układ równań liniowych można rozwiązać redukując jego macierz rozszerzoną do postaci eszelonowej zredukowanej .

macierz może być zmieniona do postaci zredukowanego wiersza, lub wiersz zredukowany do postaci zredukowanego wiersza przy użyciu elementarnych operacji wiersza. Są to:

1. Zamiana jednego rzędu macierzy na drugi macierz.
2. pomnóż jeden wiersz macierzy przez niezerową stałą skalarną.
3. Zastąp jeden wiersz jednym wierszem plus stała razy kolejny wiersz macierzy.

na przykład, biorąc pod uwagę następujący układ liniowy z odpowiednią macierzą rozszerzoną:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve w tym układzie macierz musi zostać zredukowana do postaci zredukowanej.

Krok 1: Przełącz rząd 1 i rząd 3. Wszystkie wiodące zera są teraz poniżej niezerowych początkowych wpisów.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Ustaw rząd 2 na rząd 2 plus (-1) razy rząd 1. Innymi słowy, odejmij wiersz 1 od wiersza 2. Spowoduje to wyeliminowanie pierwszego wpisu w wierszu 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Krok 4: Ustaw wiersz 3 na wiersz 3 plus (-1) razy wiersz 2. Innymi słowy, odejmij wiersz 2 od wiersza 3. Spowoduje to wyeliminowanie drugiego wpisu w wierszu 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: pomnóż każdy wiersz przez odwrotność jego pierwszej niezerowej wartości. Spowoduje to, że każdy wiersz zacznie się od 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is teraz w postaci wiersza echelon: wszystkie niezerowe wiersze są nad dowolnymi wierszami wszystkich zer (nie ma wierszy zerowych), każdy wiodący wpis wiersza znajduje się w kolumnie po prawej stronie wiodącego wpisu wiersza nad nim, a wszystkie wpisy w kolumnie poniżej wiodącego wpisu są zerami.

jak można i zostanie to później pokazane, z tej formy można zauważyć, że system ma nieskończenie wiele rozwiązań. Aby otrzymać te rozwiązania, macierz jest dalej redukowana do postaci zredukowanej.

Krok 6: Ustaw rząd 2 na rząd 2 plus (-1) razy rząd 3 i rząd 1 na rząd 1 plus (-2) razy rząd 3. Spowoduje to wyeliminowanie wpisów nad wiodącym wpisem wiersza 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Ustaw rząd 1 na rząd 1 plus 3 razy rząd 2. Eliminuje to wpis nad czołowym wpisem wiersza 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a zredukowana forma echelona, ponieważ przedni wpis w każdym niezerowym wierszu wynosi 1, a każdy Przedni 1 jest jedynym niezerowym wpisem w swojej kolumnie.

z tego można odczytać rozwiązanie systemu:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}