um sistema de equações lineares pode ser resolvido reduzindo sua matriz aumentada em forma echelon reduzida.

uma matriz pode ser alterada para a sua forma de linha reduzida echelon, ou linha reduzida para a sua forma de linha reduzida echelon usando as operações de linha elementares. Estes são:

1. Interchange one row of the matrix with another of the matrix.
2. multiplique uma linha da matriz por uma constante escalar não-zero.
3. Substitua a linha por uma linha mais uma constante vezes outra linha da matriz.

Por exemplo, dado o seguinte sistema linear com matriz aumentada correspondente:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve este sistema, a matriz tem que ser reduzida em forma de echelon reduzida.

Passo 1: Mudar de linha 1 e linha 3. Todos os zeros iniciais estão agora abaixo de entradas iniciais não-zero.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Configure a linha 2 para a linha 2 mais (-1) vezes a linha 1. Por outras palavras, subtrai a linha 1 da linha 2. Isto irá eliminar a primeira entrada da linha 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Passo 4: Definir a linha 3 para a linha 3 plus (-1) vezes a linha 2. Por outras palavras, subtrai a linha 2 da linha 3. Isto irá eliminar a segunda entrada da linha 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: multiplique cada linha pela reciprocidade de seu primeiro valor não-zero. Isto fará com que cada linha comece com um 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is agora na linha de forma escalonada: Todos diferentes de zero linhas estão acima de quaisquer linhas de zeros (não há nenhum zero linhas), cada líder de entrada de uma linha em uma coluna à direita do líder de entrada de linha acima e todas as entradas em uma coluna abaixo de um líder de entrada são zeros.

Como pode e será mostrado mais tarde, a partir desta forma pode-se observar que o sistema tem infinitamente muitas soluções. Para obter essas soluções, a matriz é ainda reduzida em forma echelon reduzida.

Passo 6: Configurar a linha 2 para a linha 2 mais (-1) vezes a linha 3 e a linha 1 para a linha 1 mais (-2) vezes a linha 3. Isto irá eliminar as entradas acima da entrada principal da linha 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Mudar a linha 1 para a linha 1 mais 3 vezes a linha 2. Isto elimina a entrada acima da entrada principal da linha 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a formulário echelon reduzido, uma vez que a entrada principal em cada linha não-zero é 1 e cada entrada principal 1 é a única entrada não-zero na sua coluna.

deste modo, a solução do sistema pode ser lida:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}