線形方程式のシステムは、その拡張行列を縮小されたエシェロン形式に還元することによって解くことができます。

行列は、基本行操作を使用して、縮小行エシェロン形式に変更するか、行を縮小行エシェロン形式に変更することができます。 これらは次のとおりです。

1. 行列の1つの行を行列の別の行と交換します。
2. 行列の1行にゼロ以外のスカラー定数を乗算します。
3. 1つの行を1つの行に加えて、行列の別の行を定数倍に置き換えます。

例えば、対応する拡張行列を持つ次の線形システムが与えられたとき、次のようになります。:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve このシステムでは、行列は縮小されたエシュロン形式に縮小されなければならない。

ステップ1：行1と行3を切り替えます。 すべての先行ゼロは、非ゼロ先行エントリの下になりました。
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2:行2を行2プラス(-1)回行1に設定します。 つまり、行1から行2を減算します。 これにより、行2の最初のエントリが削除されます。
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

ステップ4：行3を行3プラス（-1）回行2に設定します。 つまり、行2から行3を減算します。 これにより、行3の2番目のエントリが削除されます。
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5:各行に最初のゼロ以外の値の逆数を掛けます。 これにより、すべての行が1で始まるようになります。
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is すべての非ゼロ行はすべてゼロの行の上にあります（ゼロ行はありません）、行の各先行エントリは、その上の行の先行エントリの右側の列にあり、先行エ後で示すことができるように、この形式から、システムには無限に多くの解があることを観察することができます。

次のようにします。

次のように、 これらの解を得るために、行列はさらに縮小されたエシェロン形式に縮小されます。ステップ6：行2を行2プラス（-1）回の行3に設定し、行1を行1プラス（-2）回の行3に設定します。 これにより、行3の先頭のエントリより上のエントリが削除されます。
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: 行1を行1に加えて3回行2に設定します。 これにより、行2の先頭のエントリの上のエントリが削除されます。
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a 各非ゼロ行の先頭のエントリは1であり、各先頭の1はその列の唯一の非ゼロエントリであるため、縮小エシュロン形式です。

これからシステムの解決策を読むことができます:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}