biografia

rodzice Paula Cohena, Abraham i Minnie Cohen, byli żydowskimi imigrantami do Stanów Zjednoczonych z ojczystej Polski. Abraham Cohen był w zasadzie dziwnym człowiekiem, odwracając rękę do różnych prac, podczas gdy jego żona przyniosła rodzinie bardzo potrzebne pieniądze z krawiectwa. Paul był najmłodszym z czworga dzieci swoich rodziców i wychowywał się na Brooklynie w Nowym Jorku. Od dziewiątego roku życia wychowywała go matka, gdyż w tym czasie jego rodzice rozstali się. Interesował się matematyką od dzieciństwa, od najmłodszych lat zaczął studiować zaawansowaną matematykę. On :-

… miał zaledwie dziewięć lat, kiedy jego siostra Sylvia wypożyczyła mu książkę o rachunku z Nowojorskiej Biblioteki. Bibliotekarze byli niechętni oddaniu jej książki, tym bardziej młodszemu bratu, argumentując, że nawet niektórzy profesorowie nie rozumieli rachunku.

przez całe swoje nastoletnie lata był uważany za geniusza matematycznego, zadziwiającego wokół siebie zdolnościami, które wykazywał w konkursach matematycznych. Uczęszczał do Stuyvesant High School w Nowym Jorku, którą ukończył w 1950 roku w wieku szesnastu lat. Szkoła ta, o wysokiej reputacji w dziedzinie matematyki i nauk ścisłych, przyjmowała tylko najlepszych uczniów po przystąpieniu do egzaminu wstępnego. Po ukończeniu Stuyvesant High School, Cohen był studentem w Brooklyn College od 1950 do 1953, ale opuścił bez podjęcia studiów, po czym został przyjęty na studia podyplomowe na Uniwersytecie w Chicago po wizycie w celu omówienia jego możliwości badawczych w Chicago. Studiował na magisterium w Chicago, biorąc kursy, aby dopasować się do jego celu w czasie, który był podjęcie badań w teorii liczb. Jego wiedza na temat teorii liczb przed przyjazdem do Chicago była z wielu klasycznych tekstów, które przeczytał na własną rękę podczas studiów. W tym celu rozpoczął pracę nad teorią liczb pod kierunkiem André Weila. Tytuł magistra uzyskał w 1954 r., ale bardziej interesował go fakt, że pewne wyniki w teorii liczb są nierozstrzygalne niż w samej teorii liczb, jednak teoria liczb pozostawała przedmiotem zainteresowania przez całą karierę :-

miał zwyczaj pytać wykładowców i kolegów studentów, jakie są najważniejsze problemy w ich dziedzinach, ponieważ były to jedyne problemy, które chciał rozwiązać.

kontynuując studia doktoranckie w Chicago pod kierunkiem Antoniego Zygmunda, uzyskał doktorat w 1958 roku za pracę doktorską Topics in Theory of Uniqueness of Trigonometric Series. W tej tezie Cohen stwierdza, że: –

… pragnie wyrazić najgłębszą wdzięczność Profesorowi Zygmuntowi za jego stałą pomoc i zachętę podczas przygotowywania tej rozprawy.

rozpoczyna Wstęp od umieszczenia tematu pracy w kontekście :-

teorię wyjątkowości szeregów trygonometrycznych można uznać za arsing z pytania o to, w jakim sensie Szereg Fouriera funkcji można uznać za prawowite rozwinięcie funkcji w nieskończonym szeregu trygonometrycznym. Wiemy oczywiście, że jeśli szereg zbieżny jest związany z Funkcją, to rzeczywiście współczynniki szeregu muszą być podane przez wzory Eulera-Fouriera. Jednak w przypadku braku takiego warunku możemy zadać sobie pytanie, czy dwa szeregi trygonometryczne mogą wszędzie zbiegać się do tej samej funkcji. Odpowiedź na to pytanie jest negatywna i została zasadniczo udowodniona przez Riemanna, dowód uzupełniony przez Cantora. To właśnie z zastąpieniem warunku zbieżności wszędzie warunkiem zbieżności prawie wszędzie, chodzi o teorię zbiorów wyjątkowości.

lata jako student badawczy były dobre dla Cohena i zawarł wiele przyjaźni z innymi studentami, przyjaźni, które trwały przez całe jego życie. John Thompson był jednym z takich studentów badań w Chicago. Cohen, poprzez te przyjaźnie, zaczął również interesować się logiką: –

jako absolwent, związek Cohena z logiką był jego przyjaźnią z żywą grupą studentów, którzy stali się logikami; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan i Stanley Tennenbaum. Przez pewien czas mieszkał w domu Tennenbauma i wchłonął logikę przez osmozę, ponieważ nie było kursów logiki na Wydziale Matematyki w Chicago.

w 1957 roku, przed przyznaniem doktoratu, Cohen został mianowany na rok wykładowcą matematyki na Uniwersytecie w Rochester. Następnie spędził rok akademicki 1958-59 w Massachusetts Institute of Technology, a następnie spędził 1959-61 jako fellow w Institute for Advanced Study w Princeton. Były to lata, w których Cohen dokonał wielu znaczących przełomów matematycznych. W faktoryzacji w algebrach grupowych (1959) wykazał, że dowolna funkcja całkowalna na lokalnie zwartej grupie jest splotem dwóch takich funkcji, rozwiązując problem postawiony przez Waltera Rudina. W On A conjecture of Littlewood and idempotent measures (1960) Cohen dokonał znaczącego przełomu w rozwiązywaniu hipotezy Littlewooda. Wcześniej napisał do Harolda Davenporta, mówiąc mu o tym wyniku, A Davenport odpowiedział: –

… Paul powiedział, że gdyby dowód Paula się utrzymał, poprawiłby pokolenie brytyjskich analityków, którzy ciężko pracowali nad tym problemem. Dowód Pawła nie wytrzymał; w rzeczywistości Davenport był pierwszym, który poprawił wynik Pawła.

w 1961 roku Cohen został powołany na Wydział Matematyki na Uniwersytecie Stanforda jako adiunkt. W następnym roku został awansowany na profesora nadzwyczajnego w dziedzinie matematyki, a także w 1962 otrzymał stypendium naukowe im. Alfreda P. Sloana. W sierpniu 1962 Cohen uczestniczył w Międzynarodowym Kongresie matematyków w Sztokholmie. Był zaproszonym mówcą podającym miary Idempotentne i homomorfizmy algebr grupowych. Podczas rejsu ze Sztokholmu do Leningradu, po Kongresie, Cohen spotkał Christinę Karls z Malung w Szwecji. Pobrali się 10 października 1963 i mieli trzech synów, bliźniaków Erica i Stevena oraz Charlesa.

w 1964 r.został awansowany na profesora zwyczajnego na Uniwersytecie Stanforda, rozwiązując w tym czasie jeden z najtrudniejszych otwartych problemów w matematyce. Cohen użył techniki zwanej „wymuszaniem”, aby udowodnić niezależność w teorii mnogości aksjomatu wyboru i uogólnionej hipotezy continuum. Angus MacIntyre pisze :-

dramatycznym aspektem pracy z hipotezą continuum jest to, że Cohen był samoukiem z zewnątrz w logice. Jego prace dotyczące teorii mnogości i pól p-adycznych mają bardzo charakterystyczny styl, kombinatoryczny i raczej wolny od teorii ogólnej.

Cohen wyjaśnia, w jaki sposób wpadł na pomysł wymuszenia z lektury hipotezy Continuum Kurta Gödla, książki składającej się z notatek z kursu wygłoszonego w Institute for Advanced Study w latach 1938-39. Problem hipotezy continuum był pierwszym ze słynnych 23 problemów Davida Hilberta, wygłoszonym na II Międzynarodowym Kongresie matematyków w Paryżu w 1900 roku. Słynne przemówienie Hilberta problemy matematyki wyzwał (i dziś nadal wyzwania) matematyków do rozwiązania tych fundamentalnych pytań i Cohen ma rozróżnienie rozwiązania problemu 1.
pod koniec 1962 roku rozpoczął prace nad niezależnością hipotezy continuum. Do kwietnia 1963 r. czuł, że wszystko :-

istnieją pewne momenty w każdym matematycznym odkryciu, gdy rozwiązanie problemu ma miejsce na takim poziomie podświadomości, że z perspektywy czasu wydaje się niemożliwe jego rozcięcie i Wyjaśnienie jego pochodzenia. Raczej cały pomysł prezentuje się od razu, często być może w niejasnej formie, ale stopniowo staje się bardziej precyzyjny.

po przeczytaniu dowodu Cohena, który przesłał w piśmie z dnia 9 maja 1963 r., Kurt Gödel odpowiedział mu:-

pozwól, że powtórzę, że naprawdę miło jest przeczytać twój dowód niezależności hipotezy continuum. Uważam, że pod wszystkimi istotnymi względami dał Pan najlepszy możliwy dowód i nie zdarza się to często. Czytanie Twojego dowodu miało na mnie równie przyjemny wpływ, jak oglądanie naprawdę dobrej sztuki.

Cohen mówił o swojej pracy nad niezależnością aksjomatu wyboru i hipotezą continuum od aksjomatów teorii zbiorów Zermelo-Fraenkela w wykładzie Independence results in set theory wygłoszonym na Międzynarodowym Sympozjum na temat 'teorii modeli’ w Berkeley 4 lipca 1963 roku. Jego dowód pojawił się w dwóch pracach the independence of the continuum hypothesis (1963) i The independence of the continuum hypothesis. II (1964). Andrzej Mostowski, przeglądając pierwszy z nich, pisze:-

wyniki te przedstawiają długo oczekiwane rozwiązania najwybitniejszych otwartych problemów aksjomatycznej teorii mnogości i powinny być oceniane jako najważniejszy postęp w badaniu aksjomatycznej teorii mnogości od czasu publikacji monografii Gödla z 1940 roku „The consistence of the continuum hypothesis” (1940). … dla tego recenzenta wydaje się bardziej niż prawdopodobne, że wpływ odkrycia Cohena będzie co najmniej tak głęboki w metamatematyce, jak w ogólnej filozofii matematyki (i być może nie tylko matematyki).

Angus MacIntyre, który był absolwentem Stanford w latach 1964-1967, pisze:-

zainspirował mnie, kiedy byłem młodym matematykiem. Nigdy nie słyszałem, żeby wykładał teorię zbiorów, ale raczej geometrię algebraiczną i pola P-adyczne. Miał bardzo szczególny styl, pełen entuzjazmu i bardzo ” ręce na.”Używał jak najmniej ogólnej teorii i zawsze dawał poczucie, że dotarł do sedna rzeczy. Jego techniki, nawet w czymś tak abstrakcyjnym jak teoria mnogości, były bardzo konstruktywne. Był zdumiewająco sprytny i trzeba było być naiwnym lub wyjątkowo altruistycznym, aby umieścić swój”najtrudniejszy problem”na Paulu, którego znałem w latach 60.

zobacz artykuł Paula Cohena na temat matematyki i nauczania pod tym linkiem
w 1966 roku Cohen opublikował monografię teoria zbiorów i hipoteza kontinuum opartą na kursie, który wygłosił na Harvardzie wiosną 1965 roku. Azriel Lévy (który po raz pierwszy usłyszał wyniki Cohena na konferencji Berkeley model theory) pisze:-

monografia ta jest przede wszystkim ekspozycją słynnych wyników autora, a mianowicie niezależności hipotezy continuum i aksjomatu wyboru. Ponadto prezentuje również główne Klasyczne wyniki w logice i teorii mnogości. … Ta książka prezentuje świeże i intuicyjne podejście i daje wgląd w proces mentalny, który doprowadził autora do jego odkryć. Czytelnik znajdzie w tej ksiÄ … ĺľce wĹ ’ aĹ „ciwÄ … iloĹ” Ä ‡ filozoficznych uwag do monografii matematycznej.

w tym samym roku Cohen otrzymał Medal Fieldsa za fundamentalną pracę nad podstawami teorii mnogości. Został mu przedstawiony przez Mstisława Wsiewołodowicza Keldysza, prezesa Akademii Nauk ZSRR, na Międzynarodowym Kongresie matematyków w Moskwie w 1966 roku. Tylko jeden medalista Fieldsa (Lars Ahlfors) otrzymał Medal Fieldsa w młodszym wieku. Alonzo Church wygłosił przemówienie na kongresie na temat Paula J Cohena i problemu continuum opisującego niezwykłe osiągnięcia Cohena. Medal Fieldsa nie był jednak pierwszym odznaczeniem, które otrzymał Cohen. W 1964 otrzymał Nagrodę Bôcher Memorial Prize od Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego: –

…for his paper, On a conjecture of Littlewood and idempotent measures, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

trzy lata później, w 1967 roku, Cohen otrzymał National Medal of Science:-

za epokowe wyniki w logice matematycznej, które ożywiły i rozszerzyły badania w fundamencie matematyki.

otrzymał nagrodę od prezydenta Lyndona B Johnsona podczas ceremonii w Białym Domu 13 lutego 1968 roku. Został również wybrany do National Academy of Sciences, American Academy of Arts and Sciences oraz jako honorowy członek zagraniczny London Mathematical Society.

oprócz pracy nad teorią mnogości, Cohen zajmował się równaniami różniczkowymi i analizą harmoniczną. Donosi Dawn Levy w komentarzach na temat Cohena Petera Sarnaka (profesora matematyki w Princeton i byłego doktoranta Cohena z tezą Prime Geodesic Theorems (1980)): –

Paul Cohen był jednym z najbardziej błyskotliwych matematyków XX wieku. Podobnie jak wielu wielkich matematyków, jego matematyczne zainteresowania i wkład były bardzo szerokie, począwszy od analizy matematycznej i równań różniczkowych do logiki matematycznej i teorii liczb. Ta szerokość została podkreślona na konferencji, która odbyła się w Stanford we wrześniu zeszłego roku, świętując pracę Cohena i jego 72 urodziny. Zgromadzenie składało się z czołowych ekspertów z różnych dziedzin, którzy normalnie nie słuchali tego samego zestawu wykładów. … Cohen był dynamicznym i entuzjastycznym wykładowcą i nauczycielem. Sprawił, że matematyka wyglądała na prostą i jednolitą. Zawsze chętnie dzielił się swoimi pomysłami i spostrzeżeniami z różnych dziedzin. Jego pasja do matematyki nigdy nie zanikła.

Macintyre pisze o ważnych pracach, które Cohen opracował po jego wybitnych wynikach w zakresie hipotezy continuum:-

w 1969 roku Cohen opublikował bardzo oryginalny artykuł na temat rozkładu komórek P-adycznych, dając konstruktywną wersję słynnych wyników AX-Kochen-Ersova. Jest to obecnie fundamentalne dla logicznej analizy integracji motywacyjnej. Od 1969 roku Cohen poświęcił się niektórym z najtrudniejszych i najbardziej nieustępliwych problemów, takich jak hipoteza Riemanna. Był zapalonym i inspirującym matematykiem.

Kathy Owen, która spędziła czas w Stanford w latach 70., napisała o Cohenie w tym czasie:-

Paul był zadziwiającym człowiekiem. Niecierpliwy, niespokojny, konkurencyjny, prowokacyjny i błyskotliwy. Był stałym bywalcem godzin kawowych dla absolwentów i wykładowców. Uwielbiał ciąg debaty i kłótni na każdy temat i był nieugięty, jeśli znalazł logiczną słabość w przeciwstawnym punkcie widzenia. Nie było gdzie się ukryć! Wyróżniał się ostrym jak brzytwa intelektem, fascynacją wielkimi pytaniami, dziwnym zainteresowaniem „idealną wysokością” (na coffee hour przyprowadził kamerton i przetestował wszystkich) i łagodną irytacją nielicznych, którzy mają idealną wysokość. Był niezwykłym człowiekiem, drogim przyjacielem, który wywarł duży wpływ na moje życie, światłem o pełnym spektrum barw.

Cohen został mianowany Marjorie Mhoon Fair Professor in Quantitative Science w Stanford w 1972 roku, będąc pierwszym posiadaczem tej katedry. Formalnie przeszedł na emeryturę w 2004 roku, ale kontynuował nauczanie w Stanford do krótko przed śmiercią. Zmarł na rzadką chorobę płuc w Stanford Hospital w Palo Alto.
jeśli chodzi o zainteresowania Cohena poza matematyką, grał zarówno na fortepianie, jak i na skrzypcach, śpiewał w refrenie w Stanford i był członkiem szwedzkiej grupy folkowej. Był wybitnym językoznawcą mówiącym po szwedzku, francusku, hiszpańsku, niemiecku i jidysz. On i jego żona organizowali częste kolacje dla studentów, kolegów i przyjaciół. Uwielbiał oprowadzać Gości po San Francisco i okolicy.
zakończmy tę biografię cytując wspomnienia Cohena o jego pracy nad hipotezą continuum:-

… to dość ciekawe, że w pewnym sensie hipoteza kontinuum i aksjomat wyboru nie są tak naprawdę trudnymi problemami – nie wiążą się z techniczną złożonością; niemniej jednak, w tym czasie były uważane za trudne. Można by powiedzieć w humorystyczny sposób, że stosunek do mojego dowodu był następujący. Kiedy został po raz pierwszy zaprezentowany, niektórzy ludzie myśleli, że to było złe. Potem uważano to za niezwykle skomplikowane. Wtedy uważano, że jest to łatwe. Ale oczywiście jest to łatwe w tym sensie, że istnieje jasna filozoficzna idea. Były kwestie techniczne, które mnie niepokoiły, ale w zasadzie nie był to tak naprawdę ogromnie zaangażowany problem kombinatoryczny; był to pomysł filozoficzny.