pracując 2000 lat przed rozwojem rachunku matematycznego grecki matematyk Archimedes opracował prosty wzór na objętość sfery:

ze swoich licznych matematycznych wkładów Archimedes był najbardziej dumny z tego wyniku, nawet posuwając się tak daleko, że poprosił o wydrukowanie na jego nagrobku metody, której użył do opracowania wzoru — diagramu opisującego sferę wewnątrz cylindra wraz z proporcją 2:3.

wzór Archimedesa mógł być udarem naukowego geniuszu w 250 p. n. e., ale z pomocą współczesnego rachunku różniczkowego wyprowadzenie jest niezwykle proste. W tym poście wyjaśnię jeden sposób wyprowadzenia słynnej formuły i wyjaśnię, jak można to zrobić w wymiarach innych niż zwykłe trzy.

wyprowadzenie

rozważ poniższy diagram. Jest to kula o promieniu R. celem jest znalezienie objętości, a oto jak to zrobimy.

zauważ, że jedną z rzeczy, którą możemy łatwo znaleźć, jest obszar pojedynczego poziomego kawałka piłki. To jest zacieniony dysk na górze diagramu, który jest narysowany na wysokości z. dysk ma promień x, który musimy znaleźć obszar dysku. Aby znaleźć x, możemy utworzyć trójkąt prostokątny o bokach z I x i przeciwprostokątnej R. to jest narysowane na rysunku. Wtedy możemy łatwo rozwiązać x.

Pitagoras wiemy, co

decyzja przejścia dla x mamy

Wtedy powierzchnia заштрихованного dysku po prostu jest równa kwadratowi promienia, pomnożonej przez liczbę pi, lub

teraz, gdy mamy obszar jednego poziomego dysku, chcemy znaleźć obszar wszystkich poziomych dysków wewnątrz kuli zsumowanych razem. To da nam objętość kuli.

aby to zrobić, po prostu bierzemy określoną całkę ze wzoru pola dysku od góry dla wszystkich możliwych wysokości z, które są pomiędzy-r (na dole kuli) i r (na górze kuli). To jest nasza wielkość jest określana

ta sama logika może być użyta do wyprowadzenia wzorów na objętość „kuli” w 4, 5 i wyższych wymiarach. W ten sposób można pokazać, że objętość jednostkowej kuli w jednym wymiarze (linii) wynosi zaledwie 2; wolumin w dwóch wymiarach (dysk) to

i — jak pokazaliśmy — objętość w trzech wymiarach (kula) to

kontynuując do czterech, pięciu, a ostatecznie N wymiarów, pojawia się zaskakujący wynik.

okazuje się, że objętość kuli jednostkowej osiąga szczyt w pięciu wymiarach, a następnie zaczyna się kurczyć, ostatecznie zbliżając się do zera, gdy wymiar n idzie do nieskończoności.