jeśli rozciągniemy gumkę wokół powierzchni jabłka, możemy zmniejszyć ją do punktu, przesuwając ją powoli, bez rozrywania i nie pozwalając jej opuścić powierzchni. Z drugiej strony, jeśli wyobrazimy sobie, że ta sama gumka została jakoś rozciągnięta we właściwym kierunku wokół pączka, to nie ma sposobu na obkurczenie jej do punktu bez złamania gumki lub pączka. Mówimy, że powierzchnia jabłka jest „po prostu połączona”, ale powierzchnia pączka nie jest. Poincaré, prawie sto lat temu, wiedział, że sfera dwuwymiarowa charakteryzuje się zasadniczo tą właściwością prostej łączności i zadał odpowiednie pytanie dotyczące sfery trójwymiarowej.

to pytanie okazało się niezwykle trudne. Prawie sto lat upłynęło między jego sformułowaniem w 1904 roku przez Henri Poincaré a jego rozwiązaniem przez Grigorija Perelmana, ogłoszonym w przedrukach zamieszczonych na ArXiv.org w 2002 i 2003 roku. Rozwiązanie Perelmana opierało się na teorii Ricciego przepływu Richarda Hamiltona i wykorzystywało wyniki na przestrzeniach metryki dzięki Cheegerowi, Gromowowi i Perelmanowi. W tych opracowaniach Perelman udowodnił również hipotezę geometryzacji Williama Thurstona, której szczególnym przypadkiem jest hipoteza Poincarégo. Zobacz komunikat prasowy z dnia 18 marca 2010 r.

http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/