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Phonon

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このセクションの方程式は量子力学の公理を使用せず、代わりに古典力学に直接対応が存在する関係を使用します。例えば、剛体の規則的な結晶（非晶質ではない）格子は、N個の粒子で構成されています。

これらの粒子は、原子または分子であり得る。 Nは、固体の典型的なサンプルのための1023のオーダー、またはアボガドロ数のオーダーと言う、大きな数です。 格子は剛体であるため、各原子を平衡位置に近づけるためには、原子が互いに力を発揮しなければなりません。 これらの力は、ファンデルワールス力、共有結合、静電引力、および他のものであってもよく、これらのすべては最終的には電気力によるものである。 磁気力と重力は一般的に無視できる程度です。 原子の各対の間の力は、原子の分離の距離に依存するポテンシャルエネルギー関数Ｖによって特徴付けることができる。 格子全体のポテンシャルエネルギーは、二重カウントを補償するために、すべてのペアワイズポテンシャルエネルギーに1/2の係数を掛けた和です:

{\displaystyle{\frac{1}{2}}\sum_{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}

ここで、riはi番目の原子の位置であり、vは2つの原子間のポテンシャルエネルギーである。この多体問題を古典力学または量子力学のいずれかで明示的に解決することは困難である。

タスクを単純化するために、2つの重要な近似が通常課されます。 まず、合計は隣接する原子に対してのみ実行されます。 実際の固体中の電気力は無限大にまで及ぶが、遠い原子によって生成される場が効果的に遮蔽されるので、この近似は依然として有効である。 次に、電位Ｖを高調波電位として扱う。 これは、原子がそれらの平衡位置に近いままである限り許容される。 形式的には、これはテイラーがVをその平衡値について二次次数に拡大し、vは変位x2に比例し、弾性力は単にxに比例することによって達成される。 Xが平衡位置に近い場合、高次の項を無視する際の誤差は小さくなります。

結果として得られる格子は、ばねによって接続されたボールのシステムとして視覚化することができます。 次の図は、多くの種類の結晶性固体の良好なモデルである立方格子を示しています。 他の格子は、我々はすぐにフォノンのモデリングに使用する非常に単純な格子である線形鎖が含まれています。 （他の一般的な格子については、結晶構造を参照してください。P>

キュービック。格子のポテンシャルエネルギーは、≤{i j}(n n)1 2n n ω2(r i−R j)2と書くことができる。 {\displaystyle\sum_{\{ij\}(\mathrm{nn})}{\tfrac{1}{2}}nn\omega^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right).{2}..これは\sum_{ij\}(\mathrm{nn}).{2}.を意味します。{\displaystyle\sum_{\{ij\}(\mathrm{nn})}{\tfrac{1}{2}}nn\omega^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right).{2}.ここで、ωは調和ポテンシャルの固有振動数であり、これは格子が規則的であるため同じであると仮定される。 Riはi番目の原子の位置座標であり、これを平衡位置から測定します。 最近傍の和は(nn)と表記される。

格子wavesEdit

正方格子を伝搬するフォノン（原子の変位が大きく誇張されている）

原子間の接続のために、一つ以上の原子格子を通って伝播する振動波。 そのような波の1つが右の図に示されています。 波の振幅は、それらの平衡位置からの原子の変位によって与えられる。 波長λは印が付いています。

原子間の平衡分離aの二倍によって与えられる最小の可能な波長があります。 これより短い任意の波長は、格子の周期性のために、2aより長い波長にマッピングすることができる。 これはナイキスト–シャノンのサンプリング定理の帰結の一つと考えることができ、格子点は連続波の”サンプリング点”と見なすことができる。

すべての可能な格子振動が明確に定義された波長と周波数を持っているわけではありません。 しかし、通常のモードは明確に定義された波長と周波数を持っています。

一次元latticeEdit

一次元格子の最初の6つの通常モードを示すアニメーション：粒子の線形鎖。 最も短い波長は下の漸進的により長い波長が付いている上に、あります。 最も低い線では、右への波の動きが見ることができます。原子の3次元格子に必要な解析を単純化するためには、1次元格子または線形鎖をモデル化するのが便利です。 このモデルは、フォノンの顕著な特徴を表示するのに十分複雑です。

古典的なtreatmentEdit

原子間の力は線形で最も近いものであると仮定され、弾性ばねによって表される。 各原子は点粒子であると仮定され、核と電子はステップで移動する（断熱定理）:

n−1n n+1←→

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···

→→→→→→国連− 1国連un+1

ここで、nのラベルのn番目の原子のNにおいて、ａは原子間の距離の場合は、チェーンが均衡、国連の変位のn番目の原子からの平衡位置にします。

Cがばねの弾性定数であり、mが原子の質量である場合、n番目の原子の運動方程式は

−2C u n+C(u n+1+u n−1)=m d2u n d t2である。 {\displaystyle-2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac{d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}。{\displaystyle-2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac{d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}。}

これは結合された方程式のセットです。解は振動的であると予想されるので、新しい座標はそれらを分離するために離散フーリエ変換によって定義される。

解は振動的であると予想され

Put

u n=≤N a k/2≤=1N Q k e i k n a. {\displaystyle u_{n}=\sum_{Nak/2\pi=1}.{N}Q_{k}e^{ikna}である。}

{\displaystyle u_{n}=\sum_{Nak/2\pi=1}.{N}Q_{k}e^{ikna}。ここで、naはスカラー場理論の連続変数xに対応し、委譲する。 Qkは、通常の座標、連続場モードφ kとして知られています。

運動方程式への代入は、以下のデカップリング方程式を生成する（これは、離散フーリエ変換の正規直交性と完全性の関係を使用して重要な操作を必要とする

2C(cos≤k a−1)Q k=m d2Q k d t2。 {\displaystyle2C(\cos{ka-1})Q_{k}=m{\frac{d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}。{\displaystyle2C(\cos{ka-1})Q_{k}=m{\frac{d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}}……………….}

これらは、解Q k=a k e i ω k t;ω k=2c m(1−cos≤k a)を持つデカップリング高調波発振器の方程式です。 {\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega_{k}t};\qquad\omega_{k}={\sqrt{{\frac{2C}{m}}(1-\cos{ka})}}。{\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega_{k}t};\qquad\omega_{k}={\sqrt{{\frac{2C}{m}}(1-\cos{ka})}}。}

各法線座標Qkは、normal kを持つ格子の独立した振動モードを表し、これは法線モードとして知られています。

第二の方程式は、wkのために、角周波数とumberとの間の分散関係として知られています。

連続極限において、Naを固定したa→0,N→∞、スカラー体un→φ(x)、およびω(k)∈k a{\displaystyle\omega(k)\propto ka}

{\displaystyle\omega(k)\propto ka}

である。 これは、古典的な自由スカラー場理論、独立した振動子の集まりに相当します。

Quantum treatmentEdit

一次元量子力学的調和鎖は、N個の同一の原子からなる。 これは、フォノンがそこから生じることを可能にする格子の最も単純な量子力学的モデルである。 このモデルの形式は二次元と三次元に容易に一般化可能である。

前のセクションとは対照的に、質量の位置はuiではなく、代わりにx1、x2…によって表され、それらの平衡位置から測定される（すなわち、質量の位置 粒子iが平衡位置にある場合、xi=0。）二つ以上の次元において、xiはベクトル量である。 この系のハミルトニアンは

H=∑i=1n p i2 2m+1 2m ω2∑{i j}(n n)(x i−x j)2{\displaystyle{\mathcal{H}}=\sum_{i=1}{{N}{\frac{p_{i}2{2}}{2m}}+{\frac{1}{2}}m\omega^{2}\sum_{\{ij\}(\mathrm{nn})}\X_{i}-X_{J}\right)id{2}}

{\displaystyle{\mathcal{H}}=\sum_{i=1}P{n}{\frac{P_{i}2{2}}{2m}}+{\frac{1}{2}}m\omega^{2}\sum_{\{ij\}(\mathrm{nn})}\left(X_{i}-X_{J}\right)id{2}}{\displaystyle{\mathcal{H}}=\sum_{i=1}P{n}{\frac{P_{i}J{2}}{2m}}+{\frac{1}{2}}m\omega^{2}\sum_{\{ij\}(\mathrm{nn})}\left(X_{I}-X_{J}ここで、mは各原子の質量（すべての原子に対して等しいと仮定）であり、xiとpiはそれぞれ位置演算子と運動量演算子です, i番目の原子との合計は、最近傍（nn）を介して行われます。 しかし、格子内には粒子のように振る舞う波も現れることが期待されています。 粒子の座標の代わりに変数としてwavevectorの通常のモードを使用するフーリエ空間の波を扱うのが通例です。 通常モードの数はパーティクルの数と同じです。 しかし，Ｆｏｕｒｉｅｒ空間は系の周期性を考えると非常に有用である。

xkの離散フーリエ変換として定義されるN個の”法線座標”Qkと、pkのフーリエ変換として定義されるN個の”共役運動量”Θ Kの集合が導入され得る。

Q k=1N≤l e i k a l x l≤k=1n≤l e−i k a l p l。 {\displaystyle{\begin{aligned}Q_{k}&={\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum_{l}e^{ikal}x_{l}\\Pi_{k}&={\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum_{l}e^{-ikal}p_{l}\\Pi_{k}&={\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum_{l}e^{-ikal}p_{l}\\Pi_{k}&={\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum_{l}e^{-ikal}p_{l}\\{l}。{\displaystyle{\begin{aligned}Q_{k}={\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum_{l}e^{ikal}x_{l}\\Pi_{k}={\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum_{l}e^{-ikal}p_{l}である。\end{aligned}}}

量knはフォノンのumber、すなわち2πを波長で割ったものであることが判明しました。

この選択は、実空間または波動ベクトル空間のいずれかで所望の可換関係を保持する

=i≤δ l,m=1N≤l,m e i k a l e−i k’a m=i≤N≤l e i a l(k−k’)=i≤δ k,k’==0{\displaystyle{\begin{aligned}\left&=i\hbar\delta_{l,m}frac sum_{l、m}e^{ikal}e^{−ik’am}\left\{\frac{1}{n}}\sum_{l、m}e^{−ik’am}\left\{\frac{1}{n}}\sum_{l、m}e^{-ik’am}\left\{\frac{1}{n}}\sum_{l、m}e^{-ik’am}\left\{\frac{1}{n}}\sum_{l、m}e^{-ik’am}\left\{\frac{1}{n}}\sum_{l、m}e^{-ik’am}\left\{\frac{1}{n}}\sum_{l、m}e^{-ik’am}\left\{\frac{1}{n}}\sum_{l、m}e^{-ik’am}\right\{\frac{1}{n}}\right\{\frac{_{k、k’}\\\左&=\左=0端\{整列}}}

{\displaystyle{\begin{揃え}\left=i\hbar\delta_{l、m}\\\left={\frac{1}{N}}\sum_{l、m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left\\={\frac{i\hbar}{N}}\sum_{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar\delta_{k,k'}\\\left=\left=0\end{揃え}}}'am}\left\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left&=\left=0\end{aligned}}}

の結果、

∑l x l x l+m=1N∑k’Q k Q k’∑l e i a l(k+k’) e i m k’=∑k Q k Q−k e i m k∑l p l2=∑k Π k Π−k{\displaystyle{\begin{揃え}\sum_{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac{1}{N}}\sum_{kk’}Q_{k}Q_{k}\sum_{l}e^{ial\left(k+k\right)}e^{iamk’}=\和 div\Sum_{l}{p_{l}}^{2}&=\sum_{k}\Pi_{k}\Pi_{-k}\end{aligned}}}

{\displaystyle{\begin{aligned}\sum_{l}x_{l}l{2}'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}&&&&1 2m ω2≤j(x j−x j+1)2=1 2m ω2≤k q k q−k(2−e i k−E-i q)=1 2π k i ω k2q k−q k{\displaystyle{\tfrac{1}{2}}m\omega^{2}\sum_{i=1}1{\infty}n\omega^{2}\sum_{i=1}m{\infty}n\omega^{2}\sum_{i=1}m{\infty}n\omega^{2}\sum_{i=1}m{\infty}n\omega^{2}\sum_{i=1}m{\infty}n\omega^{2}\sum_{i=1}m{\infty}n\omega^{2}\sum_{i=1}m{\infty}n\omega^{2}\ 私はomega sum_{k=1}Q{\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}m{\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}m{\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}m{\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}m{\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}m{\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}m{\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}m{\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}m{\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}m{\infty}\frac{1}{2}\{\displaystyle{\frac{1}{2}}m\omega^{2}\sum_{j}\left(x_{j}-X_{j+1}\right)){2}={\tfrac{1}{2}}m\omega^{2}\sum_{k}q_{k}q_{-k}(2-e^{ika}-E^{-Ika})={\tfrac{1}{2}}m\omega^{2}\sum_{k}q_{k}q_{-k}(2-e^{ika}-E^{-Ika})={\tfrac{1}{2}}m\omega^{2}\sum_{k}q_{k}q_{-k}(2-e^{ika}-E^{-Ika})={\tfrac{1}{2}}m\omega^{2}\sum_{k}q_{k}q_{-k}(2-e^{ikaここで、ω k=2Ω2(1-cos⁡(k a)=2ω|sin⁡k2|{\displaystyle\omega_{k}={\sqrt{2\omega^{2}\left(1-\cos{ka}\right)}}=2\Omega\left|\sin{\frac{1}{2}}\right)}}=2\Omega\left|\sin{\frac{1}{2}}\left|\sin{\frac{1}{2}}\right|\sin{\frac{1}{2}}\left|\sin{\frac{1}{2}}\right|\sin{\frac{1}{2}}\right|\sin{\frac{1}{2}}\right|\sin{\frac{1}{2}}\right|\sin{\frac{1}{2}}\right|\sin{\frac{1}{2}}\right|\sin{\frac{1}{2}}\right|\sin{\frac{1}{{ka}{2}}\右/}

{\displaystyle\omega_{k}={\sqrt{2\omega^{2}\left(1-\cos{ka}\right)}}=2\omega\left|\sin{\frac{ka}{2}}\right|}

ハミルトニアンは波動ベクトル空間で

H=1 2m⋅k(⋅k⋅-k+m2ω k2)と書くことができる。{\frac{1}{2m}}\sum_{k}\left(\pi_{k}\pi_{-k}+m^{2}\omega_{k}^{2}q_{k}q_{-k}\right)}

{\displaystyle{\mathcal{H}}={\frac{1}{2m}}\sum_{k}\left(\pi_{k}\pi_{-k}+m^{2}\omega_{k}q{2}q_{k}q_{-k}\right)}{\displaystyle{\mathcal{H}}={\frac{1}{2m}}\sum_{k}\left(\pi_{k}\pi_{-k}+m^{2}\omega_{k}q{2}q_{k}q_{-k}\right)}omega\オメガ_{k}q{2}Q_{k}Q_{-k}\右）}\左（\パイ_{k}\パイ_{−k}+M^{2}\オメガ_{k}q{2}Q_{k}Q_{−k}\右）}\左（\パイ_{k}\パイ_{-k}+M^{2}\オメガ_{k}q{2}Q_{k}Q_{-k}\右）}\左（\パイ_{k}\パイ_{- QとΛがエルミートであれば（そうではない）、変換されたハミルトニアンはN個の非連結調和振動子を記述する。簡単にするために、周期的な境界条件が課され、（N+1）番目の原子を最初の原子と同等と定義する。

量子化の形式は境界条件の選択に依存する。

量子化 物理的には、これはその端部でチェーンを結合することに対応する。 結果として得られる量子化は、nに対して

k=k n=2≤n N aです。k=k n=2≤n n a= 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N2. {\displaystyle k=k_{n}={\frac{2\pi n}{Na}}\quad{\mbox{for}}n=0,\pm1,\pm2,\ldots\pm{\frac{N}{2}}。\}

{\displaystyle k=k_{n}={\frac{2\pi n}{Na}}\quad{\mbox{for}}n=0,\pm1,\pm2,\ldots\pm{\frac{N}{2}}。\}

nへの上限は、上記で説明したように、格子間隔aの2倍の最小波長から来ます。モードwkの高調波発振器の固有値またはエネルギー準位は次のとおりです。

モードwkの高調波発振器の固有値またはエネルギー準位は次のとおり:E n=(1 2+n)≤ω k n= 0 , 1 , 2 , 3 … {\{\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac{1}{2}}+n\right)\hbar\omega_{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots}

{\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac{1}{2}}+n\right)\hbar\omega_{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots}{\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac{1}{2}}+n\right)\hbar\omega_{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots}{\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac{1}{2}}+n\right)div>

レベルは等間隔です:

{\displaystyle{\tfrac{1}{2}}\hbar\omega,\{\tfrac{3}{2}}\hbar\omega\\cdots}{\displaystyle{\tfrac{1}{2}}\hbar\omega,\{\tfrac{3}{2}}\hbar\omega\\cdots}{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }iv id=”ceb93175bd2}}\hbar\omega,\{\tfrac{5}{2}}\hbar\omega\cdots}

ここで、1/2π wは量子高調波発振器のゼロ点エネルギーです。

次のエネルギーレベルに押し上げるには、高調波発振器格子に正確な量のエネルギー σ wを供給する必要があります。 電磁場が量子化される光子の場合と比較して、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれます。

すべての量子系は波状と粒子状の性質を同時に示します。 フォノンの粒子のような性質は、後述する第二量子化および演算子技術の方法を用いて最もよく理解される。

も参照してください：正準量子化§Real scalar field

三次元latticeEdit

これは三次元格子に一般化することができます。 Wav kは三次元ウェーブベクトルkに置き換えられる。 さらに、各kは現在、三つの法線座標に関連付けられています。新しい指数s=1,2,3はフォノンの偏光をラベルします。

新しい指数s=1,2,3はフォノンの偏光をラベルします。 一次元モデルでは、原子は線に沿って移動することに制限されていたので、フォノンは縦波に対応していました。 三次元では、振動は伝播の方向に限定されず、横波のような垂直面でも発生する可能性があります。 これは、ハミルトニアンの形が示すように、我々はフォノンの独立した種として表示することができ、追加の正規座標を生じさせる。

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

質量m1のイオンまたは原子の二種類の一次元交互配列のために、m2は、ばね定数Kのばねで接続された距離aで周期的に繰り返され、振動:ω±2=K(1m1+1m2)±K(1m1+1m2)2−4sin2⁡k a2m1m2,{\displaystyle\omega_{\pm}^{2}=K\left({\frac{1}{m_{1}}}+{\frac{1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt{\left({\frac{1}{m_{1}}}+{\frac{1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt{\left({\frac{1}{m_{1}}}+{\frac{1}{m_{1}}}\right)\pm K{\sqrt{\left({\frac{1}{m_{1}}}+{\frac{1}{m_{1}}}\right)\pm K{\sqrt{\left({\frac{1}{m_{1}}}+{\frac{1}{m_{1}}}sin M_{1}M_{2}-M_{2}-M_{2}sin{2}}}}},} \displaystyle\omega_{\pm}^{2}=K\left({\frac{1}{m_{1}}}+{\frac{1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt{\left({\frac{1}{m_{1}}}+{\frac{1}{m_{2}}}\right)-{2}-{\frac{4\sin^{2}}}\right)-{2}-{\frac{4\sin^{2}}}\right)div{2}-{\frac{4\sin^{2}}}\right)div{2}-{\frac{4\sin^{2}}}\right)K{2}-{\frac{4\sin^{2}}}\right)div{2}-{\frac{4\sin^{2}}}\right)K{2}-{\frac{4\sin^{2}}\right)K{2}-{\frac{4\sin^{2}2}{\frac{kA}{2}}}{m_{1}M_{2}}}}},}

ここで、kはその振動に関連する振動のwavevectorです 波長はk=2π{\displaystyle k={\tfrac{2\pi}{\lambda}}}

{\displaystyle k={\tfrac{2\pi}{\lambda}}}

である。 周波数と波動ベクトルの関係ω=ω(k)は分散関係として知られています。 プラス記号はいわゆる光学モードになり、マイナス記号は音響モードになります。 光学モードでは、二つの隣接する異なる原子が互いに移動し、音響モードではそれらが一緒に移動する。

音響フォノンの伝播速度は、格子内の音速でもあり、音響分散関係の傾き≤wk/≤kによって与えられる（群速度を参照。）Kの低い値（すなわち長波長）では、分散関係はほぼ線形であり、音速はフォノン周波数に依存しないほぼwaである。 その結果、異なる（しかし長い）波長を持つフォノンのパケットは、分解することなく格子を横切って大きな距離にわたって伝播することができる。 これは、音が大きな歪みなしに固体を介して伝播する理由です。 この挙動は、格子の微視的な詳細のために、kの大きな値、すなわち短波長では失敗する。

プリミティブセルに少なくとも二つの原子を持つ結晶の場合、分散関係は二つのタイプのフォノン、すなわち、図の上の青と下の赤の曲線に対応する光学モードと音響モードを示す。 縦軸はフォノンのエネルギーまたは周波数であり、横軸は波動ベクトルである。 −Π/aとπ/aの境界は、最初のブリルアンゾーンの境界です。 原始セル内のN≤2の異なる原子を持つ結晶は、三つの音響モードを示す：一つの縦音響モードと二つの横音響モード。 光学モードの数は3N–3です。 下の図は，Ｇａａｓ中のいくつかのフォノンモードに対する分散関係を，そのＢｒｉｌｌｏｕｉｎゾーンの主方向におけるｗａｖｅｖｅｃｔｏｒｋの関数として示した。

多くのフォノン分散曲線は非弾性中性子散乱によって測定されている。

流体中の音の物理学は固体中の音の物理学とは異なりますが、どちらも密度波です：流体中の音の波は縦成分のみを持ち、固体中の音の波は縦成分と横成分を持っています。 これは、流体がせん断応力をサポートできないためです（ただし、高い周波数にのみ適用される粘弾性流体を参照してください）。

第二量子化技術を用いたフォノンの解釈編集

上記の導出されたハミルトニアンは古典的なハミルトニアン関数のように見えるかもしれないが、それが作用素として解釈されるならば、それは非相互作用ボソンの場の量子論を記述する。量子調和振動子に用いられるラダー演算子法と同様の第二量子化法は，微分方程式を直接解くことなくエネルギー固有値を抽出する手段である。 ハミルトニアンH{\displaystyle{\mathcal{H}}}

{\mathcal{H}}

と共役位置Q k{\displaystyle Q_{k}}

Q_{k}

と共役運動量Ρ k{\displaystyle\Pi_{k}}が与えられたときdiv>{\displaystyle\pi_{k}}上の量子処理のセクションで定義されている、作成演算子と消滅演算子を定義することができます: b k=I ω k2π(Q k+i m ω k Π−k){\displaystyle b_{k}={\sqrt{\frac{m\omega_{k}}{2\hbar}}}\left(Q_{k}+{\frac{i}{m\omega_{k}}}\Pi_{-k}\right)}

{\displaystyle b_{k}={\sqrt{\frac{m\omega_{k}}}\Pi_{-k}\right)}{\displaystyle b_{k}={\sqrt{\frac{m\omega_{k}}}\Pi_{-k}\right)}{\displaystyle b_{k}={\sqrt{\frac{m\omega_{k}}}\Pi_{-k}B_{k}}^{\dagger}={\sqrt{\frac{m\omega_{k}}{2\hbar}}}\left(Q_{k}+{\frac{i}{m\omega_{k}}}\pi_{-k}\right)}\left(Q_{-k}+{\frac{i}{m\omega_{k}}}\pi_{-k}\right)}\Left(Q_{-k}+{\frac{i}{m\omega_{k}}\pi_{-k}\right)}\left(Q_{-k}+{\frac{i}{m\omega_{k}}\pi_{-k}\right)}\right)}\right)}\left(Q_{-k}+{\frac{i}{m\omega_{k}}\right)}\left(Q_{-k}+{\frac{i}{m\omega_{k}}\right)}\right)}\right{\frac{i}{M\omega_{k}}}\pi_{k}\right)}{\displaystyle{b_{k}}^{\dagger}={\sqrt{\frac{m\omega_{k}}{2\hbar}}{\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}{\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}iv id=”51159 正準交換関係を代入することで、次のような交換子を容易に得ることができる。

=δ k,k’,==0{\displaystyle\left=\delta_{k,k’},\quad{\Big}=\left=0}

iv id=””,

iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,iv id=””,{\displaystyle \left=\delta _{k,k'},\quad {\Big }=\left=0}{\displaystyle\left=\delta_{k,k’},\quad{\big}=\left=0}

これを使って、演算子bk∗とbkを反転させて共役位置と運動量を次のように再定義することができる。:{\displaystyle Q_{k}={\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger}+b_{-k}\right)}

{\displaystyle Q_{k}={\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_{k}}}}{\displaystyle Q_{k}={\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_{k}}}}{\displaystyle Q_{k}={\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_{k}}}}{\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}{\displaystyle{\displaystyle\pi_{k}=I{\sqrt{\frac{\hbar m\omega_{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger}-b_{-k}\right)}iv id}andとπ k=i⁡m Ω k2(b k⁡−b−k){\displaystyle\pi_{k}=i{\sqrt{\frac{\hbar m\omega_{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger}-b_{-k}\right)}

iv id{\displaystyle\pi_{k}=i{\sqrt{\frac{\hbar m\omega_{k}}{2}}}\left({B_{k}}^{\dagger}-B_{-k}\right)}{\displaystyle\pi_{k}=i{\sqrt{\frac{\hbar m\omega_{k}}{2}}}\left({B_{k}}-{\dagger}-B_{-k}\right)}{\displaystyle\pi_{k}=i{\sqrt{\frac{\hbar m\omega_{k}}{2}}}\left({B_{k}}-{\dagger} これらの定義をQ k{\displaystyle Q_{k}}

Q_{k}

とΠ k{\displaystyle\Pi_{k}}

\Pi_{k}

に代入すると、上で定義したようにウェーブベクトル空間ハミルトニアンが生成され、単純化するとハミルトニアンが生成される。フォームを取る: H=∑k∈ω k(b k∈b k+1 2){\displaystyle{\mathcal{H}}=\sum_{k}\hbar\omega_{k}\left({b_{k}}^{\dagger}b_{k}+{\tfrac{1}{2}}\right)}

{\displaystyle{\mathcal{H}}=\sum_{k}\hbar\omega_{k}\left({b_{k}}b{\dagger}b_{k}+{\Tfrac{1}{2}}\right)}

これは第2の量子化手法として知られており、職業数の定式化としても知られています。nk=bk≤bkは職業数です。 これはN個の独立した振動子ハミルトニアンの和であり、それぞれが一意のwaveベクトルを持ち、量子調和振動子に使用される方法と互換性があると見ることができる（nkはエルミートであることに注意）。 ハミルトニアンが通勤部分ハミルトニアンの和として書くことができるとき、エネルギー固有状態は別々の部分ハミルトニアンのそれぞれの固有状態の積によって与えられる。 次に、対応するエネルギースペクトルは、サブハミルトニアンの個々の固有値の合計によって与えられる。量子調和振動子と同様に、bk λとbkはそれぞれλ wkのエネルギーを持つ単一の場励起、フォノンを作成し、破壊することを示すことができます。この手法からフォノンの三つの重要な性質を推論することができる。 第一に、フォノンはボソンであり、任意の数の同一の励起は、作成演算子bk∞を繰り返し適用することによって作成することができるからである。 第二に、各フォノンは、格子内のすべての原子の運動によって引き起こされる「集団モード」である。 これは、ここで運動量空間で定義される作成および消滅演算子が、位置空間で書かれたときにすべての原子の位置演算子および運動量演算子の和を含むという事実から見ることができる（位置および運動量空間を参照）。 最後に，位置–位置相関関数を用いて，フォノンが格子変位の波として作用することを示すことができる。

この手法は容易に3次元に一般化され、ハミルトニアンは次の形式をとる：

H=≤k≤s=1 3≤ω k,s(b k,s≤b k,s+1 2)。 {\displaystyle{\mathcal{H}}=\sum_{k}\sum_{s=1}3{3}\hbar\,\omega_{k,s}\left({b_{k,s}}b{\dagger}b_{k,s}+{\tfrac{1}{2}}\right).{\displaystyle{\mathcal{H}}=\sum_{k}\sum_{s=1}3{3}\hbar\,\omega_{k,s}\left({b_{k,s}}b{\dagger}b_{k,s}+{\tfrac{1}{2}}\right)..これは、omega sum_{k}\sum_{s=1}.{3}\hbar\,\omega_{k,s}\left({b_{k,s}}b{\dagger}b_{k,s}+{\tfrac{1}{2}}\right).を意味します。}