równania w tym rozdziale nie wykorzystują aksjomatów mechaniki kwantowej, lecz wykorzystują relacje, dla których istnieje bezpośrednia korespondencja w mechanice klasycznej.

na przykład: sztywna regularna, krystaliczna (nie amorficzna) siatka składa się z N cząstek. Cząstki te mogą być atomami lub cząsteczkami. N jest dużą liczbą, powiedzmy rzędu 1023 lub rzędu liczby Avogadro dla typowej próbki ciała stałego. Ponieważ sieć jest sztywna, Atomy muszą wywierać na siebie siły, aby utrzymać każdy atom w pobliżu jego pozycji równowagi. Siły te mogą być siłami Van der Waalsa, wiązaniami kowalencyjnymi, atrakcjami elektrostatycznymi i innymi, z których wszystkie są ostatecznie spowodowane siłą elektryczną. Siły magnetyczne i grawitacyjne są na ogół znikome. Siły między każdą parą atomów mogą charakteryzować się funkcją energii potencjalnej V, która zależy od odległości oddzielenia atomów. Energia potencjalna całej sieci jest sumą wszystkich par energii potencjalnych pomnożonych przez współczynnik 1/2 w celu skompensowania podwójnego liczenia:

1 2 ∑ i ≠ j V ( r i − r j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}

gdzie ri jest położeniem i-tego atomu, a v jest energią potencjalną między dwoma atomami.

trudno jest jednoznacznie rozwiązać ten problem wielu ciał zarówno w mechanice klasycznej, jak i kwantowej. Aby uprościć zadanie, zwykle nakłada się dwa ważne przybliżenia. Po pierwsze, suma jest wykonywana tylko nad sąsiednimi atomami. Chociaż siły elektryczne w rzeczywistych ciałach stałych rozciągają się do nieskończoności, to przybliżenie to jest nadal aktualne, ponieważ pola wytwarzane przez odległe atomy są skutecznie ekranowane. Po drugie, potencjały V są traktowane jako potencjały harmoniczne. Jest to dopuszczalne tak długo, jak atomy pozostają blisko swoich pozycji równowagi. Formalnie osiąga się to przez rozszerzenie przez Taylora V o jego wartość równowagi do kwadratu, dając V proporcjonalny do przesunięcia x2 i siły sprężystej po prostu proporcjonalnej do x. Błąd w ignorowaniu terminów wyższego rzędu pozostaje mały, jeśli x pozostaje blisko pozycji równowagi.

powstałą kratę można zobrazować jako system kulek połączonych sprężynami. Poniższy rysunek przedstawia siatkę sześcienną, która jest dobrym modelem dla wielu rodzajów krystalicznego ciała stałego. Inne kraty to łańcuch liniowy, który jest bardzo prostą kratą, którą wkrótce wykorzystamy do modelowania fononów. (W przypadku innych typowych sieci, patrz struktura krystaliczna.)

energia potencjalna sieci może być teraz zapisana jako

∑ { i j } ( n n ) 1 2 n ω 2 ( R i − R j ) 2 . {\displaystyle \ sum _{\{ij\} (\mathrm {nn})} {\tfrac {1}{2}}nn\omega ^{2}\left (R_{i}-R_{j} \ right)^{2}.}

tutaj ω jest naturalną częstotliwością potencjałów harmonicznych, które zakłada się, że są takie same, ponieważ kratka jest regularna. Ri jest współrzędną położenia i-tego atomu, którą teraz mierzymy z jego położenia równowagi. Suma nad najbliższymi sąsiadami jest oznaczona (nn).

fale Kratownicoweedit

fonon propagujący się przez kratę kwadratową (przemieszczenia atomów znacznie przesadzone)

ze względu na połączenia między atomami przemieszczenie jeden lub więcej atomów z ich pozycji równowagi powoduje powstanie zestawu fal wibracyjnych rozchodzących się przez sieć. Jedna taka fala jest pokazana na rysunku po prawej stronie. Amplituda fali jest określona przez przesunięcia atomów z ich pozycji równowagi. Długość fali λ jest oznaczona.

istnieje minimalna możliwa długość fali, określona przez dwukrotność równowagi separacji a między atomami. Każda długość fali krótsza od tej może być odwzorowana na długość fali dłuższą niż 2A, ze względu na okresowość sieci. Można to uznać za jedną z konsekwencji twierdzenia Nyquista-Shannona o próbkowaniu, punkty kratowe są postrzegane jako” punkty próbkowania ” fali ciągłej.

nie każda możliwa wibracja sieciowa ma dobrze określoną długość fali i częstotliwość. Jednak normalne tryby mają dobrze zdefiniowane długości fal i częstotliwości.

siatka jednowymiarowaedit

Animacja pokazująca pierwsze 6 normalnych trybów siatki jednowymiarowej: liniowy łańcuch cząstek. Najkrótsza długość fali jest na górze, z coraz dłuższymi długościami fal poniżej. W najniższych liniach widać ruch fal w prawo.

aby uprościć analizę potrzebną do trójwymiarowej sieci atomów, wygodnie jest modelować 1-wymiarową sieć lub łańcuch liniowy. Ten model jest wystarczająco złożony, aby wyświetlić najistotniejsze cechy fononów.

klasyczna obróbka

przyjmuje się, że siły między atomami są liniowe i najbliższe sąsiadom, a reprezentowane są przez sprężystą sprężynę. Zakłada się, że każdy atom jest cząstką punktową, a jądro i elektrony poruszają się w kroku (twierdzenie adiabatyczne):

N − 1 n n + 1 ← A →

···o++++++o+++++o+++++o+++++O+++++O+++++O+++++O+++++O+++++O+++++O+++ + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O + + + + + O···

→ → → → un − 1 un un + 1

gdzie n oznacza n-ten atom z sumy N, A jest odległością między atomów, gdy łańcuch jest w równowadze, i un przemieszczenie n-tego atomu z pozycji równowagi.

Jeśli C jest stałą sprężystą sprężyny, a m masą atomu, to równanie ruchu n − tego atomu wynosi

− 2 C u N + C ( u N + 1 + U N-1 ) = M d 2 u n d T 2 . {\displaystyle-2Cu_{n} + c \ left(u_{N + 1}+u_{n-1} \ right) = m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}

jest to zbiór równań sprzężonych.

ponieważ rozwiązania mają być oscylacyjne, nowe współrzędne są definiowane przez dyskretną transformatę Fouriera, aby je oddzielić.

Put

u N = ∑ N A k / 2 π = 1 N Q K e i k n A . {\displaystyle u_{n}= \ sum _{Nak / 2\pi =1}^{N} Q_{k}e^{ikna}.}

tutaj na odpowiada i dewoluje zmiennej ciągłej x skalarnej teorii pola. Qk są znane jako współrzędne normalne, tryby pola Continuum φk.

Podstawienie do równania ruchu daje następujące równania odsprzęgnięte (wymaga to znaczącej manipulacji przy użyciu relacji ortonormalności i kompletności dyskretnej transformacji Fouriera,

2 C ( cos ⁡ k a − 1 ) Q k = m d 2 Q K d t 2 . {\displaystyle 2C (\cos {ka-1})Q_{k}=m {\frac {d^{2} Q_{k}} {dt^{2}}}.}

są to równania dla odsprzęgniętych oscylatorów harmonicznych, które mają rozwiązanie Q K = A K e i ω k t ; ω K = 2 C m ( 1 − cos ⁡ k A). {\displaystyle Q_{k} = A_ {k}E^{i \ omega _{k} t}; \ qquad \ omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C} {m}} (1 – \cos {ka})}}.}

każda współrzędna normalna Qk reprezentuje niezależny tryb wibracyjny sieci o numerze falowym K, który jest znany jako tryb normalny.

drugie równanie, dla wk, znane jest jako zależność dyspersji między częstotliwością kątową a liczbą falową.

w granicy kontinuum, a→0, N→∞, z na utrzymanym stałym, un → φ(x), polem skalarnym i ω ( k ) ∝ k A {\displaystyle \omega (k)\propto ka}

. Jest to klasyczna teoria pola swobodnego skalarnego, zespół niezależnych oscylatorów.

obróbka Kwantowaedytuj

jednowymiarowy kwantowo-mechaniczny łańcuch harmoniczny składa się z N identycznych atomów. Jest to najprostszy kwantowo-mechaniczny model sieci, który pozwala na powstanie z niej fononów. Formalizm tego modelu można łatwo uogólnić na dwa i trzy wymiary.

w pewnym przeciwieństwie do poprzedniej sekcji, pozycje mas nie są oznaczane przez ui, ale zamiast tego przez x1, x2…, mierzone od ich pozycji równowagi (tj. xi = 0, jeśli cząstka i znajduje się w położeniu równowagi.) W dwóch lub więcej wymiarach xi są wielkościami wektorowymi. Hamiltonian dla tego układu TO

H = ∑ i = 1 N P i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { i j } ( n n ) ( x i − x j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2M}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {NN} )}\left(x_{i}-x_{J}\right)^{2}}

gdzie M jest masą każdego atomu (zakładając, że jest równy dla wszystkich), a xi i pi są odpowiednio operatorami położenia i pędu, dla i-tego atomu i sumy dokonuje się nad najbliższymi sąsiadami (nn). Jednak spodziewa się, że w sieci mogą pojawić się również fale, które zachowują się jak cząstki. Zwyczajowo mamy do czynienia z falami w przestrzeni Fouriera, która używa normalnych trybów falowodu jako zmiennych zamiast współrzędnych cząstek. Liczba trybów normalnych jest taka sama jak liczba cząstek. Jednak przestrzeń Fouriera jest bardzo przydatna, biorąc pod uwagę okresowość układu.

można wprowadzić zestaw N „współrzędnych normalnych” Qk, zdefiniowanych jako dyskretne transformaty Fouriera xk i N „sprzężonych momentów” Πk zdefiniowanych jako transformaty Fouriera pk:

Q K = 1 N ∑ l e I K A L x L Π K = 1 N ∑ l E − i K A L P l . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}\sum _{l} e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}

ilość kn okazuje się być liczbą falową fononu, tzn. 2π podzieloną przez długość fali.

ten wybór zachowuje pożądane relacje komutacji w przestrzeni rzeczywistej lub przestrzeni falowodowej

= i ℏ δ l , M = 1 N ∑ l , m E i k A L e − i K 'A m = i ℏ N ∑ l E i A L ( k − k’ ) = i δ δ K , k ’ = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=I\hbar \delta _{l,m}\\left&={\frac {1}{N}}\suma _{L,M}E^{ikal}e^{-IK’am}\left\\&={\frac {i\hbar }{N}}\suma _{l}e^{ial\left(K-K’\Right)}=i\Hbar\Delta _{K,K’} \\Left&=\left=0\end{aligned}}}

z Generalnej wynik

∑ L X L X L + M = 1 N ∑ k K 'G Do G’ ∑ L E A L ( K + Do ’ ) e i M K = ∑ K E i K O − Z i E i M K ∑ L P L 2 = ∑ Π Π do, do − do {\właściwości styl wyświetlania wartości {\zaczynają się{wyrównane}\kwocie _{ja}x_ nie{ja}x_ nie{L+P}&w={\фрац {1}{N}}\kwocie _{KK}Q_{k}Q_{do’}\kwocie _{ja}e^{МВЛ\w lewo(w prawo, w kierunku+Z’\)} E^{iamk’}=\kwota _{k}Q_{k}Q_ {k}e^{iamk}\\\kwota _{l}{p_{l}}^{2}&=\kwota _{k}\Pi _{k}\Pi _{k}\end{wyrównane}}}

Członek energii potencjalnej jest równa

1,2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1,2 m ω 2 ∑ k Q k Q − k ( 2 − e i k, i, e, q ) = 1,2 ∑ k I ω k 2 Q k Q k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\kwota _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_ {k}(2-e^{as} e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_ {k}}

where

ω k = 2 ω 2 ( 1 − cos ⁡ k a ) = 2 ω | sin ⁡ k a 2 | {\im umożliwić firmy ляемые standardowymi \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}

Hamiltonian może być zapisany w przestrzeni falowodowej jako

H = 1 2 m ∑ k ( Π k π − k + m 2 ω K 2 Q K Q − K ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\Sum _{k}\left(\pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\Omega _{K}^{2}q_{k}q_{-K}\right)}

sprzężenia między zmiennymi pozycyjnymi zostały przekształcone; gdyby Q i Π były Hermitycznymi (którymi nie są), przekształcony Hamiltonian opisałby N niezwiązanych oscylatorów harmonicznych.

forma kwantyzacji zależy od wyboru warunków brzegowych; dla uproszczenia nakłada się okresowe warunki brzegowe, definiując (N + 1)atom th jako odpowiednik pierwszego atomu. Fizycznie odpowiada to połączeniu łańcucha na jego końcach. Otrzymana kwantyzacja wynosi

k = K n = 2 π N N A Dla n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k = k_{n}={\frac {2\pi N}{Na}}\quad {\mbox{for }}n = 0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }

górna granica n pochodzi z minimalnej długości fali, która jest dwukrotnie większa od siatki a, jak omówiono powyżej.

wartości własne oscylatora harmonicznego lub poziomy energii dla trybu wk to:

E n = (1 2 + n ) ℏ ω K n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+N\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }

poziomy są równomiernie rozmieszczone w:

1 2 ℏ ω , 3 2 ω ω , 5 2 ω ω ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }

gdzie 1/2W jest energią punktu zerowego kwantowego oscylatora harmonicznego.

do sieci oscylatora harmonicznego musi być dostarczona dokładna ilość energii, aby przesunąć ją do następnego poziomu energii. W porównaniu do przypadku fotonu, gdy pole elektromagnetyczne jest kwantyzowane, kwant energii drgań nazywany jest fononem.

wszystkie układy kwantowe wykazują jednocześnie właściwości falowe i cząstkowe. Właściwości cząsteczkowe fononu najlepiej zrozumieć stosując opisane później metody drugiej kwantyzacji i techniki operatorowe.

siatka Trójwymiarowaedit

można to uogólnić do siatki trójwymiarowej. Numer falowy k jest zastępowany przez trójwymiarowy falownik K. Co więcej, każde k jest teraz powiązane z trzema współrzędnymi normalnymi.

nowe indeksy s = 1, 2, 3 oznaczają polaryzację fononów. W modelu jednowymiarowym Atomy były ograniczone do poruszania się wzdłuż linii, więc fonony odpowiadały falom podłużnym. W trzech wymiarach wibracje nie ograniczają się do kierunku propagacji, mogą również występować w płaszczyznach prostopadłych, jak fale poprzeczne. Prowadzi to do powstania dodatkowych współrzędnych normalnych, które, jak wskazuje forma Hamiltonianu, możemy postrzegać jako niezależne gatunki fononów.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

dla jednowymiarowego układu przemiennego dwóch typów jonów lub atomów o masie M1, M2 powtarzanych okresowo w odległości a, połączonych sprężynami o stałej sprężynowej K, dwa tryby drgań:

ω ± 2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) ± K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 sin 2 ⁡ k a 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{M_{1}}}+{\frac {1}{M_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\Sin ^{2}{\frac {Ka}{2}}}{M_{1}M_{2}}}}},}

gdzie k jest falownikiem drgań związanym z jego długość fali przez K = 2 π λ {\displaystyle k = {\tfrac {2 \ pi} {\lambda }}}

.

związek między częstotliwością a falownikiem, ω = ω(k), jest znany jako relacja dyspersji. Znak plus powoduje tzw. tryb optyczny, a znak minus-tryb akustyczny. W trybie optycznym dwa sąsiadujące ze sobą różne Atomy poruszają się przeciwko sobie, podczas gdy w trybie akustycznym poruszają się razem.

prędkość propagacji fononu akustycznego, która jest również prędkością dźwięku w sieci, jest określona przez nachylenie relacji dyspersji akustycznej, ∂wk/∂k (zob. prędkość grupowa.) Przy niskich wartościach k (tj. długościach fal) zależność dyspersji jest niemal liniowa, a prędkość dźwięku wynosi w przybliżeniu wa, niezależnie od częstotliwości fononu. W rezultacie Pakiety fononów o różnych (ale długich) długościach fal mogą propagować się na duże odległości w sieci bez rozpadania się. Jest to powód, dla którego dźwięk propaguje się przez ciała stałe bez znaczących zniekształceń. Zachowanie to zawodzi przy dużych wartościach k, tj. krótkich długościach fal, ze względu na mikroskopijne szczegóły sieci.

dla kryształu, który ma co najmniej dwa atomy w swojej prymitywnej komórce, relacje dyspersyjne wykazują dwa rodzaje fononów, a mianowicie tryby optyczne i akustyczne odpowiadające odpowiednio górnej krzywej niebieskiej i dolnej Czerwonej na diagramie. Oś pionowa jest energią lub częstotliwością fononu, podczas gdy oś pozioma jest falownikiem. Granice w −π/a i π/a to granice pierwszej strefy Brillouina. Kryształ Z N ≥ 2 różnych atomów w prymitywnej komórce wykazuje trzy tryby akustyczne: jeden podłużny tryb akustyczny i dwa poprzeczne tryby akustyczne. Liczba trybów optycznych wynosi 3N-3. Dolny rysunek przedstawia relacje dyspersji dla kilku trybów fononowych w GaAs jako funkcję falowodora k w głównych kierunkach jego strefy Brillouina.

wiele krzywych dyspersji fononów zostało zmierzonych przez nieelastyczne rozpraszanie neutronów.

fizyka dźwięku w cieczach różni się od fizyki dźwięku w ciałach stałych, chociaż obie są falami gęstości: fale dźwiękowe w cieczach mają tylko elementy podłużne, podczas gdy fale dźwiękowe w ciałach stałych mają elementy podłużne i poprzeczne. Dzieje się tak dlatego, że płyny nie mogą wspierać naprężeń ścinających (ale patrz płyny lepkosprężyste, które dotyczą tylko wysokich częstotliwości).

interpretacja fononów przy użyciu drugiej kwantyzacji technicznejedytuj

Powyższa Pochodna Hamiltonian może wyglądać jak klasyczna funkcja Hamiltonowa, ale jeśli jest interpretowana jako operator, to opisuje kwantową teorię pola nie oddziałujących ze sobą bozonów.Druga technika kwantyzacji, podobna do metody operatora drabinkowego stosowanej w kwantowych oscylatorach harmonicznych, jest sposobem ekstrakcji wartości własnych energii bez bezpośredniego rozwiązywania równań różniczkowych. Biorąc pod uwagę Hamiltonian, H {\displaystyle {\mathcal {h}}}

, a także pozycję sprzężoną, Q k {\displaystyle Q_{k}}

, oraz sprzężony moment pędu π K {\displaystyle \pi _{K}}

zdefiniowany w powyższej sekcji leczenia kwantowego, możemy zdefiniować operatory tworzenia i anihilacji: b k = I ω k 2 ℏ ( Q k + i, m ω k Π − k ) {\styl wyświetlania b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\lewej(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\prawej)}

i b k † = I ω k 2 ℏ ( Q − k − i i ω k Π k ) {\styl wyświetlania {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _ {k}}{2\hbar }}}\lewej(Q_ {k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\po prawej)}

następujące komutatory można łatwo uzyskać , zastępując w kanonicznej relacji komutacyjnej:

= δ k, k’, = = 0 {\displaystyle \left=\delta _{K, k’},\quad {\Big }=\left=0}

używając tego, operatory BK† I BK można odwrócić, aby na nowo zdefiniować sprzężoną pozycję i pęd jako:

Q k = ℏ 2 m ω k ( b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}\left({b_{k}}^{\dagger} +b_{-k}\right)}

i π k = i ℏ m ω K 2 ( b k † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\Omega _{K}} {2}}}\Left({b_{k}}^{\Dagger}- b_{-K}\right)}

bezpośrednio podstawianie tych definicji dla Q K {\displaystyle Q_{k}}

I Π K {\displaystyle \Pi _{k}}

do Hamiltonianu przestrzeni falowodowej, ponieważ jest zdefiniowana powyżej, a jej uproszczenie powoduje, że Hamiltonian przyjmuje postać: H = ∑ k ω ω k ( b k † b k + 1 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}

jest to druga technika kwantyzacji, znana również jako formulacja numeru zajęcia, gdzie NK = BK†BK to numer zajęcia. Można zauważyć, że jest to suma N niezależnych oscylatorów, z których każdy ma unikalny wektor falowy i jest zgodny z metodami stosowanymi dla kwantowego oscylatora harmonicznego (należy zauważyć, że NK jest hermicjuszem). Gdy Hamiltonian można zapisać jako sumę dojeżdżających pod-Hamiltonianów, energia eigenstatów będzie dana przez produkty eigenstatów każdego z osobnych pod-Hamiltonianów. Odpowiednie widmo energii jest następnie podane przez sumę indywidualnych wartości własnych pod-Hamiltonianów.

podobnie jak w przypadku kwantowego oscylatora harmonicznego, można wykazać, że odpowiednio bk† I bk tworzą i niszczą pojedyncze wzbudzenie pola, fonon, o energii ok.

z tej techniki można wywnioskować trzy ważne właściwości fononów. Po pierwsze, fonony są bozonami, ponieważ dowolną liczbę identycznych wzbudzeń można utworzyć przez wielokrotne zastosowanie operatora kreacji BK†. Po drugie, każdy fonon jest „kolektywnym trybem” spowodowanym ruchem każdego atomu w sieci. Wynika to z faktu, że operatory tworzenia i anihilacji, zdefiniowane tutaj w przestrzeni pędu, zawierają sumy nad operatorami położenia i pędu każdego atomu, gdy są zapisywane w przestrzeni położenia (Zobacz przestrzeń położenia i pędu). Na koniec, korzystając z funkcji korelacji pozycja-pozycja, można wykazać, że fonony działają jak fale przesunięcia sieci.

technika ta jest łatwo uogólniona do trzech wymiarów, gdzie Hamiltonian przyjmuje postać:

H = ∑ k ∑ s = 1 3 ω ω k , s ( b k , s † b k , s + 1 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}= \ sum _{k} \ sum _{s = 1}^{3} \ hbar \, \ omega _{k, s} \ left ({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k, s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}