se esticarmos uma faixa de borracha em torno da superfície de uma maçã, então podemos encolhê-la até um ponto movendo-a lentamente, sem rasgá-la e sem permitir que ela saia da superfície. Por outro lado, se imaginarmos que a mesma faixa de borracha foi de alguma forma esticada na direção apropriada em torno de um donut, então não há nenhuma maneira de encolhê-lo até um ponto sem quebrar o elástico ou o donut. Dizemos que a superfície da maçã está “simplesmente ligada”, mas que a superfície do donut não está. Poincaré, há quase cem anos, sabia que uma esfera bidimensional é essencialmente caracterizada por esta propriedade de conectividade simples, e fez a pergunta correspondente para a esfera tridimensional. esta questão revelou-se extraordinariamente difícil. Quase um século se passou entre a sua formulação em 1904 por Henri Poincaré e a sua solução por Grigoriy Perelman, anunciada em preprints postados em ArXiv.org em 2002 e 2003. A solução de Perelman foi baseada na teoria de Richard Hamilton sobre o fluxo de Ricci, e fez uso de resultados em espaços de métricas devido a Cheeger, Gromov e o próprio Perelman. Nestes artigos Perelman também provou a conjectura de geometrização de William Thurston, um caso especial da qual é a conjectura de Poincaré. Ver o comunicado de imprensa de 18 de Março de 2010.

Crédito à imagem: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/