Vi har sett at et mekanisk system underlagt konservative krefter er i likevekt når derivatene av potensiell energi med hensyn til koordinatene er null. En metode for å løse slike problemer er derfor å skrive ned et uttrykk for potensiell energi og sette derivatene lik null.

en veldig lignende metode er å bruke prinsippet om virtuelt arbeid. I denne metoden forestiller vi oss at vi handler på systemet på en slik måte at vi øker en av koordinatene. Vi forestiller oss for eksempel hva som ville skje hvis vi skulle strekke en av fjærene, eller for å øke vinkelen mellom to leddstenger, eller vinkelen som stigen gjør når den lener seg mot veggen. Vi spør oss selv hvor mye arbeid vi må gjøre på systemet for å øke denne koordinaten med en liten mengde. Hvis systemet starter fra likevekt, vil dette arbeidet være svært lite, og i grensen til en uendelig liten forskyvning vil dette «virtuelle arbeidet» være null. Denne metoden er svært lite forskjellig fra å sette derivatet av potensiell energi til null. Jeg nevner det her, men fordi konseptet kan være nyttig I Kapittel 13 i å beskrive Hamiltons variasjonsprinsipp.

la oss starte med å gjøre et enkelt stigeproblem ved hjelp av virtuelt arbeid. Den vanlige ensartede stigen i videregående fysikk, med lengde \ (2l\) og vekt \ (mg\), lener seg i å begrense statisk likevekt mot den vanlige glatte vertikale veggen og det grove horisontale gulvet hvis koeffisient for å begrense statisk friksjon er \( \mu\). Hva er vinkelen \(\theta \) som stigen gjør med den vertikale veggen?

Det er flere måter å gjøre dette på, som vil være kjent for mange lesere. Den eneste lille påminnelsen jeg vil gi er å påpeke at hvis du ønsker å kombinere de to kreftene ved foten av stigen til en enkelt kraft som virker oppover og litt til venstre, slik at det bare er tre krefter som virker på stigen, må de tre kreftene virke gjennom et enkelt punkt, som vil være over midten av stigen og til høyre for kontaktpunktet med veggen. Men vi er interessert nå i å løse dette problemet ved prinsippet om virtuelt arbeid.

før jeg starter, bør jeg advare om at det er viktig å bruke prinsippet om virtuelt arbeid for å være omhyggelig forsiktig med tegn, og i den forbindelse minner jeg leserne om at i differensialkalkulatoren betyr symbolene \ (\delta\) og\ (d\) foran en skalar mengde \ (x\) ikke «en liten endring i» eller «en uendelig endring» i \( x\). Et slikt språk er uklart. Symbolene står for «en liten økning i» og «en uendelig økning i».

la oss legge merke til følgende avstander:Videre, Hvis det skulle øke \( \theta\) med \( \delta\theta\), ville arbeidet som utføres av kraften Ved C være \ (mg\) ganger reduksjonen AV avstanden CD, og arbeidet som utføres av friksjonskraften Ved E ville være minus \ (\mu mg\) ganger økningen av avstanden være. De to andre gjør ikke noe arbeid. Dermed er det «virtuelle arbeidet» gjort av de eksterne kreftene på stigen

\

Når vi setter uttrykket for det virtuelle arbeidet til null, får vi

\

du bør bekrefte at dette er det samme svaret som du får fra andre metoder – det enkleste er sannsynligvis å ta øyeblikk om E.

Det er noe om virtuelt arbeid som minner meg om termodynamikk. Termodynamikkens første lov er for eksempel \ (\Delta U = \ Delta q + \ Delta W\), hvor \ (\Delta U\) er økningen av systemets indre energi,\ (\Delta q\) er varmen som legges til systemet, og \ (\Delta w\) er arbeidet på systemet. Preposisjoner spiller en viktig rolle i termodynamikken. Det er alltid obligatorisk å angi klart og uten tvetydighet om arbeid er gjort av stempelet på gassen, eller av gassen på systemet; eller om varme er oppnådd av systemet eller tapt fra det. Uten disse preposisjonene er all diskusjon meningsløs. På samme måte i å løse et problem ved prinsippet om virtuelt arbeid, er det alltid viktig å si om du beskriver arbeidet med en kraft på hvilken del av systemet (på stigen eller på gulvet?) og om du beskriver en økning eller en reduksjon av noen lengde eller vinkel.

La oss nå flytte til et litt vanskeligere problem, som vi prøver med tre forskjellige metoder-inkludert virtuelt arbeid.

I Figur IX.5 er en jevn stang AB av vekt \( Mg\) og lengde \( 2a\) fritt hengslet På A. enden B bærer en jevn ring av ubetydelig masse. En lett uløselig streng av lengde \ (l\) har en ende festet til et fast punkt C på samme nivå som A og fjernt \ (2a\) fra den. Den passerer gjennom ringen og bærer i sin andre ende en vekt \( \frac{1}{10}Mg\) hengende fritt. (Den» glatte » ringen betyr at spenningen i strengen er den samme på begge sider av ringen.) Finn vinkelen FØRERHUSET når systemet er i likevekt.

jeg har merket i forskjellige vinkler og lengder, som lett kan bestemmes ut fra systemets geometri, og jeg har også merket de fire kreftene på stangen.

La oss først prøve en veldig konvensjonell metode. Vi vet ganske lite om kraften R av hengslet på stangen (men se nedenfor), og derfor er dette en god grunn til å ta øyeblikk om punktet A. vi får umiddelbart

\

la Oss nå prøve det samme problemet ved å bruke energiforhold. Vi tar null av potensiell energi når stangen er horisontal-da er den lille massen i en avstand l under NIVÅET AC.

\=-\frac{2}{3}Mga(3\sin\theta-\sin\frac{1}{2}\theta)\]

derivatet er

\

la Oss nå prøve det ved virtuelt arbeid. Vi skal øke \ (\theta\) med \ (\delta\theta\) og se hvor mye arbeid som er gjort.

dermed er det virtuelle arbeidet

\

Hvis vi setter dette lik null, får vi det samme resultatet som før.