biografia

os pais de Paul Cohen, Abraham e Minnie Cohen, foram imigrantes judeus para os Estados Unidos a partir de sua terra natal da Polônia. Abraham Cohen era basicamente um homem de trabalho estranho, girando sua mão para uma variedade de trabalhos diferentes, enquanto sua esposa trouxe algum dinheiro muito necessário para a família de fazer vestidos. Paul era o mais novo dos quatro filhos de seus pais e foi criado em Brooklyn, Nova Iorque. Ele foi criado por sua mãe a partir dos nove anos desde que seus pais se separaram. Interessado em matemática desde a infância, começou a estudar matemática avançada desde tenra idade. He: –

… tinha apenas nove anos quando a irmã Sylvia verificou um livro sobre cálculo numa biblioteca de Nova Iorque para ele. Os bibliotecários estavam relutantes em deixá-la ter o livro, muito menos para seu irmão mais novo, argumentando que mesmo alguns professores universitários não entendiam cálculo.

ao longo de sua adolescência ele foi considerado como um prodígio matemático, incrível ao seu redor com as habilidades que ele exibiu em competições de matemática. Ele estudou na Stuyvesant High School em Nova York, graduando-se em 1950 com a idade de dezesseis anos. Esta escola, com uma alta reputação de matemática e ciência, aceitou apenas os melhores alunos depois de fazer um exame de admissão. Depois de se formar na Stuyvesant High School, Cohen foi um estudante no Brooklyn College de 1950 até 1953, mas saiu sem ter obtido um diploma tendo sido admitido para estudos de pós-graduação na Universidade de Chicago após fazer uma visita para discutir suas opções de pesquisa em Chicago. Ele estudou para seu mestrado em Chicago, fazendo cursos para se encaixar com seu objetivo na época, que era realizar pesquisas em teoria dos números. Seu conhecimento da teoria dos números antes de chegar em Chicago foi de uma série de textos clássicos que ele tinha lido por conta própria enquanto estava na Faculdade. Para se adaptar a este objetivo, ele começou a trabalhar na teoria dos números supervisionada por André Weil. Ele recebeu seu grau de Mestre em 1954, mas ele veio para ser mais interessado no fato de que certos resultados em teoria de números foram indecidíveis que em número teoria, teoria dos números, no entanto, manteve-se um tópico de interesse para ele ao longo de sua carreira :-

Ele fez um hábito de pedir o corpo docente e os colegas que os problemas mais importantes estavam em seus campos, porque aqueles eram os únicos problemas que ele queria resolver.

Continuing to study at Chicago for his doctorate under the supervision of Antoni Zygmund he was awarded his PhD in 1958 for his doctoral thesis Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series. In this thesis, Cohen states that he :-

… deseja expressar a sua mais profunda gratidão ao Professor a Zygmund pela sua ajuda e encorajamento constantes durante a preparação desta dissertação.

ele começa a introdução colocando o tópico da tese em contexto :-

A teoria da singularidade do trigonométricas série pode ser considerada como arsing da questão de decidir em que sentido a série de Fourier de uma função pode ser considerado como legítimo expansão da função em um infinito trigonométricas série. Nós sabemos, naturalmente, que se a série converge unitedly à função, então certamente os coeficientes da série devem ser dados pelas fórmulas de Euler-Fourier. No entanto, na ausência de tal condição, podemos perguntar-nos se duas séries trigonométricas podem convergir para a mesma função em toda a parte. A resposta a esta questão é negativa e foi essencialmente provada por Riemann, sendo a prova completada por Cantor. É com a substituição da condição de convergência em todos os lugares com a de convergência em quase todos os lugares, que a teoria dos conjuntos de singularidade está em causa.

the years as a research student were good ones for Cohen and he made many friendships with fellow students, friendships that would last throughout his life. John Thompson foi um desses colegas de pesquisa em Chicago. Cohen, através dessas amizades, tinha também começado a tomar um interesse em lógica :-

Como um estudante de pós-graduação Cohen sua conexão com a lógica fosse sua amizade com um animado grupo de estudantes que se tornaram os lógicos; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan, e Stanley Tennenbaum. Por um tempo ele viveu na casa de Tennenbaum e absorveu a lógica por osmosis, pois não havia cursos de lógica no departamento de matemática de Chicago.

in 1957, before the award of his doctorate, Cohen was appointed as an Instructor in Mathematics at the University of Rochester for a year. Ele então passou o ano acadêmico 1958-59 no Massachusetts Institute of Technology antes de passar 1959-61 como um fellow no Instituto de Estudos Avançados em Princeton. Estes foram anos em que Cohen fez uma série de avanços matemáticos significativos. In Factorization in group algebras (1959) he showed that any integrable function on a locally compact group is the convolution of two such functions, solving a problem posed by Walter Rudin. In On a conjecture of Littlewood and idempotent measures (1960) Cohen made a significant breakthrough in solving the Littlewood Conjecture. Ele havia escrito anteriormente para Harold Davenport, dizendo-lhe sobre este resultado e Davenport respondeu :-

… a Paulo dizendo que se a prova de Paulo se mantivesse, ele teria melhorado uma geração de analistas britânicos que tinham trabalhado duro neste problema. A prova de Paul se manteve; de fato, Davenport foi o primeiro a melhorar o resultado de Paul.

in 1961 Cohen was appointed to the faculty at Stanford University as an assistant professor of mathematics. Ele foi promovido a Professor Associado em matemática no ano seguinte e, também em 1962, foi premiado com um Alfred P Sloan research fellowship. In August 1962 Cohen participated in the International Congress of Mathematicians in Stockholm. He was an invited speaker giving the address Idempotent measures and homomorphisms of group algebras. Em um cruzeiro de Estocolmo a Leningrado, após o Congresso, Cohen conheceu Christina Karls de Malung, Suécia. Eles se casaram em 10 de outubro de 1963 e tiveram três filhos, gêmeos Eric e Steven, e Charles.ele foi promovido a professor titular na Universidade de Stanford em 1964 tendo, por esta altura, resolvido um dos problemas abertos mais desafiadores da matemática. Cohen usou uma técnica chamada “forçando” para provar a independência na teoria dos conjuntos do axioma da escolha e da hipótese generalizada do continuum. Angus MacIntyre escreve :-

a dramatic aspect of the continuum hypothesis work is that Cohen was a self-taught outsider in logic. His work on set theory and p-adic fields has a very characteristic style, combinatorial and rather free of general theory.

In Cohen explains how he came to the idea of forcing from reading Kurt Gödel’s The Consistency of the Continuum Hypothesis, a book consisting of notes of a course given at the Institute for Advanced Study in 1938-39. The continuum hypothesis problem was the first of David Hilbert’s famous 23 problems delivered to The Second International Congress of Mathematicians in Paris in 1900. Hilbert’s famous speech The Problems of Mathematics challenged (and today still challenges) mathematicians to solve these fundamental questions and Cohen has the distinction of solving Problem 1.ele começou a trabalhar na hipótese da Independência do continuum no final de 1962. Em abril de 1963, ele sentiu que as coisas encaixavam no lugar. :-

há certos momentos em qualquer descoberta matemática quando a resolução de um problema ocorre a um nível subconsciente tal que, em retrospectiva, parece impossível dissecá-lo e explicar a sua origem. Pelo contrário, toda a ideia se apresenta de uma só vez, muitas vezes de forma vaga, mas gradualmente se torna mais precisa.

depois de ler a prova de Cohen que ele enviou em uma carta de 9 de Maio de 1963, Kurt Gödel respondeu a ele:-

deixe-me repetir que é realmente um prazer ler sua prova da Independência da hipótese do continuum. Penso que, em todos os aspectos essenciais, deu a melhor prova possível, o que não acontece com frequência. Ler sua prova teve um efeito igualmente agradável em mim como ver uma peça realmente boa.

Cohen spoke about his work on the independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from the axioms of Zermelo-Fraenkel set theory in a lecture Independence results in set theory delivered at the international symposium on the ‘Theory of Models’ at Berkeley on 4 July 1963. His proof appeared in the two papers The independence of the continuum hypothesis (1963) and the independence of the continuum hypothesis. II (1964). Andrzej Mostowski, revisando o primeiro, escreve:-

Estes resultados apresentam o tão aguardado soluções das mais importantes problemas em aberto da axiomática da teoria dos conjuntos, e deve ser classificado como o mais importante avanço no estudo axiomático da teoria dos conjuntos, desde a publicação de Gödel é de 1940 monografia “A consistência do continuum hipótese’ (1940). … para este revisor parece mais do que provável que a influência da descoberta de Cohen será pelo menos tão profunda na metamatemática como na filosofia geral da matemática (e talvez não apenas da matemática).

Angus MacIntyre, que era um estudante de pós-graduação em Stanford, de 1964 a 1967, escreve :-

Ele me inspiraram quando eu era um jovem matemático. Nunca o ouvi falar sobre teoria dos conjuntos, mas sim sobre geometria algébrica e campos p-adicos. Ele tinha um estilo muito especial, cheio de entusiasmo e muito ‘mãos sobre.”Ele usou o mínimo possível de Teoria Geral e sempre transmitiu a sensação de que chegou ao coração das coisas. Suas técnicas, mesmo em algo tão abstrato quanto a teoria dos conjuntos, foram muito construtivas. Ele foi assustadoramente inteligente, e teria de ser ingênuo ou, excepcionalmente, altruísta para colocar um mais difícil problema ” para o Paulo eu sabia que nos anos 60.

Veja um artigo de Paul Cohen sobre a matemática e o ensino NESTE LINK
Em 1966 Cohen publicou a monografia teoria dos conjuntos e a continuidade de hipótese baseado em um curso que ele deu em Harvard, na primavera de 1965. Azriel Lévy (que ouviu pela primeira vez os resultados de Cohen na Berkeley model theory conference) escreve:-

esta monografia é principalmente uma exposição dos célebres resultados do autor, nomeadamente a independência da hipótese do continuum e o axioma da escolha. Além disso, apresenta também os principais resultados clássicos na lógica e teoria dos conjuntos. … Este livro apresenta uma abordagem nova e intuitiva e dá alguns vislumbres do processo mental que levou o autor a suas descobertas. O leitor encontrará neste livro apenas a quantidade certa de observações filosóficas para uma monografia matemática.

In the same year Cohen was awarded a Fields Medal for his fundamental work on the foundations of set theory. Foi-lhe apresentado por Mstislav Vsevolodovich Keldysh, Presidente da Academia de Ciências da URSS, no Congresso Internacional de Matemáticos de 1966 em Moscou. Apenas um medalhista de Campos (Lars Ahlfors) foi premiado com a Medalha Fields em uma idade mais jovem. Alonzo Church deu um discurso ao Congresso sobre Paul J Cohen e o problema do continuum descrevendo as notáveis realizações de Cohen. The Fields Medal, however, was not the first award that Cohen received. In 1964 he was awarded the Bôcher Memorial Prize from the American Mathematical Society:-

…for his paper, On a conjecture of Littlewood and idempotent measures, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

Três anos mais tarde, em 1967, Cohen recebeu a Medalha Nacional da Ciência:-

Para a época de resultados em lógica matemática, que têm animada e ampliou as investigações na fundação de matemática.

Ele recebeu o prêmio do Presidente Lyndon B Johnson, em uma cerimônia na Casa Branca em 13 de fevereiro de 1968. Ele também foi eleito para a Academia Nacional de Ciências, a Academia Americana de Artes e Ciências, e como um membro estrangeiro honorário da London Mathematical Society.in addition to his work on set theory, Cohen worked on differential equation and harmonic analysis. Dawn Levy reports in comments made about Cohen by Peter Sarnak (professor of mathematics at Princeton and a former doctoral student of Cohen’s with the thesis Prime Geodesic Theorems (1980)):-

Paul Cohen was one of the most brilliant mathematicians of the 20th century. Como muitos grandes matemáticos, seus interesses matemáticos e contribuições foram muito amplos, desde Análise Matemática e equações diferenciais até lógica matemática e teoria dos números. Esta amplitude foi destacada em uma conferência realizada em Stanford em setembro passado, celebrando o trabalho de Cohen e seu 72º aniversário. O encontro consistiu em especialistas líderes em diferentes áreas que normalmente não se encontrariam ouvindo o mesmo conjunto de palestras. … Cohen foi um professor e professor dinâmico e entusiástico. Ele fez a matemática parecer simples e unificada. Ele estava sempre ansioso para compartilhar suas muitas idéias e insights em diversos campos. A sua paixão pela matemática nunca diminuiu.

Macintyre escreve sobre documentos importantes Cohen produzidos após a sua excelente resultados no continuum hipótese :-

Em 1969 Cohen publicou uma altamente original em papel na p-adic célula de decomposição, dando um construtiva versão do famoso resultados do Ax-Kochen-Ersov. É agora fundamental para a análise lógica da integração motivica. A partir de 1969 Cohen dedicou-se a alguns dos problemas mais desafiadores e inflexíveis, como a hipótese de Riemann. Era um matemático apaixonado e inspirador.

Kathy Owen, que passou algum tempo em Stanford na década de 1970, escreveu sobre Cohen naquela época :-

Paul era um homem surpreendente. Impaciente, inquieto, competitivo, provocador e brilhante. Ele era um cliente regular na hora do café para os estudantes graduados e para o corpo docente. Ele adorava o corte-e-impulso do debate e discussão sobre qualquer tópico e era implacável se ele encontrou uma fraqueza lógica em um ponto de vista oposto. Não havia simplesmente nenhum lugar para se esconder! Ele se destacou por seu intelecto afiado, seu fascínio pelas grandes questões, seu estranho interesse em “passo perfeito” (ele trouxe um diapasão para a hora do café e testou todos) e sua leve irritação com os poucos que têm pitch perfeito. Ele era um homem notável, um querido amigo que teve um grande impacto na minha vida, uma luz com todo o espectro de cores.

Cohen was named Marjorie Mhoon Fair Professor in Quantitative Science at Stanford in 1972, being the first holder of this chair. Aposentou-se formalmente em 2004, mas continuou a ensinar em Stanford até pouco antes de sua morte. Morreu de uma doença pulmonar rara no Hospital Stanford em Palo Alto.quanto aos interesses de Cohen fora da matemática, ele tocava piano e violino, cantava em um refrão de Stanford, e era um membro de um grupo de folk Sueco. Ele era um linguista talentoso que falava sueco, francês, espanhol, alemão e Iídiche. Ele e sua esposa organizavam jantares freqüentes para estudantes, colegas e amigos. Ele adorava mostrar visitantes em São Francisco e arredores.
vamos terminar esta biografia citando reminiscências de Cohen sobre seu trabalho na hipótese do continuum: –

… é um pouco curioso que, em certo sentido, a hipótese do continuum e o axioma da escolha não são problemas realmente difíceis – eles não envolvem complexidade técnica; no entanto, no momento em que foram considerados difíceis. Poder-se-ia dizer de uma forma humorística que a atitude em relação à minha prova era a seguinte. Quando foi apresentada pela primeira vez, algumas pessoas pensaram que estava errado. Então foi pensado para ser extremamente complicado. Então foi pensado para ser fácil. Mas é claro que é fácil no sentido de que existe uma ideia filosófica clara. Houve pontos técnicos que me incomodaram, mas basicamente não foi um problema combinatório muito envolvido; foi uma ideia filosófica.