導出することもできます。 そうすることで、1つの次元（線）の単位ボールの体積がちょうど2であることを示すことができます; 二次元（ディスク）のボリュームは

および—as私たちはちょうど示しました—三次元（球）のボリュームは

単位ボールの体積は5次元でピークに達し、その後縮小し、次元nが無限大になるにつれて最終的にゼロに近づきます。

単位ボールの体積は5次元でピークに達し、その後縮小します。

単位ボールの体積は無限大になります。