în această secțiune, dezvoltăm o abordare alternativă la calculul \(V({\bf r})\) care acomodează aceste condiții limită, facilitând astfel analiza câmpului potențial scalar în vecinătatea structurilor și a proprietăților materialului care variază spațial. Această abordare alternativă se bazează pe ecuația lui Poisson, pe care o derivăm acum.

începem cu forma diferențială a legii lui Gauss (secțiunea 5.7):

\

\

apoi, aplicăm relația (secțiunea 5.14):

\ producând \

aceasta este ecuația lui Poisson, dar nu este în forma în care este folosită în mod obișnuit. Pentru a obține forma alternativă, luați în considerare operatorul \(\nabla \cdot \nabla\) în coordonate carteziene:

rețineți că ecuația lui Poisson este o ecuație diferențială parțială și, prin urmare, poate fi rezolvată folosind tehnici bine cunoscute deja stabilite pentru astfel de ecuații. De fapt, ecuația lui Poisson este o ecuație diferențială neomogenă, partea neomogenă \(-\rho_v/\epsilon\) reprezentând sursa câmpului. În prezența structurii materiale, identificăm condițiile limită relevante la interfețele dintre materiale, iar sarcina de a găsi \(V({\bf r})\) este redusă la sarcina pur matematică de rezolvare a problemei asociate valorii limită (vezi „Lectură suplimentară” la sfârșitul acestei secțiuni). Această abordare este deosebit de eficientă atunci când unul dintre materiale este un conductor perfect sau poate fi modelat ca un astfel de material. Acest lucru se datorează faptului că – așa cum sa menționat la începutul acestei secțiuni – potențialul electric în toate punctele de pe suprafața unui conductor perfect trebuie să fie egal, rezultând o condiție limită deosebit de simplă.

în multe alte aplicații, sarcina responsabilă de câmpul electric se află în afara domeniului problemei; adică avem câmp electric diferit de zero (deci potențial electric diferit de zero) într-o regiune care este gratuită. În acest caz, ecuația lui Poisson se simplifică la ecuația lui Laplace:

\