彼は間違いなくです！ しかし、彼の数学的革命はスムーズに行かなかった。 すべての革命指導者のように、彼は最初に最大限の困難を抱えていました。 革命を想像しないように。 しかし、数学へのゲームを変えるアプローチで彼に参加するために他の人を説得する。 ガロアがまだ生きていたとき、彼の革命的なアイデアはフランスの科学アカデミーによって数回拒否されました…Siméon Denis Poissonのような当時の最高のフランスの数学者はそれを得ることができなかったからです！ 部分的にガロアの読めない手書きのために右に表示されました…

へへ…私たちは分母の共役で上下に乗算するように教えられました。 この共役は得られた置き換え$-$よ$+$(またはその逆)の分母

わかっている！ 複雑な式/1/（\sqrt{2}-1）.はsqrt\sqrt{2}+1.と同じ数を表します。 そして、これは私たちの教師が私たちが他の方法ではなく一つの方法で結果を書くことを望んでいた理由を説明しています：すべてが同じ方法で書

それはそうです！ これにより置換の方程式になることを示し、第三国の$\sqrt{2}-1$書き込については、合理的な数の$\sqrt{2}$と$\sqrt{2}^2$!

わかっている！ しかし、私たちが使用した方法は非常に一般的であるということさえきちんとしています！ 同様の技術で、分母からすべてのラジカルを削除できるようになりました！

共役数

私たちはほとんどそこにいます！ 私たちは、多項式を介して最終的な迂回が必要です。Euc x^4-2x=0?のようなユークリッド除算

ガロアのあいまいさ

最後に、ガロアのそれは何ですか？

共役は完全に置換可能です。 これは、systematically\sqrt{2}.をその共役–\sqrt{2}.で体系的に変更した場合でも、等式が依然として保持されることを意味します。 たとえば、we1/（\sqrt{2}-1）=\sqrt{2}+1!を持っていたので、straight1/（-\sqrt{2}-1）=-\sqrt{2}+1!と簡単に言うことができます。 同様に、我々は次の見事な含意を持っています：

正確に！ 重要なのは、これらの代数的ルールの$\mathbb Q$しないものの自然$x_1$;だけでは既約多項式$x_1$がソリューション！ そのため、ルールの$\mathbb Q$については、それぞれ一致しこれらの$\mathbb Q$,…,$\mathbb Q$が$x_1$置き換え、その質$x_2$,…,$x_n$. 特に、フィールドmathbb\mathbb Q{2}]jとmathbb\mathbb Q{2}j]jはまったく同じ規則に応じて動作します。 それが共役が完全に順列である理由です！ しているとは言い分野の$\mathbb Q{2}]$と$\mathbb Q{2}j]$は同形は、その置き換え$\sqrt{2}$を$\sqrt{2}j$は同型$\mathbb Q{2}]\rightarrow\mathbb Q{2}j]$. より一般的には、既約多項式方程式から導かれた代数的規則に基づいて構築された体は、既約多項式方程式の破裂体と呼ばれます。

次元2の2つのベクトル空間が多かれ少なかれ同じであることは非常によく似ています（しかしより強い）方法で！ これにはひどい結果があります。 それは、代数的な観点から、数とその共役のいずれかの間に違いを生むことは無意味であることを意味します（あなたが体系的にその共役で数を置 したがって、たとえば、sqrt\sqrt{2}andと–\sqrt{2}algebraは代数的に区別できません！ これを念頭に置いて、ここで私が思いついた別の冗談です:

ではないですか？ これら二つの数の区別は、順序関係やトポロジーのような代数以外のいくつかの数学を必要とします。 うに、インスタンスの関係$\sqrt{2}>0$更と$\sqrt{2}$よ$-\sqrt{2}$がで進める。 しかし、多項式の等式に制限すると、sqrt\sqrt{2}.と–\sqrt{2}.の間には全く違いはありません。 同様に、$i$と$i$,システムの既約多項式方程式が$x^2+1=0$でも代数的に見す しかし、私たちは任意にthem i themをそれらの1つと呼んでいます。 これがガロアが彼の理論をあいまいさの理論と呼んだ理由です。 今日の曖昧さは、従来の平方根の$-1$中$i$と$i$くと呼ばれる対称性と$i$と$i$.

ガロア群

ガロア群は共役によって安定な体の拡大に特に焦点を当てています。 このような安定体の拡大は現在ガロア拡大と呼ばれている。 そのため、$x_1$に所属するガロア拡張し、このガロア拡張を含む全体$x_2$,…,$x_n$.共役は基底体に依存するので、共役による安定性もそうである。

Galois対応

ガロア群の問題は、それらが非常に大 これは特に無限グループGal Gal（\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q）.の場合です。 このような巨大で複雑なグループを逮捕するために、ガロアはこれらを小さな断片に分割する素晴らしいアイデアを持っていました。では、どのようにしてガロア群を破ることができますか？驚くべきことに、GaloisはGalois群がある部分体を変更しないものだけを見ることによって対称性の部分群に分割できることを発見しました。 たとえば、former\mathbb Q$はformer\mathbb Q{2}、j].のサブフィールドです。 このように、対称性の$\mathbb Q{2},j]$しない、何か変化が$\mathbb Q$形部分群のガロア群の$\mathbb Q{2},j]/\mathbb Q$. これらの対称性は、ガロア群Gal Gal（\mathbb Q{2}、j]/\mathbb Q）.を形成します。

わかっている！ 私はこれらの対称性をplug\mathbb Q{2}、j].をplug\mathbb Q.に差し込む方法として視覚化したいと思います。 ここでは、2つの方法（同一性と水平軸対称性）がありますが、より高い次元では対称性ははるかに複雑になる可能性があります。

正確に！ ことになるで$\mathbb Q{2},j]$はガロア拡張の$\mathbb Q$ることが分野の拡張$\mathbb Q$.

そして、より多くのがあります！ ガロアは、ガロア拡大のすべての部分群がこのように得られることを示した！ より正確には、マッピングの分野$K$間のガロア拡張$\mathbb Q{2},j]$の分野の$\mathbb Q$めのガロア群$Gal(\mathbb Q{2},j]/K)$bijective. この事実はガロア対応と呼ばれています！ この対応は、ガロア拡張extension\mathbb Q/\mathbb Q$の下に概略的に表示されます。このマッピングは、フィールドK K$が大きいほどガロア群Gal Gal（\mathbb Q{2}、j]/K）smallerが小さくなるという意味でも厳密に減少しています。Gal\mathbb Q{2}、j]/K.はGal\mathbb Q{2}、j]/K.です。 とは当然のことながら、この定理について、任意のベース分野$k$以外の$\mathbb Q$びガロア拡張$L/k$以外の$\mathbb Q{2},j]$. ここでのK K.は基本フィールドのガロア拡張ではないことに注意してください。 しかし、Gal L/k.がガロア拡張である限り、L L/K.もガロア拡張になります。それはGal Gal（\mathbb Q{2}、j]/\mathbb Q）/にどのように適用されますか？このグループを直接記述しようとするのではなく、そのサブグループ$Gal（\mathbb Q{2}、j]/\mathbb Q）.に焦点を当てましょう。 しかその$\sqrt{2}$に及ぶ$\mathbb Q{2},j]$が$\mathbb Q$. したがって、mathbb\mathbb Q{2}、j]/\mathbb Q$はGal\sqrt{2}.にまたがるガロア拡張です。 そのため、定理して、そのすべてのautomorphismsこのガロア拡張され替え$\sqrt{2}$の3分との複合体（自$\sqrt{2}j$と$\sqrt{2}j^2$)!次に、Gal Gal(\mathbb Q{2},j]/\mathbb Q)groupは、3を法とする整数のグループgroup mathbb Z/3\mathbb Z additionと同型であることがわかります。今、私はGaloisサブグループ$Gal（\mathbb Q{2}、j]/\mathbb Q）subgroupのように、Gal Gal（\mathbb Q{2}、j]/\mathbb Q{2}]）.の他の部分を研究し続けることができます。 しかし、私はむしろガロアの強力な定理の別のものを使用します。 つまり、he mathbb Q/\mathbb Q$がさらにガロア拡張自体であれば、サブグループGal Gal（\mathbb Q{2}、j]/\mathbb Q）subgroupは正常であることが証明されました。