Phononon
As equações nesta seção não usam axiomas da mecânica quântica, mas em vez disso usam relações para as quais existe uma correspondência direta na mecânica clássica.
Por exemplo: uma estrutura rígida regular cristalina (não amorfa) é composta por N partículas. Estas partículas podem ser átomos ou moléculas. N é um grande número, digamos da ordem de 1023, ou na ordem do número Avogadro para uma amostra típica de um sólido. Uma vez que a estrutura é rígida, os átomos devem estar exercendo forças uns sobre os outros para manter cada átomo próximo de sua posição de equilíbrio. Essas forças podem ser forças de Van der Waals, ligações covalentes, atrações eletrostáticas, e outras, todas as quais são, em última análise, devido à força elétrica. Forças magnéticas e gravitacionais são geralmente negligenciáveis. As forças entre cada par de átomos podem ser caracterizadas por uma função de energia potencial V que depende da distância de separação dos átomos. A energia potencial de toda a estrutura é a soma de todas as energias potenciais emparelhadas multiplicadas por um fator de 1/2 para compensar a dupla contagem:
1 2 ∑ i ≠ j V ( r i − r j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}
onde ri é a posição do i-ésimo átomo, e V é a energia potencial entre dois átomos.
é difícil resolver este problema de muitos corpos explicitamente na mecânica clássica ou quântica. A fim de simplificar a tarefa, duas aproximações importantes são normalmente impostas. Primeiro, a soma é realizada apenas sobre átomos vizinhos. Embora as forças elétricas em sólidos reais se estendam até o infinito, esta aproximação ainda é válida porque os campos produzidos por átomos distantes são efetivamente rastreados. Em segundo lugar, os potenciais V são tratados como potenciais harmônicos. Isto é admissível enquanto os átomos permanecerem próximos das suas posições de equilíbrio. Formalmente, isto é realizado por Taylor expandindo V sobre seu valor de equilíbrio para a ordem quadrática, dando V proporcional ao deslocamento x2 e a força elástica simplesmente proporcional a x. O erro em Ignorar Termos de ordem superior permanece pequeno Se x permanece perto da posição de equilíbrio.
A rede resultante pode ser visualizada como um sistema de bolas conectadas por molas. A figura seguinte mostra uma estrutura cúbica, que é um bom modelo para muitos tipos de sólido cristalino. Outros reticulados incluem uma cadeia linear, que é uma rede muito simples que em breve usaremos para modelar fonons. (For other common lattices, see crystal structure.)
a energia potencial da rede pode agora ser escrita como
∑ { i j } ( n ) 1 2 N ω 2 ( R i − r j ) 2 . {\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}nn\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}
Aqui, ω É a frequência natural dos potenciais harmônicos, que se supõe serem os mesmos já que a rede é regular. Ri é a coordenada de posição do íto átomo, que agora medimos a partir de sua posição de equilíbrio. A soma sobre vizinhos mais próximos é denotada (nn).
Lattice wavesEdit
Devido às ligações entre os átomos, o deslocamento de um ou mais átomos de suas posições de equilíbrio, dá origem a um conjunto de vibração de ondas se propagando através da rede. Uma dessas ondas é mostrada na figura à direita. A amplitude da onda é dada pelos deslocamentos dos átomos de suas posições de equilíbrio. O comprimento de onda λ é marcado.
Existe um comprimento de onda mínimo possível, dado pelo dobro da separação de equilíbrio a entre átomos. Qualquer comprimento de onda mais curto que este pode ser mapeado em um comprimento de onda maior que 2a, devido à periodicidade da estrutura. This can be thought as one consequence of Nyquist-Shannon sampling theorem, the lattice points are viewed as the “sampling points” of a continuous wave.nem todas as vibrações da rede têm um comprimento de onda e frequência bem definidos. No entanto, os modos normais possuem comprimentos de onda e frequências bem definidos.
unidimensional latticeEdit
a fim de simplificar a análise necessária para uma estrutura tridimensional de átomos, é conveniente modelar uma estrutura 1-dimensional ou cadeia linear. Este modelo é complexo o suficiente para exibir as características salientes dos fonons.as forças entre os átomos são consideradas lineares e próximas, e elas são representadas por uma mola elástica. Cada átomo é assumido como uma partícula de ponto e o núcleo e os elétrons movem-se em Passo (teorema adiabático):
n − 1 n n + 1 ← a →
···o o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o··· *
→→ → →→→ un − 1 un un + 1
, onde n identifica o n-ésimo átomo de um total de N, a é a distância entre os átomos quando a corrente está em equilíbrio, e a onu o deslocamento do n-ésimo átomo a partir de sua posição de equilíbrio.Se C é a constante elástica da mola e m a massa do átomo, então a equação de movimento do átomo n é
− 2 c u n + c ( u n + 1 + u n − 1 ) = m D 2 u N d T 2 . {\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}
Este é um conjunto de equações acopladas.
Uma vez que se espera que as soluções sejam oscilatórias, novas coordenadas são definidas por uma transformada discreta de Fourier, a fim de dissociá-las.
Put
u n = ∑ n A k / 2 π = 1 n Q k e i k n a. {\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak / 2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}
Aqui, na corresponde e retrocede para a variável contínua x da teoria dos campos escalares. O Qk é conhecido como as coordenadas normais, modos de campo contínuo φk.
substituição na equação de movimento produz as seguintes equações dissociadas ( isto requer uma manipulação significativa usando a ortonormalidade e as relações de Completude da Transformada discreta de Fourier,
2 c (cos k a − 1 ) Q K = m D 2 Q k d T 2 . {\displaystyle 2C (\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}} {dt^{2}}}}.}
estas são as equações para osciladores harmónicos dissociados que têm a solução Q K = A k e i ω k t ; ω k = 2 C m ( 1 − cos k a ) . {\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}
cada coordenada normal Qk representa um modo vibracional independente da rede com wavenumber k, que é conhecido como um modo normal.
a segunda equação, para wk, é conhecida como a relação de dispersão entre a frequência angular e o número de onda.
No continuum limite a→0, N→∞, com o Na mantido fixo, un → φ(x), um campo escalar, e ω ( k ) ∝ k a {\displaystyle \omega (k)\propto ka}
. This equivales to classical free scalar field theory, an assembly of independent oscillators. uma cadeia harmônica mecânica quântica unidimensional consiste de N átomos idênticos. Este é o modelo mecânico quântico mais simples de uma rede que permite que fonons surjam a partir dela. O formalismo para este modelo é facilmente generalizável a duas e três dimensões.em algum contraste com a seção anterior, as posições das massas não são denotadas por ui, mas sim por x1, x2…, medidos a partir de suas posições de equilíbrio (i.e. xi = 0 se a partícula i estiver na sua posição de equilíbrio.) Em duas ou mais dimensões, O xi são quantidades vetoriais. O Hamiltoniano para este sistema é H = ∑ i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { i, j } ( n n ) ( x i − x j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}
, onde m é a massa de cada átomo (supondo que ele não é igual para todos), e do xi e pi são a posição e o momentum de operadores, respectivamente, para o ith átomo e a soma é feita sobre os vizinhos mais próximos (nn). No entanto, espera-se que em uma estrutura também possam aparecer ondas que se comportam como partículas. É costume lidar com ondas no espaço de Fourier que usa modos normais do wavevector como variáveis em vez de coordenadas de partículas. O número de modos normais é o mesmo que o número de partículas. Entretanto, o espaço de Fourier é muito útil dada a periodicidade do sistema.
Um conjunto de N “normal” coordenadas Qk pode ser introduzido, definida como a discreta de Fourier transforma de xk e N “o conjugado momentos” Πk definido como as transformadas de Fourier dos pk:
Q k = 1 N ∑ l e i k l a x l Π k = 1 N ∑ l e − i k a l p l . {\displaystyle {\begin{alinhado}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{alinhado}}}
a quantidade kn acaba por ser o número de onda do fonão, ou seja, 2π dividido pelo comprimento de onda.
Esta opção mantém o desejado de comutação de relações no espaço real ou wavevector espaço
= i = ℏ δ l , m = 1 N ∑ l , m e i k a l e − i k ‘m = i = ℏ N ∑ l e i a l ( k − k’ ) = i = ℏ δ k , k ‘ = = 0 {\displaystyle {\begin{alinhado}\left&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik am}\left\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k’\right)}=i\hbar \delta _{k,k’}\\\left&=\left=0\end{alinhado}}}
a Partir do resultado geral
∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k ‘Q k Q k’ ∑ l e i a l ( k + k ‘ ) e i a m k ‘ = ∑ k Q k Q − k e i a m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{alinhado}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk’}Q_{k}Q_{k’}\sum _{l}e^{ial\left(k+k’\right)}e^{iamk’}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{alinhado}}}
A energia potencial termo
1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q − k ( 2 − i − k- e − i q ) = 1 2 ∑ k I ω k 2 Q k − Q k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}
where
ω k = 2 ω 2 ( 1 − cos k ) = 2 ω | sem k a 2 | {\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sem {\frac {ka}{2}}\right|}
O Hamiltoniano pode ser escrito em wavevector espaço
H = 1 2 m ∑ k ( Π k Π − k + m 2 ω k 2 Q k Q − k ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}
Os acoplamentos entre as variáveis de posição se os Q E Π fossem Hermitianos (o que não são), o Hamiltoniano transformado Descreveria os osciladores harmônicos desacoplados.
a forma da quantização depende da escolha das condições de contorno; para simplicidade, as condições periódicas de contorno são impostas, definindo o átomo (n + 1)como equivalente ao primeiro átomo. Fisicamente, isto corresponde a unir a cadeia nas suas extremidades. A quantização resultante é
k = k n = 2 π N a Para n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± n 2 . {\displaystyle k = k_{n}={\frac {2\pi n}{na}}\quad {\mbox{for }} n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {n}{2}}.\ }
o limite superior a n vem do comprimento de onda mínimo, que é o dobro do espaçamento de retículos a, como discutido acima.
O oscilador harmónico eigenvalores ou níveis de energia para o modo WK são:
E n = ( 1 2 + n ) ℏ ω k n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }
Os níveis são uniformemente espaçados em:
1 2 ℏ ω , 3 2 ℏ ω , 5 2 ℏ ω ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }
onde 1/2ħw é o ponto zero de energia de um oscilador harmônico quântico.
uma quantidade exata de energia ħw deve ser fornecida ao oscilador harmônico para empurrá-lo para o próximo nível de energia. Em comparação com o caso do fóton quando o campo eletromagnético é quantizado, o quântico da energia vibracional é chamado de fonon.todos os sistemas quânticos apresentam propriedades ondulatórias e particleliais simultaneamente. As propriedades em forma de partícula do fonon são melhor entendidas usando os métodos da segunda quantização e técnicas de operador descritas posteriormente.
tridimensional latticeEdit
This may be generalized to a three-dimensional lattice. O wavenumber k é substituído por um wavevector tridimensional K. Além disso, cada k está agora associado com três coordenadas normais.
os novos índices s = 1, 2, 3 rotulam a polarização dos fonons. No modelo unidimensional, os átomos estavam restritos ao movimento ao longo da linha, então os fonons correspondiam a ondas longitudinais. Em três dimensões, a vibração não se restringe à direção de propagação, e também pode ocorrer nos planos perpendiculares, como ondas transversais. Isto dá origem às coordenadas normais adicionais, que, como a forma do Hamiltoniano indica, podemos ver como espécies independentes de fonons.
Dispersion relationEdit
para uma matriz alternada unidimensional de dois tipos de íon ou átomo de massa m1, m2 repetida periodicamente a uma distância A, ligada por molas da constante de mola K, dois modos de vibração resultado:
ω ± 2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) ± K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 sin 2 k 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}
, onde k é o wavevector de vibração relacionados com a sua comprimento de onda por k = 2 π λ {\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}
.
a ligação entre a frequência e o vavector, ω = ω(k), é conhecida como uma relação de dispersão. O sinal mais resulta no chamado modo óptico, e o sinal menos para o modo acústico. No modo óptico, dois átomos adjacentes diferentes se movem uns contra os outros, enquanto no modo acústico se movem juntos.
a velocidade de propagação de um fonão acústico, que é também a velocidade do som na estrutura, é dada pelo declive da relação de dispersão acústica, ∂wk / ∂k (ver velocidade de grupo.) Em valores baixos de k( ou seja, comprimentos de onda longos), a relação de dispersão é quase linear, e a velocidade do som é aproximadamente wa, independente da frequência fonônica. Como resultado, pacotes de fonons com diferentes comprimentos de onda (mas longos) podem propagar-se para grandes distâncias através da rede sem se separar. Esta é a razão pela qual o som se propaga através de sólidos sem distorção significativa. Este comportamento falha em grandes valores de k, ou seja, comprimentos de onda curtos, devido aos detalhes microscópicos da estrutura.
para um cristal que tem pelo menos dois átomos em sua célula primitiva, as relações de dispersão exibem dois tipos de fonons, ou seja, modos ópticos e acústicos correspondentes à Curva Azul superior e vermelho inferior no diagrama, respectivamente. O eixo vertical é a energia ou frequência do fonon, enquanto o eixo horizontal é o vavector. Os limites at −π/a e π/a são os da primeira zona de Brillouin. Um cristal com n ≥ 2 átomos diferentes na célula primitiva exibe três modos acústicos: um modo acústico longitudinal e dois modos acústicos transversos. O número de modos ópticos é 3N-3. A figura inferior mostra as relações de dispersão para vários modos fonônicos em GaAs como uma função do wavevector k nas principais direções de sua zona de Brillouin.muitas curvas de dispersão de fonões foram medidas por dispersão de neutrões inelásticos.a física do som em fluidos difere da física do som em sólidos, embora ambos sejam ondas de densidade: ondas sonoras em fluidos apenas têm componentes longitudinais, enquanto ondas sonoras em sólidos têm componentes longitudinais e transversais. Isso ocorre porque os fluidos não podem suportar tensões de cisalhamento (mas ver fluidos viscoelásticos, que só se aplicam a altas frequências).
Interpretação de fonons usando segunda quantização techniquesEdit
o Hamiltoniano acima derivado pode parecer uma função Hamiltoniana clássica, mas se for interpretado como um operador, então ele descreve uma teoria quântica de campos de bósons não interagindo.A segunda técnica de quantização, similar ao método do operador de escada usado para osciladores harmônicos quânticos, é um meio de extrair valores energéticos sem resolver diretamente as equações diferenciais. Dada a Hamiltoniana, H {\displaystyle {\mathcal {H}}}
, bem como o conjugado posição, Q k {\displaystyle Q_{k}}
e momentum conjugado Π k {\displaystyle \Pi _{k}}
definido no quantum de tratamento de seção acima, podemos definir a criação e aniquilação de operadores: b k = I ω k 2 ℏ ( Q k + i-m ω k Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}
e b k † = I ω k 2 ℏ ( Q − k − i ω k Π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}
O seguinte comutadores podem ser facilmente obtido substituindo na canônico relação de comutação:
= δ k , k ‘, = = 0 {\displaystyle \left=\delta _{k,k’},\quad {\Big }=\left=0}
com isso, os operadores bk† e bk pode ser invertido para redefinir o conjugado posição e o momentum como:
Q k = ℏ 2 m ω k b k a † a + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}
e Π k = i = ℏ m ω k 2 ( b k † b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}
Diretamente substituindo estas definições para Q k {\displaystyle Q_{k}}
e Π k {\displaystyle \Pi _{k}}
no wavevector espaço Hamiltoniano, tal como está definido acima, e simplificando, então, resulta no Hamiltoniano tomando a forma: H = ∑ k ℏ ω k b k + b k + 1 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}
Esta é conhecida como a segunda quantização técnica, também conhecida como a ocupação número de formulação, onde nk = bk†bk é a ocupação número. Isto pode ser visto como uma soma de N osciladores Hamiltonianos independentes, cada um com um vetor de onda único, e compatível com os métodos usados para o oscilador harmônico quântico (note que NK é hermitiano). Quando um Hamiltoniano pode ser escrito como uma soma de deslocações sub-Hamiltonians, a energia eigenstates será dada por produtos de eigenstates de cada uma das duas sub-Hamiltonians. O espectro de energia correspondente é então dado pela soma dos autovalores dos sub-Hamiltonianos.
tal como acontece com o oscilador harmônico quântico, pode-se mostrar que bk† e BK criam e destroem uma única excitação de campo, um fonon, com uma energia de ħwk.
três propriedades importantes de fonons podem ser deduzidas a partir desta técnica. Primeiro, os fonons são bósons, uma vez que qualquer número de excitações idênticas Pode ser criado pela aplicação repetida do operador de criação bk†. Em segundo lugar, cada fonão é um “modo coletivo” causado pelo movimento de cada átomo na estrutura. Isto pode ser visto a partir do fato de que os operadores de criação e aniquilação, definidos aqui no espaço de momento, contém somas sobre a posição e os operadores de momento de cada átomo quando escritos no espaço de posição (veja espaço de posição e momento). Finalmente, usando a função de correlação posição-posição, pode ser mostrado que os fonons atuam como ondas de deslocamento da rede.
esta técnica é prontamente generalizada a três dimensões, onde o Hamiltoniano assume a forma:
H = ∑ ∑ ∑ K = 1 3 ω ω k , s ( b k , s † b k , s + 1 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}
