am văzut că un sistem mecanic supus forțelor conservatoare este în echilibru atunci când derivatele energiei potențiale în raport cu coordonatele sunt zero. Prin urmare, o metodă de rezolvare a unor astfel de probleme este de a scrie o expresie pentru energia potențială și de a pune derivatele egale cu zero.

o metodă foarte similară este utilizarea principiului muncii virtuale. În această metodă, ne imaginăm că acționăm asupra sistemului în așa fel încât să creștem una dintre coordonate. Ne imaginăm, de exemplu, ce s-ar întâmpla dacă am întinde unul dintre arcuri sau am mări unghiul dintre două tije îmbinate sau unghiul pe care îl face scara în timp ce se sprijină de perete. Ne întrebăm cât de mult trebuie să facem în sistem pentru a crește această coordonată cu o cantitate mică. Dacă sistemul pornește de la echilibru, această lucrare va fi foarte mică și, în limita unei deplasări infinitezimale mici, această „lucrare virtuală” va fi zero. Această metodă este foarte puțin diferită de setarea derivatului energiei potențiale la zero. O menționez aici, totuși, deoarece conceptul ar putea fi util în capitolul 13 în descrierea principiului variațional al lui Hamilton.

să începem prin a face o problemă simplă a scării prin metoda muncii virtuale. Scara uniformă obișnuită a fizicii Liceului, de lungime \( 2L\) și greutate \( mg\), se sprijină în limitarea echilibrului static față de peretele vertical neted obișnuit și podeaua orizontală aspră al cărei coeficient de limitare a frecării statice este \( \mu\). Care este unghiul \ (\theta\) pe care scara îl face cu peretele vertical?

există mai multe modalități de a face acest lucru, care vor fi familiare multor cititori. Singurul mic memento pe care îl voi da este să subliniez că, dacă doriți să combinați cele două forțe de la poalele scării într-o singură forță care acționează în sus și oarecum spre stânga, astfel încât să existe doar trei forțe care acționează pe scară, cele trei forțe trebuie să acționeze printr-un singur punct, care va fi deasupra mijlocului scării și în dreapta punctului de contact cu peretele. Dar acum suntem interesați să rezolvăm această problemă prin principiul muncii virtuale.

înainte de a începe, ar trebui să avertizez că este important în utilizarea principiului muncii virtuale să fii meticulos atent la semne și, în acest sens, reamintesc cititorilor că în calculul diferențial simbolurile \( \delta\) și \( d\) în fața unei cantități scalare \( x\) nu înseamnă „o mică schimbare în” sau „o schimbare infinitezimală” în \( x\). O astfel de limbă este vagă. Simbolurile reprezintă” o creștere mică a „și”o creștere infinitezimală a”.

Să luăm notă de următoarele distanțe:

\

și

și

Mai mult, dacă ar fi să crească\(\theta\) cu \ (\delta\ theta\), munca făcută de forța de la C ar fi \(mg\) ori scăderea distanței CD, iar munca făcută de forța de frecare la E ar fi minus\ (\mu mg\) ori creșterea distanței fi. Celelalte două forțe nu funcționează. Astfel, „munca virtuală” făcută de forțele externe de pe scară este

\

la punerea expresiei pentru munca virtuală la zero, obținem

\

ar trebui să verificați dacă acesta este același răspuns pe care îl obțineți de la alte metode – dintre care cea mai ușoară este probabil să luați momente despre E.

există ceva despre munca virtuală care îmi amintește de termodinamică. Prima lege a termodinamicii, de exemplu, este \( \Delta U=\Delta q+\Delta w\), unde \( \Delta U\) este creșterea energiei interne a sistemului, \ (\Delta q\) este căldura adăugată sistemului și \( \Delta w\) este munca efectuată asupra sistemului. Prepozițiile joacă un rol important în termodinamică. Este întotdeauna obligatoriu să se precizeze în mod clar și fără ambiguitate dacă se lucrează cu pistonul pe gaz sau cu gazul din sistem; sau dacă căldura este câștigată de sistem sau pierdută din acesta. Fără aceste prepoziții, orice discuție nu are sens. De asemenea, în rezolvarea unei probleme prin principiul muncii virtuale, este întotdeauna esențial să spui dacă descrii munca făcută de o forță pe ce parte a sistemului (pe scară sau pe podea?) și dacă descrieți o creștere sau o scădere a unei anumite lungimi sau unghiuri.

să trecem acum la o problemă ceva mai dificilă, pe care o vom încerca prin trei metode diferite – inclusiv cea a muncii virtuale.

în figura IX.5, o tijă uniformă AB de greutate \( Mg\) și lungime \( 2a\) este articulată liber la A. capătul B poartă un inel neted de masă neglijabilă. Un șir de lumină inextensibil de lungime \ (l\) are un capăt atașat la un punct fix C la același nivel cu A și îndepărtat \( 2a\) de acesta. Trece prin inel și poartă la celălalt capăt o greutate\ (\frac{1}{10}Mg\) atârnând liber. (Inelul „neted” înseamnă că tensiunea din șir este aceeași pe ambele părți ale inelului.) Găsiți cabina unghiulară atunci când sistemul este în echilibru.

am marcat în diferite unghiuri și lungimi, care pot fi ușor determinate din geometria sistemului și am marcat și cele patru forțe de pe tijă.

să încercăm mai întâi o metodă foarte convențională. Știm destul de puțin despre forța r a balamalei de pe tijă (deși vezi mai jos) și, prin urmare, acesta este un motiv bun pentru a lua momente despre punctul A. obținem imediat

\

acum să încercăm aceeași problemă folosind condiții energetice. Vom lua zero de energie potențială atunci când tija este orizontală – moment în care masa mică este la o distanță l sub nivelul AC.

\=-\frac{2}{3}Mga(3\sin\theta-\sin\frac{1}{2}\theta)\]

derivata este

\

acum să încercăm prin muncă virtuală. Vom crește \ (\theta\) cu \( \delta\theta\) și vom vedea cât de multă muncă se face.

astfel, lucrarea virtuală este

\

dacă punem acest lucru egal cu zero, obținem același rezultat ca înainte.