O assunto de real de análise está preocupada com o estudo do comportamento e propriedades de funções, sequências, e define o número real de linha, que denotamos como matematicamente familiar, R. Conceitos que desejamos examinar, através real da análise de propriedades como Limites, Continuidade, Derivadas (taxas de variação), e a Integração (quantidade de mudança ao longo do tempo). Muitas dessas idéias são, em um nível conceitual ou prático, tratadas em níveis mais baixos da matemática, incluindo um curso regular de cálculo de primeiro ano, e assim, para o leitor não iniciado, o assunto da análise Real pode parecer bastante sem sentido e trivial. No entanto, a Análise Real está em uma profundidade, complexidade, e indiscutivelmente beleza, que é porque sob a superfície da matemática cotidiana, há uma garantia de correção, que chamamos rigor, que permeia toda a matemática. Assim, a análise Real pode, até certo ponto, ser vista como um desenvolvimento de um quadro rigoroso e bem comprovado para apoiar as ideias intuitivas que frequentemente tomamos como garantidas.

A Análise Real é um assunto muito simples, na medida em que é simplesmente um desenvolvimento quase linear de ideias matemáticas que você encontrou ao longo de sua história de matemática. No entanto, em vez de confiar na intuição por vezes incerta (que todos sentimos quando estávamos a resolver um problema que não compreendíamos), vamos ancorá-la a um rigoroso conjunto de teoremas matemáticos. Ao longo deste livro, vamos começar a ver que não precisamos de intuição para entender matemática – precisamos de um manual.

A tese geral deste livro é como definir os números reais axiomaticamente. Como é que isso funcionaria? Este livro será lido desta forma: nós definimos as propriedades que pensamos definir os números reais. Provamos então a partir dessas propriedades – e apenas dessas propriedades – que os números reais se comportam da maneira que sempre imaginamos que se comportassem. Vamos então refazer todos os nossos teoremas elementares e fatos que coletamos em nossas vidas matemáticas para que tudo se junte, quase como se sempre tivesse sido verdade antes de analisá – lo; que foi de fato rigoroso o tempo todo-exceto que agora saberemos como veio a ser.

não acredite que uma vez que você tenha completado este livro, a matemática acabou. Em outros campos do estudo acadêmico, há vislumbres de um reino estranho da matemática cada vez mais trazido para a vanguarda do pensamento padrão. Depois de entender este livro, a matemática agora vai parecer como se estivesse incompleta e faltando em conceitos que talvez você tenha se perguntado antes. Neste livro, vamos fornecer vislumbres de algo mais para a matemática do que os números reais e análise real. Afinal de contas, a matemática de que falamos aqui parece sempre envolver apenas uma variável num mar de Números, operações e comparações.nota: uma tabela dos Símbolos matemáticos usados abaixo e suas definições estão disponíveis no Apêndice.

• Prefácio
• Antiga Introdução
• Manual de Estilo – Como ler este wikilivro

Uma lista de seleção de capítulos, com curadoria de outros livros estão listados abaixo. Eles devem ajudar a desenvolver o seu rigor matemático que é um modo necessário de pensamento que você vai precisar neste livro, bem como em matemática superior.

• a notação da teoria dos conjuntos e provas matemáticas, a partir do livro prova matemática
• a experiência de trabalhar com conceitos de cálculo, a partir do livro cálculo