definicja

liczba pécleta (PE) jest liczbą bezwymiarową, która reprezentuje stosunek szybkości konwekcji do szybkości dyfuzji w układzie transportu konwekcja-dyfuzja.

\displaystyle{ Pe = \frac{(Convection \, rate)}{(Diffusion \, rate)} = \frac {UL}{D} }

U reprezentuje liniową prędkość przepływu w objętości kontrolnej, L oznacza skalę długości przepływu, A D jest stałą dyfuzji. Liczba ta może być również reprezentowana jako stosunek dyfuzyjnej do konwekcyjnej skali czasu. Jednostki, w konfiguracji mikroprzepływowej, dla U, L i D to odpowiednio um/S, um/s i um2 / s.

\displaystyle{ Pe = \frac{(Diffusion \, timescale)}{(Convection \, timescale)} }

w układach zdominowanych przez dyfuzję liczba Pecleta jest mniejsza niż 1. Tak jest w przypadku układów mikroprzepływowych, w których turbulencje są niskie. W układach zdominowanych przez konwekcję liczba ta jest większa od jednej.

wyprowadzenie

dla jednowymiarowego układu, jak opisano na fig.1, z określonym stężeniem, \displaystyle{ C } następujące relacje mogą być wykonane tak , aby odnosiły się do flux in, \displaystyle{ j_{in}}, flux out, \displaystyle{ j_{out} } i regulowały głośność \displaystyle{ V}. Z tego systemu można uzyskać liczbę Pécleta.

Rysunek 1 jest to ilustracja objętości kontrolnej z napływem i wypływem. Jeśli można pominąć źródła i zlewki, te strumienie mogą być przyczyniane do konwekcji i dyfuzji

\displaystyle{ V\frac{dC}{dt} = a\cdot J_{in} – a\cdot j_{out} }

ten bilans masy może być użyty do opisania strumienia do i z układu. Strumień jest masowym natężeniem przepływu na jednostkę powierzchni. Zakładając, że obszary wlotu i wylotu są stałe, bilans masy można uprościć.

\displaystyle{ \frac{dC}{dt} = \frac{A}{V}\cdot (J_{in} – J_{out}) }

Jeśli w układzie występują gradienty, strumień wyjściowy z układu można opisać następująco.

\displaystyle{ j_{out} = \frac{\partial J}{\partial x}\cdot (\Delta x)+J_{in} }

tak więc bilans masy można uprościć, jak pokazano poniżej.

\ displaystyle {\frac{dC}{dt} = \frac{A}{V} \cdot\frac {\partial J} {\partial x} \cdot (\Delta x) }

ze względu na sposób definiowania systemu, \displaystyle {\frac{A}{V} = \frac{1} {\Delta x} }. Tak więc

\displaystyle{ \frac{dC}{dt} = \frac{\partial J}{\partial x}\rightarrow \frac{\partial C}{\partial t} =\nabla J }

równanie to jest również opisane w trzech wymiarach.

zakłada się, że źródła i zlewy są tak skonstruowane, aby skupić system na dyfuzji i konwekcji. Tak więc,

\displaystyle{ J = j_{konwekcja} + j_{dyfuzja} }

masowe natężenie przepływu, \displaystyle{ Q }, można zdefiniować jako \displaystyle{ Q = C \Delta x\cdot a }. Ponieważ konwekcja jest głównym źródłem tego masowego natężenia przepływu w tym układzie, strumień konwekcyjny, \ displaystyle{ j_{konwekcja} } jest zdefiniowany jako taki.

\displaystyle{ j_{konwekcja} = \frac{Q}{\Delta t\cdot a} = \frac{C \Delta x }{\Delta T} \rightarrow \frac{\partial x}{\partial t}C}

równanie dyfuzji można wyprowadzić z prawa pierwszego Ficka, jak pokazano poniżej. \displaystyle{ D } jest stałą dyfuzyjności.

\displaystyle{ J_{diffusion} = -d \frac{\partial C }{\partial x} }

strumień dyfuzyjny i strumień konwekcyjny można połączyć w ogólny bilans masy.

\displaystyle{ \frac{\partial C}{\partial t} = -\frac{\partial \left }{\partial x} = -\frac{\partial \left }{\partial x} }

ponieważ można zastosować poniższą relację, gdzie \displaystyle{ u } równa się prędkości cząstki, bilans masy można uprościć i opisać w wielu wymiarach

\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial t} = u }

\displaystyle{ \frac{\partial c}{\partial T} = D\frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} – U \frac{\partial c}{\partial x}\rightarrow \frac{\partial C}{\partial T} + U \frac{\partial C}{\partial x}= d\frac{\partial^{2} C} {\partial x^{2}} \rightarrow \ frac {\partial c} {\partial t} + u \ nabla C = D \ nabla^{2} C }

liczby bezwymiarowe, jak pokazano poniżej, mogą być użyte do przekształcenia bilansu masy. \displaystyle{ u } równa się konwekcyjnemu przepływowi liniowemu.

\displaystyle{ C^{*} = \frac {C}{C_{max}}; u^{*} = \frac{U}{U}; t^{*} = \frac {t}{t_{0}} }

gdy te liczby są stosowane, balans jest opisany jak pokazano.

\displaystyle{ \frac{C}{t_{0}}\frac{\partial c^{*}}{\partial t} + \frac{UC}{L}u^{*} \frac{\partial C}{\partial x}= \frac{DC}{L^{2}}\frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} }

\displaystyle{ \frac{L^{2}}{D\cdot T_{0}}\frac{\partial C^{*}}{\partial T} + \frac{ul}{d}u^{*} \frac{\partial C}{\partial x}= \frac{\partial^{2} c}{\partial X^{2}} }

pierwszy wyraz w powyższej równowadze nazywany jest terminem niestabilnym. W przepływach niezmienniczych czasu wyrażenie to jest równe zeru. Stosunek pomiędzy pozostałymi dwoma wyrazami (tj. dyfuzyjne i konwekcyjne), równa się liczbie Pecleta, jak opisano poniżej.

\displaystyle{ Pe = \frac {UL}{D}}

zastosowanie do Mikrofluidyki

Rysunek 2 mieszanie zdominowane przez dyfuzję, które występuje w czujniku T, czyni go przydatnym w testach analitycznych opartych na fluorescencji. Analit (w Kolorze Niebieskim) dyfunduje z gatunkiem w kanale w funkcji długości kanału środkowego.

Figure 3 This is a microfluidic device that allows convenient extraction of small molecules from complex fluids into simpler buffer streams

Figure 4 Diagrams showing performance of staggered herringbone mixer. Image by MIT OpenCourseWare. Adapted from Figure 3 on p. 64 in Stroock et al.

niskie siły inercyjne obecne w wielu konfiguracjach mikroprzepływowych, ze względu na niską prędkość i skale długości, często dają niskie przepływy liczby Reynoldsa : można również oczekiwać niskich poziomów turbulencji w tych reżimach przepływu. Tak więc konwekcja nie jest rozpowszechniona w konfiguracjach mikroprzepływowych, chyba że jest celowo indukowana. Mieszanie, które występuje w tych urządzeniach, następuje w wyniku dyfuzji . Mieszanie indukowane dyfuzją jest znacznie wolniejsze niż mieszanie konwekcyjne, z prędkościami niższymi o kilka rzędów wielkości.

w urządzeniach, w których szybkie mieszanie nie jest pożądane (na przykład testy analityczne lub systemy separacji), idealny jest niski poziom Pe (mniejszy niż lub około 1). Czujniki T, jak pokazano na rysunku 2, są przykładem klasy urządzeń analitycznych, które korzystają z niskiego poziomu Pe. Czujniki T są stosowane w wielu konkurencyjnych testach immunologicznych, w których antygen i przeciwciało są wprowadzane do czujnika T. Biorąc pod uwagę oczekiwany wzór dyfuzji, jak pokazano na fig.2, każde odchylenie od tego wzoru wskazuje na Wiązanie przeciwciał. Czujniki T mogą być również stosowane w prostszych przypadkach, takich jak kwantyfikacja dyfuzyjności analitu i kinetyki reakcji, ponieważ skutki turbulencji są neutralizowane . Separacja jest również możliwa bez użycia membran w mikroprzepływach, ze względu na niski poziom Pe, o czym świadczy filtr H, pokazany na fig. 3. Filtr H wykorzystuje fakt, że większe gatunki mają niższe stałe dyfuzji niż mniejsze gatunki. Na przykład białka mają współczynnik dyfuzji o trzy rzędy wielkości większy niż jony soli . Separację można osiągnąć w kanale o kształcie litery „H”, gdzie mieszanina wejdzie na końce ” H ” I nastąpi separacja w taki sposób, że większy gatunek wyjdzie z dna tej samej strony, podczas gdy lżejszy gatunek przemierzy środkową część H na drugą stronę.

w jednostkach, w których wymagane jest mieszanie, takich jak Reaktory, Pe>>1 jest konieczne. Konwekcja pożądana w celu wytworzenia dużego Pe może być dostarczona za pomocą wielu metod, takich jak stosowanie mieszadeł lub wytrawionych kanałów, które wywołują wiry, jak pokazano w mieszadle w jodełkę na fig.4.

] „Adwekcja i dyfuzja chwilowego uwolnienia”. Heidi Nepf. 1.061 procesy transportowe w środowisku. Jesień 2008. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, Licencja: Creative Commons BY-NC-SA.

] „Fundamentals of Heat and Mass Transfer”Incropera, F., DeWitt, D., Bergman, T., Lavine, A. ; Wiley: New York. 2011

„wyprowadzenie podstawowego równania transportowego”. Ali Ertürk. Modelowanie ekosystemu laguny (ECOPATH / ECOSIM): od Hydrodynamiki po rybołówstwo. 21-23 czerwca 2011, Uniwersytet w Kłajpedzie i Leibniz Institute for Baltic Sea Research Warnemünde

] „Microfluidics: Fluid physics at the nanoliter scale”. Todd M. Squires i Stephen R. Quake. Ks. Mod. Phys. 77, 977 – Opublikowano 6 października 2005

„t-sensor”. Eric Schilling, Andrew Kamholz, Bernhard Weigl. University of Washington. Poprawiono 7 września 2001 r.

„Microfluidic diagnostic technologies for global public health”. Paul Yager, Thayne Edwards, Elain Fu, Kristen Helton, Kjell Nelson, Milton R. Tam i Bernhard H. Weigl. Nature 442, 412-418. Opublikowano 27 Lipca 2006. DOI: 10.1038/nature05064

] Stroock, A. D., S. K. W. Dertinger, A. Ajdari, I. Mezi , H. A. Stone, and G. M. Whitesides. „Chaotic Mixer for Microchannels.”Science, New Series, 295, no. 5555. (Jan. 25, 2002): 647-651.