przedmiotem analizy realnej jest badanie zachowania i właściwości funkcji, sekwencji i zbiorów na linii liczb rzeczywistych, które oznaczamy jako matematycznie znane R. koncepcje, które chcemy zbadać poprzez analizę rzeczywistą, obejmują właściwości takie jak granice, ciągłość, pochodne (stopy zmian) i integracja (ilość zmian w czasie). Wiele z tych pomysłów jest, na poziomie koncepcyjnym lub praktycznym, rozpatrywanych na niższych poziomach matematyki, w tym na regularnym kursie rachunku zysków i strat na pierwszym roku, a więc dla niewtajemniczonego czytelnika temat prawdziwej analizy może wydawać się raczej bezsensowny i trywialny. Jednak prawdziwa analiza jest na głębokości, złożoności i prawdopodobnie piękna, ponieważ pod powierzchnią codziennej matematyki istnieje pewność poprawności, którą nazywamy rygorem, która przenika całą matematykę. Tak więc, prawdziwa analiza może być do pewnego stopnia postrzegana jako rozwinięcie rygorystycznej, sprawdzonej struktury wspierającej intuicyjne pomysły, które często uważamy za oczywiste.

prawdziwa analiza jest bardzo prostym przedmiotem, ponieważ jest to po prostu prawie liniowy rozwój matematycznych pomysłów, które napotkałeś w całej swojej historii matematyki. Jednak zamiast polegać na czasami niepewnej intuicji (którą wszyscy czuliśmy, gdy rozwiązywaliśmy problem, którego nie zrozumieliśmy), zakotwiczymy ją w rygorystycznym zestawie twierdzeń matematycznych. W tej książce zobaczymy, że nie potrzebujemy intuicji, aby zrozumieć matematykę – potrzebujemy podręcznika.

nadrzędną tezą tej książki jest sposób aksjomatycznego definiowania liczb rzeczywistych. Jak by to działało? Ta książka będzie czytana w ten sposób: ustawiamy właściwości, które naszym zdaniem definiują liczby rzeczywiste. Następnie udowadniamy na podstawie tych właściwości-i tylko tych właściwości-że liczby rzeczywiste zachowują się tak, jak je zawsze wyobrażaliśmy. Następnie przerobimy wszystkie nasze podstawowe twierdzenia i fakty, które zebraliśmy w naszym matematycznym życiu, tak aby wszystko się połączyło, prawie tak, jakby zawsze było prawdziwe, zanim je przeanalizowaliśmy; że było to w rzeczywistości rygorystyczne przez cały czas – z wyjątkiem tego, że teraz będziemy wiedzieć, jak to się stało.

nie wierz, że po ukończeniu tej książki matematyka się skończy. W innych dziedzinach nauki akademickiej pojawiają się przebłyski dziwnej dziedziny matematyki coraz bardziej wysuniętej na pierwszy plan myśli standardowej. Po zrozumieniu tej książki matematyka będzie teraz wydawać się niekompletna i brakuje pojęć, które być może zastanawiałeś się wcześniej. W tej książce przedstawimy coś więcej do matematyki niż liczby rzeczywiste i analizy rzeczywiste. W końcu matematyka, o której tu mówimy, zawsze wydaje się obejmować tylko jedną zmienną w morzu liczb, operacji i porównań.

uwaga: tabela symboli matematycznych użytych poniżej oraz ich definicje jest dostępna w załączniku.

• Przedmowa
• stare wprowadzenie
• Podręcznik stylu – jak czytać ten wikibook

poniżej znajduje się lista wybranych rozdziałów z innych książek. Powinny one pomóc rozwijać rygor matematyczny, który jest niezbędnym sposobem myślenia będzie trzeba w tej książce, jak również w matematyce wyższej.

• notacja teorii mnogości i dowody matematyczne, z książki dowód matematyczny
• doświadczenie w pracy z koncepcjami rachunku różniczkowego, z książki Rachunek różniczkowy