Definição

O número de Péclet (Pe) é um número adimensional que representa a relação entre a taxa de convecção sobre a taxa de difusão em uma célula de convecção-difusão do sistema de transporte.

\displaystyle{ Pe = \frac {(convecção \, taxa)} {(difusão \, taxa)} = \frac {UL}{D}}}

U representa a velocidade de fluxo linear no volume de controlo, L representa a escala de comprimento do fluxo e D é a constante de difusão. Este número também pode ser representado como uma proporção de escalas de tempo difusivas para convectivas. As unidades, numa configuração microfluídica, para U, L E D são um/S, um/S e um2/s, respectivamente.

\displaystyle{ Pe = \frac {(difusão \, escala de tempo)} {(convecção \, escala de tempo)}}}

em regimes dominados pela difusão, o número de Peclet é inferior a 1. Tal é o caso dos sistemas microfluídicos, onde a turbulência é baixa. Em sistemas dominados por convecção, este número é maior que um.

Derivação

Para uma dimensão do sistema, como descrito na Figura 1, com uma espécie de concentração, \displaystyle{ C } seguintes relações podem ser feitas para relacionar o fluxo, \displaystyle{ J_{no} } , fluxo de fora, \displaystyle{ J_{out} } e controle de volume \displaystyle{ V }. A partir deste sistema, o número de Péclet pode ser derivado.

Figura 1 Esta é uma ilustração de um volume de controle com fluxos e fluxos de fora. Se as fontes e os sumidouros podem ser negligenciadas, esses fluxos podem ser contribuíram para a convecção e difusão

\displaystyle{ V\frac{dC}{dt} = A\cdot J_{em} – Um\cdot J_{out} }

Este balanço de massa pode ser usado para descrever o fluxo para dentro e para fora do sistema. Fluxo é o caudal mássico por unidade de área. Assumindo que as áreas de entrada e saída são constantes, o balanço de massa pode ser simplificado.

\displaystyle{ \frac{dC}{dt} = \frac{A}{V}\cdot (J_{in} – J_{out})}

Se existirem gradientes no sistema, o fluxo para fora do sistema pode ser descrito da seguinte forma.

\displaystyle{ J_{out} = \frac {\partial J} {\partial x}\cdot (\Delta x)+J_{in} }

assim, o balanço de massa pode ser simplificado como mostrado abaixo.

\displaystyle{ \frac{dC}{dt} = \frac{A}{V}\cdot \frac{\partial J}{\partial x}\cdot (\Delta x) }

Devido à forma como o sistema é definido, \displaystyle{ \frac{A}{V} = \frac{1}{\Delta x} }. Assim,

\displaystyle{ \frac{dC}{dt} = \frac{\partial J}{\partial x}\rightarrow \frac{\partial C}{\partial t} =\nabla J }

Esta equação também é descrita em três dimensões.

a suposição de fontes e sumidouros insignificantes são feitos, de modo a focar o sistema na difusão e convecção. Assim,

\displaystyle{ J = J_{convecção} + J_{difusão} }

taxa de fluxo de Massa, \displaystyle{ Q }, pode ser definido como \displaystyle{ Q = C \Delta x\cdot Um }. Uma vez que a convecção é a fonte principal deste fluxo de massa neste sistema, fluxo Convectivo, \displaystyle{ J_{convection} } é definido como tal.

\displaystyle{ J_{convecção} = \frac{P}{\Delta t\cdot A} = \frac{C \Delta x }{\Delta t} \rightarrow \frac{\partial x}{\partial t}C }

Difusão equação pode ser derivada a partir da primeira lei de Fick, como mostrado abaixo. \displaystyle{ D } é a constante de difusividade.

\displaystyle{ J_{diffusion} = – D \frac{\partial c }{\partial x}}}

fluxo difusivo e fluxo Convectivo podem ser combinados no balanço de massa global.

\displaystyle{ \frac{\partial C}{\partial t} = -\frac{\partial \left }{\partial x} = -\frac{\partial \left }{\partial x} }

Porque a relação abaixo pode ser aplicada, em que \displaystyle{ u } é igual a velocidade de uma partícula, o balanço de massa pode ser simplificado e descrito em várias dimensões

\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial t} = u }

\displaystyle{ \frac{\partial C}{\partial t} = D\frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} – u \frac{\partial C}{\partial x}\rightarrow \frac{\partial C}{\partial t} + u \frac{\partial C}{\partial x}= D\frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} \rightarrow \frac{\partial C} {\partial t} + u \nabla C= D \nabla^{2} C}

números adimensionais, como mostrado abaixo, podem ser usados para repor o equilíbrio de massa. \displaystyle{ U } é igual ao caudal linear Convectivo.

\displaystyle{ C^{*} = \frac {C}{C_{max}}; U^{*} = \frac{u}{U}; t^{*} = \frac {t}{t_{0}} }

Quando estes números são aplicadas, o equilíbrio é descrito como mostrado.

\displaystyle{ \frac{C}{t_{0}}\frac{\partial C^{*}}{\partial t} + \frac{UC}{L}u^{*} \frac{\partial C}{\partial x}= \frac{DC}{L^{2}}\frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} }

\displaystyle{ \frac{L^{2}}{D\cdot t_{0}}\frac{\partial C^{*}}{\partial t} + \frac{UL}{D}u^{*} \frac{\partial C}{\partial x}= \frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} }

primeiro termo acima equilíbrio é conhecido como o instável prazo. In time invariant flows, this term equals zero. O rácio entre os dois termos restantes (i.e. os Termos difusivos e convectivos), é igual ao número de Peclet, como descrito abaixo.

\displaystyle{ Pe = \frac {UL}{D} }

Aplicações para os microfluidos

Figura 2 Difusão dominado mistura que ocorre em uma T-sensor faz com que seja útil em florescência base de testes analíticos. O analito (em azul) difunde-se com a espécie no canal em função do comprimento do canal médio.

Figure 3 This is a microfluidic device that allows convenient extraction of small molecules from complex fluids into simpler buffer streams

Figure 4 Diagrams showing performance of staggered herringbone mixer. Image by MIT OpenCourseWare. Adapted from Figure 3 on p. 64 in Stroock et al.

as forças inerciais baixas presentes em muitas configurações microfluídicas, devido a escalas de baixa velocidade e comprimento, muitas vezes produzem fluxos de baixo número de Reynolds : baixos níveis de turbulência também podem ser esperados nestes regimes de fluxo. Assim, a convecção não é prevalente em Configurações microfluídicas, a menos que seja induzida propositadamente. A mistura que ocorre nestes dispositivos ocorre devido à difusão . A mistura induzida pela difusão é muito mais lenta do que a mistura convectiva, com velocidades mais baixas por várias ordens de magnitude. em unidades em que a mistura rápida não é desejada (por exemplo, ensaios analíticos ou sistemas de separação), é ideal Um Pe baixo (inferior ou próximo de 1). Os sensores T, como ilustrado na Figura 2, são um exemplo de uma classe de dispositivos analíticos que beneficiam de Pe baixo. Os sensores T são usados em muitos imunoensaios competitivos, onde antigénios e anticorpos são introduzidos no sensor T. Dado o padrão de difusão conhecido que são esperados, como mostrado na Figura 2, qualquer desvio deste padrão indica ligação de anticorpos. Os sensores T também podem ser usados em casos mais simples, como quantificar as difusividades do analito e cinética de reação, uma vez que os efeitos da turbulência são neutralizados . A separação também é possível sem o uso de membranas em microfluídos, devido a Pe baixo, como evidenciado pelo filtro H, mostrado na Figura 3. H-filter aproveita o fato de que espécies maiores têm constantes de difusão mais baixas do que espécies menores. Proteínas, por exemplo, têm coeficiente de difusão de três ordens de magnitude maior que a dos íons salinos . A separação pode ser alcançada em um canal em forma de “H”, onde uma mistura entrará nas extremidades do ” H “e uma separação ocorrerá de tal forma que a espécie maior sairá do fundo do mesmo lado, enquanto a espécie mais leve atravessará a seção média do” H ” para o outro lado.

em unidades em que se pretende misturar, tais como reactores, é necessário Pe>>1. Convecção desejada para produzir Pe grande pode ser fornecida com muitos métodos, tais como usar barras de agitamento ou usando canais gravados que induzem vórtices, como mostrado em um misturador de herringbone na Figura 4.”Advection and diffusion of an instantaneous release”. Heidi Nepf. 1.061 processos de transporte no ambiente. Outono de 2008. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, License: Creative Commons BY-NC-SA.

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