i denne delen utvikler vi en alternativ tilnærming til beregning \(v ({\bf r})\) som passer til disse grensebetingelsene, og dermed letter analysen av det skalare potensielle feltet i nærheten av strukturer og romlig varierende materialegenskaper. Denne alternative tilnærmingen er basert På Poissons Ligning, som vi nå utlede.

Vi begynner med differensialformen Av Gauss ‘ Lov (Avsnitt 5.7):

\

\

Deretter bruker vi forholdet (Seksjon 5.14):

\ gir \

Dette Er Poissons Ligning, men det er ikke i den form det vanligvis brukes i. For å oppnå den alternative formen, vurder operatoren \(\nabla \ cdot \ nabla\) I Kartesiske koordinater:

\

Merk At Poissons Ligning er en partiell differensialligning, og derfor kan løses ved hjelp av kjente teknikker som allerede er etablert for slike ligninger. Faktisk Er Poissons Ligning en inhomogen differensialligning, med den inhomogene delen \(- \rho_v / \ epsilon\) som representerer kilden til feltet. I nærvær av materialstruktur identifiserer vi de relevante grensebetingelsene ved grensesnittene mellom materialer, og oppgaven med å finne \(v({\bf r})\) er redusert til den rent matematiske oppgaven med å løse det tilhørende grenseverdiproblemet (se «Tilleggsavlesning» på slutten av denne delen). Denne tilnærmingen er spesielt effektiv når et av materialene er en perfekt leder eller kan modelleres som et slikt materiale. Dette skyldes at – som nevnt i begynnelsen av denne delen-det elektriske potensialet på alle punkter på overflaten av en perfekt leder må være lik, noe som resulterer i en spesielt enkel grensetilstand.i mange andre applikasjoner ligger ladningen som er ansvarlig for det elektriske feltet utenfor problemets domene; det vil si at vi har ikke-null elektrisk felt (dermed potensielt ikke-null elektrisk potensial) i en region som er gratis. I Dette tilfellet forenkler Poissons Ligning Til Laplace ‘ S Ligning:Laplace ‘ S Ligning (Ligning \ref{m0067_eLaplace}) sier At Laplacian av det elektriske potensielle feltet er null i et kildefritt område.