begrensningsavstanden som en satellitt kan nærme seg uten å bryte opp, avhenger av satellittens stivhet. På en ekstrem måte vil en helt stiv satellitt opprettholde sin form til tidevannskrefter bryter den fra hverandre. På den andre ytterligheten deformerer en svært flytende satellitt gradvis, noe som fører til økte tidevannskrefter, noe som får satellitten til å forlenge seg, ytterligere å blande tidevannskreftene og få den til å bryte fra hverandre lettere.De fleste virkelige satellitter vil ligge et sted mellom disse to ekstremer, med strekkstyrke som gjør satellitten verken helt stiv eller perfekt flytende. For eksempel vil en steinhaug-asteroide oppføre seg mer som en væske enn en solid steinete; en isete kropp vil oppføre seg ganske stivt i begynnelsen, men bli mer væske når tidevannsoppvarming akkumuleres og isene begynner å smelte.

Men merk at, som definert ovenfor, Refererer roche-grensen til et legeme som holdes sammen utelukkende av gravitasjonskreftene, som forårsaker at ellers usammenhengende partikler koaleserer, og dermed danner det aktuelle legemet. Roche-grensen beregnes også vanligvis for tilfelle av en sirkulær bane, selv om det er greit å endre beregningen for å gjelde for saken (for eksempel) av en kropp som passerer primæren på en parabolisk eller hyperbolsk bane.

rigid-satellite calculationEdit

rigid-body Roche-grensen er en forenklet beregning for en sfærisk satellitt. Uregelmessige former som for tidevannsdeformasjon på kroppen eller de primære it-banene blir forsømt. Det antas å være i hydrostatisk likevekt. Disse forutsetningene, selv om de er urealistiske, forenkler beregningene sterkt.

Roche-grensen for en stiv sfærisk satellitt er avstanden, d {\displaystyle d}

, fra den primære hvor gravitasjonskraften på en testmasse på overflaten av objektet er nøyaktig lik tidevannskraften som trekker massen bort fra objektet: d = r M ( 2 ρ m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\venstre(2{\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}\høyre)^{\frac {1} {3}}}

Hvor R m {\displaystyle R_{M}}

er radiusen til den primære, ρ M {\displaystyle \rho _{m}}

er tettheten av den primære og ρ m {\displaystyle \Rho _{m}}

er tettheten til satellitten. Dette kan ekvivalent skrives som d = R m ( 2 M M M ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\venstre(2{\frac {M_{M}}{m_{m}}\høyre)^{\frac {1} {3}}

Hvor R m {\displaystyle r_{m}}

er radiusen til den sekundære, M m {\displaystyle M_{M}}

er massen til den primære, Og M m {\displaystyle M_{m}}

Er massen til sekundæret.

dette avhenger ikke av størrelsen på objektene, men på forholdet mellom tettheter. Regolitt) på overflaten av satellitten nærmest primæren vil bli trukket bort, og likeledes materiale på siden motsatt primæren vil også gå vekk fra, i stedet for mot satellitten.

Merk at dette er et omtrentlig resultat da treghetskraft og stiv struktur ignoreres i sin avledning.

orbitalperioden avhenger da bare av tettheten til sekundæret:

P = 2 π ( d 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( d 3 ( 4 / 3 ) π G R M 3 ρ M ) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}

hvor G er den gravitasjonelle konstant. For eksempel, en tetthet på 3.346 g / cc (tettheten av vår måne) tilsvarer en omløpstid på 2,552 timer.

Derivasjon av formelenedit

for å bestemme roche-grensen, vurder en liten masse u {\displaystyle u}

på overflaten av satellitten nærmest primær. Det er to krefter på denne massen u {\displaystyle u}

: gravitasjonen trekker mot satellitten og gravitasjonen trekker mot primæren. Anta at satellitten er i fritt fall rundt primæren, og at tidevannskraften er den eneste relevante termen for gravitasjonsattraksjonen til primæren. Denne antagelsen er en forenkling som fritt fall bare virkelig gjelder for planetarisk senter, men vil være tilstrekkelig for denne avledningen.

gravitasjonskraften f G {\displaystyle f_{\text{g}}}

på massen u {\displaystyle u}

mot satellitten med masse m {\displaystyle m}

og radius r {\displaystyle r}

kan uttrykkes i henhold til newtons gravitasjonslov. F g = G m u r 2 {\displaystyle f_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}

tidevannskraften F t {\displaystyle f_{\text{t}}}

på massen u {\displaystyle U}

mot primæren med radius r {\displaystyle r}

og masse m {\Displaystyle m}

, på en avstand d {\displaystyle D}

mellom sentrene til de to legemene, kan uttrykkes omtrent Som F T = 2 G m u r d 3 {\displaystyle F_ {\text{T}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}

.

for å oppnå denne tilnærmingen, finn forskjellen i primærens gravitasjonskraft på midten av satellitten og på kanten av satellitten nærmest primæren:

F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

i tilnærmingen hvor r ≪ r {\displaystyle r\ll r}

og R < d {\displaystyle r<d}

, det kan sies at r 2 {\displaystyle r^{2}}

i telleren og hvert begrep med r {\displaystyle r}

i nevnen går til null, noe som gir oss: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

eller

G m u r 2 = 2 G m u r 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}

,

som gir roche-grensen, d {\displaystyle d}

, som d = r ( 2 m m ) 1 3 {\displaystyle d=r\venstre(2\,{\frac {m} {m}}\Høyre)^{\frac {1} {3}}}

satellittens radius skal ikke vises i uttrykket for grensen, så det skrives om i form av tettheter.

for en sfære kan massen m {\displaystyle m}

kan skrives Som M = 4 π ρ m R 3 3 {\displaystyle m = {\frac {4 \ pi \rho _ {m} R^{3}}{3}}}

hvor R {\displaystyle r}

er radiusen til den primære.

og likeledes

m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m = {\frac {4\pi \rho _ {m} r^{3}}{3}}}

hvor r {\displaystyle r}

er radiusen til satellitten.

Erstatter for massene i ligningen for Roche-grensen, og avbryter ut 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}

gir d = r ( 2 ρ M R 3 ρ m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}

som kan forenkles til følgende Roche-grensen:

d = R ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.26 r ( ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=r\venstre(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}\høyre)^{\frac {1} {3}}\ca 1,26 r\venstre({\frac {\rho _{M}} {\rho _{m}}\høyre)^{\frac {1} {3}}

.

En mer nøyaktig formelrediger

siden en nær satellitt sannsynligvis vil gå i bane i en nesten sirkulær bane med synkron rotasjon, bør du vurdere hvordan sentrifugalkraften fra rotasjon vil påvirke resultatene. Den kraften er

f C = ω 2 u r = G M u r d 3 {\displaystyle F_{c}= \ omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}

og den blir lagt til FT. Beregning av kraftbalanse gir dette resultatet for roche-grensen:

d = r M ( 3 hryvnias M ρ m ) 1 3 ≈ 1.442 r M ( ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle D=R_{M}\venstre(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}\høyre)^{\frac {1} {3}}\ca 1,442r_{M}\venstre({\frac {M}} rho _{m}} {\rho _{m}}\høyre)^{\frac {1}{3}}

………. (1)

eller: d = R m ( 3 m m M ) 1 3 ≈ 1.442 r m ( M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=r_{m}\venstre(3\;{\frac {M_{M}}{m_{m}}\høyre)^{\frac {1} {3}}\ca 1.442R_{m}\venstre({\frac {M_{M}} {m_{m}}\høyre)^{\frac {1}{3}}}

………. (2)

Bruk m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m = {\frac {4\pi \rho _ {m} r^{3}}{3}}}

(hvor r {\displaystyle r}

er radiusen til satellitten) for å erstatte ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

i formel(1) kan vi ha en tredje formel:
d = ( 9 m m 4 π ρ m ) 1 3 ≈ 0.8947 ( m m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=\venstre({\frac {9m_{m}}{4\pi \rho _{m}}}\høyre)^{\frac {1}{3}}\ca 0.8947\venstre ({\frac {M_{M}} {\rho _{m}}\høyre)^{\frac {1} {3}}}

………. (3)

Det er derfor tilstrekkelig å observere stjernens masse (planet) og å estimere tettheten til planeten (satellitt) for å beregne Roche-grensen til planeten (satellitt) i det stjernede planetariske systemet.

Roche grense, Hill sfære og radius av planetenrediger

Sammenligning Av Hill sfærer og roche grensene For Sun-Earth-Moon system (ikke å skalere) med skyggelagte områder som angir stabile baner av satellitter i hvert legeme

Betrakt en planet med en tetthet på ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

og en radius på r {\displaystyle r}

, som går i bane rundt en stjerne withis er den fysiske betydningen av roche Limit, roche lobe Og Hill sphere.

Formel(2) kan beskrives Som: R Roche = R Bakke 3 M m 3 = r sekundær 3 M m 3 {\displaystyle R_{\text{Roche}}=r_{\text{Hill}}{\sqrt{\frac {3m}{m}}=R_{\text{secondary}} {\sqrt{\frac {3M} {m}}}

, EN PERFEKT matematisk symmetri.dette er den astronomiske betydningen Av Roche limit og Hill sphere.

Merk: Roche limit og Hill sphere er helt forskjellige fra hverandre, men er begge verk Av É Roche.Hill-sfæren til et astronomisk legeme er regionen der Det dominerer satellittens tiltrekning, Mens Roche-grensen er den minste avstanden som en satellitt kan nærme seg sitt primære legeme uten tidevannskraft overvinne den indre tyngdekraften som holder satellitten sammen.

Merk : Roche limit og Hill sphere er helt forskjellige fra hverandre, men er begge verk Av É Roche.Hill-sfæren til et astronomisk legeme er regionen der Det dominerer satellittens tiltrekning, Mens Roche-grensen er den minste avstanden som en satellitt kan nærme seg sitt primære legeme uten tidevannskraft overvinne den indre tyngdekraften som holder satellitten sammen.

Fluid satellitteredit

en mer nøyaktig tilnærming til beregning Av Roche-grensen tar hensyn til deformasjonen av satellitten. Et ekstremt eksempel ville være en tidalt låst flytende satellitt som kretser en planet, hvor enhver kraft som virker på satellitten, ville deformere den til en prolat sfæroid.

beregningen er kompleks og resultatet kan ikke representeres i en eksakt algebraisk formel. Roche selv utledet følgende omtrentlige løsning for Roche-grensen:

d ≈ 2,44 R (ρ M ρ m) 1 / 3 {\displaystyle d\ca 2,44 r \ venstre ({\frac {\rho _{M}} {\rho _{m}} \ høyre)^{1/3}}

en bedre tilnærming som tar hensyn til primærens oblateness og satellittets masse er imidlertid:

d ≈ 2.423 r ( ρ M ρ m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 m ) + c 3 R ( 1 + m M ) 1 − c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\ca 2.423 r\venstre({\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}\høyre)^{1/3}\venstre({\frac {(1+{\frac {m} {3m}})+{\frac {c} {3r}} (1+{\frac {m} {m}})} {1-c/R}}\høyre)^{1/3}}

hvor c / r {\displaystyle c/R}

er oblateness av den primære. Den numeriske faktoren beregnes ved hjelp av en datamaskin. væskeløsningen er egnet for legemer som bare holdes løst sammen, for eksempel en komet. For eksempel passerte Kometen Shoemaker–Levy 9s forfallne bane rundt Jupiter innenfor Sin Roche-grense i juli 1992, noe som førte til at den fragmenterte seg i en rekke mindre stykker. På sin neste tilnærming i 1994 krasjet fragmentene inn i planeten. Shoemaker-Levy 9 ble først observert i 1993, men banen indikerte at Den Hadde blitt fanget Av Jupiter noen tiår tidligere.

Derivasjon av formelenrediger

da væskesatellittsaken er mer delikat enn den stive, beskrives satellitten med noen forenklende forutsetninger. Anta først at objektet består av inkompressibel væske som har konstant tetthet ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

og volum v {\displaystyle v}

som ikke er avhengig av eksterne eller interne krefter. For Det Andre antar satellitten beveger seg i en sirkulær bane og den forblir i synkron rotasjon. Dette betyr at vinkelhastigheten ω {\displaystyle \ omega }

hvor den roterer rundt sitt massesenter, er den samme som vinkelhastigheten som den beveger seg rundt det totale systembarysenteret.

vinkelhastigheten ω {\displaystyle \omega}

er gitt Av Keplers tredje lov: ω 2 = G m + m d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {M + m}{d^{3}}}.}

Når M er veldig mye større enn m, vil dette være nær

ω 2 = G M d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {m}{d^{3}}}.}

den synkrone rotasjonen innebærer at væsken ikke beveger seg, og problemet kan betraktes som en statisk. Derfor spiller viskositeten og friksjonen av væsken i denne modellen ikke en rolle, siden disse mengdene bare vil spille en rolle for et bevegelig væske.

Gitt disse antagelsene, bør følgende krefter tas i betraktning:

• gravitasjonskraften på grunn av hoveddelen;
• sentrifugalkraften i rotasjonsreferansesystemet; og
• selvgravitasjonsfeltet til satellitten.

siden alle disse kreftene er konservative, kan de uttrykkes ved hjelp av et potensial. Videre er overflaten av satellitten en ekvipotensiell. Ellers vil forskjellene i potensial gi opphav til krefter og bevegelse av enkelte deler av væsken på overflaten, som motsetter seg den statiske modellforutsetningen. Gitt avstanden fra hoveddelen, må formen på overflaten som tilfredsstiller den ekvipotensielle tilstanden bestemmes.

som bane har blitt antatt sirkulær, den totale gravitasjonskraft og orbital sentrifugalkraften som virker på hoveddelen avbryte. Det etterlater to krefter: tidevannskraften og rotasjonssentrifugalkraften. Tidevannskraften avhenger av posisjonen med hensyn til massesenteret, som allerede er vurdert i den stive modellen. For små legemer er avstanden til væskepartiklene fra midten av kroppen liten i forhold til avstanden d til hoveddelen. Dermed kan tidevannskraften lineariseres, noe som resulterer i samme formel FOR FT som gitt ovenfor.

mens denne kraften i den stive modellen bare avhenger av radiusen r av satellitten, må alle punktene på overflaten i fluidhuset vurderes, og tidevannskraften avhenger av avstanden Δ fra massesenteret til en gitt partikkel projisert på linjen som går sammen med satellitten og hoveddelen. Vi kaller Δ den radiale avstanden. Siden den tidevanns-force er lineær i Δd, tilhørende potensial er proporsjonal med kvadratet av variable og for m ≪ M {\displaystyle m\ll M}

vi har V T = − 3 G M-2 d-3 Δ d 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

på samme måte, sentrifugal kraft har et potensial

V C = − 1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M-2 d-3 Δ d 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

for roterende vinkelhastighet ω {\displaystyle \ omega }

.

Vi ønsker å bestemme formen på satellitten som summen av selvgravitasjonspotensialet OG VT + VC er konstant på overflaten av kroppen. Generelt er et slikt problem svært vanskelig å løse, men i dette tilfellet kan det løses av en dyktig gjetning på grunn av kvadratavhengigheten av tidevannspotensialet på radialavstanden Δ Til en første tilnærming, vi kan ignorere sentrifugalpotensialet VC og bare vurdere tidevannspotensialet VT.Siden den potensielle VT bare endres i en retning, dvs. retningen mot hoveddelen, kan satellitten forventes å ta en aksialt symmetrisk form. Nærmere bestemt kan vi anta at det tar en form for et solid revolusjon. Selvpotensialet på overflaten av et slikt solid revolusjon kan bare avhenge av radialavstanden til massesenteret. Faktisk er krysset mellom satellitten og et plan vinkelrett på linjen som går sammen med kroppene, en plate hvis grense ved våre forutsetninger er en sirkel med konstant potensial. Skulle forskjellen mellom selvgravitasjonspotensialet og VT være konstant, må begge potensialene på samme måte avhenge Av Δ. Med andre ord må selvpotensialet være proporsjonalt med Kvadratet Av Δ. Da kan det vises at den ekvipotensielle løsningen er en ellipsoid av revolusjon. Gitt en konstant tetthet og volum avhenger selvpotensialet til en slik kropp bare av ellipsoidens eksentrisitet:

V s = V s 0 + g π ρ m ⋅ f ( ε) ⋅ δ d 2 , {\displaystyle V_{S}=V_{0}}+g\Pi \rho _{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \delta D^{2},}

hvor v S 0 {\displaystyle V_{s_ {0}}}

er Det Konstante selvpotensialet på Skjæringspunktet Mellom kroppens sirkulære kant og det Sentrale symmetriplanet gitt av Ligningen Δ=0.

den dimensjonsløse funksjonen f skal bestemmes ut fra den nøyaktige løsningen for ellipsoidens potensial

f ( ε ) = 1 − ε 2 ε 3 ⋅ {\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}

og, overraskende nok, er ikke avhengig av volumet av satellitten.

Selv om den eksplisitte formen for funksjonen f ser komplisert ut, er det klartat vi kan og velger verdien av ε slik at den potensielle VT er LIK VS pluss en konstant uavhengig av den variable Δ. Ved inspeksjon skjer dette når

2 G π ρ M R 3 d 3 = G Π ρ M f ( ε ) {\displaystyle {\frac {2g\PI \rho _{m}R^{3}}{d^{3}}=g\Pi \rho _{m} f(\varepsilon)}

Denne Ligningen kan løses numerisk. Grafen indikerer at det er to løsninger, og dermed representerer den minste den stabile likevektsformen (ellipsoiden med mindre eksentrisitet). Denne løsningen bestemmer eksentrisiteten til tidevanns ellipsoiden som en funksjon av avstanden til hoveddelen. Den deriverte av funksjonen f har en null hvor maksimal eksentrisitet oppnås. Dette tilsvarer Roche-grensen.