modelul SIR este unul dintre cele mai simple modele compartimentare și multe modele sunt derivate ale acestei forme de bază. Modelul este format din trei compartimente:-

S: Numărul de persoane sensibile. Când un individ susceptibil și infecțios intră în „contact infecțios”, individul susceptibil contractează boala și trece la compartimentul infecțios. I: Numărul de persoane infecțioase. Acestea sunt persoane care au fost infectate și sunt capabile să infecteze persoane sensibile. R pentru numărul de persoane eliminate (și imune) sau decedate. Acestea sunt persoane care au fost infectate și fie s-au recuperat din boală și au intrat în compartimentul îndepărtat, fie au murit. Se presupune că numărul de decese este neglijabil în ceea ce privește populația totală. Acest compartiment poate fi numit și „recuperat” sau „rezistent”.

acest model este predictiv în mod rezonabil pentru bolile infecțioase care sunt transmise de la om la om și unde recuperarea conferă rezistență durabilă, cum ar fi rujeola, oreionul și rubeola.

aceste variabile (S, I și R) reprezintă numărul de persoane din fiecare compartiment la un moment dat. Pentru a reprezenta faptul că numărul de indivizi susceptibili, infecțioși și îndepărtați poate varia în timp (chiar dacă dimensiunea totală a populației rămâne constantă), facem din numerele precise o funcție de t (timp): S(t), I(t) și R(t). Pentru o boală specifică într-o anumită populație, aceste funcții pot fi elaborate pentru a prezice posibilele focare și a le aduce sub control.

după cum sugerează funcția variabilă a lui t, modelul este dinamic prin faptul că numerele din fiecare compartiment pot fluctua în timp. Importanța acestui aspect dinamic este cea mai evidentă într-o boală endemică cu o perioadă infecțioasă scurtă, cum ar fi rujeola în Marea Britanie înainte de introducerea unui vaccin în 1968. Astfel de boli tind să apară în cicluri de focare datorită variației numărului de susceptibili (S(t)) în timp. În timpul unei epidemii, numărul persoanelor sensibile scade rapid, deoarece mai multe dintre ele sunt infectate și astfel intră în compartimentele infecțioase și îndepărtate. Boala nu poate izbucni din nou până când numărul de susceptibili nu a crescut din nou, de exemplu, ca urmare a nașterii descendenților în compartimentul sensibil.

fiecare membru al populației progresează de obicei de la susceptibil la infecțios la recuperat. Aceasta poate fi prezentată ca o diagramă de flux în care casetele reprezintă diferitele compartimente și săgețile tranziția dintre compartimente, adică

ratele de tranzițieedit

pentru specificarea completă a modelului, săgețile trebuie etichetate cu ratele de tranziție între compartimente. Între S și I, se presupune că rata de tranziție este d (S/N)/dt = -ectssi/N2, unde N este populația totală, iar numărul mediu de contacte pe persoană pe timp, înmulțit cu probabilitatea transmiterii bolii într-un contact între un subiect susceptibil și un subiect infecțios, iar SI / N2 este fracțiunea acelor contacte dintre un individ infecțios și susceptibil care au ca rezultat infectarea persoanei sensibile. (Acest lucru este matematic similar cu legea acțiunii în masă în chimie în care coliziunile aleatorii între molecule au ca rezultat o reacție chimică și rata fracționată este proporțională cu concentrația celor doi reactanți).

între I și R, se presupune că rata de tranziție este proporțională cu numărul de indivizi infecțioși care este yI. Acest lucru este echivalent cu presupunerea că probabilitatea recuperării unui individ infecțios în orice interval de timp dt este pur și simplu ydt. Dacă o persoană este infecțioasă pentru o perioadă medie de timp D, atunci XQ = 1 / D. Acest lucru este, de asemenea, echivalent cu presupunerea că durata de timp petrecută de un individ în starea infecțioasă este o variabilă aleatorie cu o distribuție exponențială. Modelul SIR „clasic” poate fi modificat folosind distribuții mai complexe și realiste pentru rata de tranziție I-R (de exemplu, distribuția Erlang).

pentru cazul special în care nu există nicio îndepărtare din compartimentul infecțios (XV=0), modelul SIR se reduce la un model SI foarte simplu, care are o soluție logistică, în care fiecare individ se infectează în cele din urmă.

modelul SIR fără dinamici vitaledit

dinamica unei epidemii, de exemplu, gripa, este adesea mult mai rapidă decât dinamica nașterii și a morții, prin urmare, nașterea și moartea sunt adesea omise în modele compartimentare simple. Sistemul SIR fără așa-numita dinamică vitală (naștere și moarte, uneori numită demografie) descris mai sus poate fi exprimat prin următorul set de ecuații diferențiale obișnuite:

d S d t = − β I S N , d I d t = β I S N − γ I , d R d t = γ I , {\displaystyle {\begin{aliniat}&{\frac {d}{dt}}=-{\frac {\beta ESTE}{N}},\\&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta ESTE}{N}}-\gamma eu,\\&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aliniat}}}

în cazul în care S {\displaystyle S}

este stocul de populație susceptibilă, i {\displaystyle i}

este stocul de infectate, R {\displaystyle r}

este stocul de populația eliminată (fie prin moarte, fie prin recuperare) și n {\displaystyle n}

este suma acestor trei.

acest model a fost propus pentru prima dată de William Ogilvy Kermack și Anderson Gray McKendrick ca un caz special al ceea ce numim acum teoria Kermack–McKendrick și a urmat munca pe care McKendrick o făcuse cu Ronald Ross.

acest sistem este neliniar, cu toate acestea este posibil să se obțină soluția sa analitică în formă implicită. În primul rând rețineți că de la:

d S d t + d I D t + d R D t = 0 , {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{DT}}=0,}

rezultă că:

S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = constantă = N , {\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{constant}}=N,}

exprimându-se în termeni matematici Constanța populației n {\displaystyle n}

. Rețineți că relația de mai sus implică faptul că trebuie să studiați ecuația doar pentru două dintre cele trei variabile.

în al doilea rând, observăm că dinamica clasei infecțioase depinde de următorul raport:

R 0 = {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma}},}

așa-numitul număr de reproducere de bază (numit și raport de reproducere de bază). Acest raport este derivat ca numărul așteptat de noi infecții (aceste noi infecții sunt uneori numite infecții secundare) dintr-o singură infecție într-o populație în care toți subiecții sunt sensibili. Această idee poate fi , probabil, mai ușor de văzut dacă spunem că timpul tipic dintre contacte este T C = XV − 1 {\displaystyle t_{C}=\beta ^{-1}}

, iar timpul tipic până la eliminare este T R = XV − 1 {\displaystyle t_{r}=\Gamma ^{-1}}

. De aici rezultă că, în medie, numărul de contacte ale unui individ infecțios cu alții înainte ca infecția să fie eliminată este: T r / T c . {\displaystyle T_{r} / t_{c}.}

împărțind prima ecuație diferențială la a treia, separând variabilele și integrând obținem

S ( t ) = S ( 0 ) e − R 0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / n , {\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}

unde s ( 0 ) {\displaystyle S(0)}

și R ( 0 ) {\displaystyle(0)}

sunt numerele inițiale ale subiecților susceptibili și, respectiv, eliminați. Scriere s 0 = s ( 0 ) / n {\displaystyle s_{0}=s(0)/N}

pentru proporția inițială de indivizi susceptibili și s{\displaystyle S_{\infty }=s (\infty ) / n} și R_ (r)/n{\displaystyle R_{\infty}=r(\infty)/n}

pentru proporția de indivizi susceptibili și eliminați respectivîn limita T-X, {\displaystyle t\to \infty,}

unul are s 0 e − r 0 ( r 0 ) {\displaystyle s_{\infty} = 1 − R_{\infty} = s_{0}e^{−R_{0}(R_{\infty}-R_{0})}}

(rețineți că compartimentul infecțios se golește în această limită).Această ecuație transcendentală are o soluție în ceea ce privește funcția Lambert W, și anume

s 0 − r 0 − 1 W (−S 0 R 0 e − R 0 ( 1 − R 0 ) ) . {\displaystyle s_ {\infty } = 1-R_{\infty } = – R_{0}^{-1}\, W (- s_{0}R_{0}e^{- R_{0} (1-R_{0})}).}

aceasta arată că la sfârșitul unei epidemii care se conformează ipotezelor simple ale modelului SIR, cu excepția cazului în care s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

, nu toți indivizii din populație au fost îndepărtați, deci unii trebuie să rămână susceptibili. O forță motrice care duce la sfârșitul unei epidemii este scăderea numărului de indivizi infecțioși. Epidemia nu se termină de obicei din cauza lipsei totale de persoane sensibile.

rolul atât al numărului de reproducere de bază, cât și al susceptibilității inițiale sunt extrem de importante. De fapt, la rescrierea ecuației pentru indivizii infecțioși după cum urmează:

d I d t = ( R 0 S N − 1) {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\stânga(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\dreapta)\gamma i,}

se obține că dacă:

R 0 inkt ( 0)> n, {\displaystyle R_{0}\cdot s(0)>n,}

atunci:

d I d t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}

adică, va exista un focar epidemic adecvat, cu o creștere a numărului de infecțioase (care poate ajunge la o fracțiune considerabilă a populației). Dimpotrivă, în cazul în care

R 0 ( 0 ) < N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<n,}

atunci

D I d t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {di}{dt}}(0)<0,}

adică, independent de dimensiunea inițială a populației sensibile, boala nu poate provoca niciodată un focar epidemic adecvat. În consecință, este clar că atât numărul de reproducere de bază, cât și susceptibilitatea inițială sunt extrem de importante.

forța de infecțieedit

rețineți că în modelul de mai sus funcția:

f = i , {\displaystyle F=\beta I,}

modelează rata de tranziție de la compartimentul indivizilor sensibili la compartimentul indivizilor infecțioși, astfel încât se numește forța de infecție. Cu toate acestea, pentru clasele mari de boli transmisibile este mai realist să se ia în considerare o forță de infecție care nu depinde de numărul absolut de subiecți infecțioși, ci de fracțiunea lor (în ceea ce privește populația constantă totală n {\displaystyle n}

): F = XV I n . {\displaystyle F=\beta {\frac{I} {N}}.}

. Ecuațiile diferențiale sunt acum toate liniare, iar a treia ecuație, de forma d R / D * * * * * = {\displaystyle dR/d\tau =}

const., arată că {\displaystyle \tau }

și R {\displaystyle r}

(și XV {\displaystyle \xi }

de mai sus) sunt pur și simplu legate liniar.

un aproximant analitic extrem de precis al modelului SIR a fost furnizat de kr-ul și Schlickeiser, astfel încât nu este nevoie să se efectueze o integrare numerică pentru a rezolva modelul SIR, pentru a obține parametrii săi din datele existente sau pentru a prezice dinamica viitoare a unei epidemii modelate de modelul SIR. Aproximantul implică funcția Lambert W care face parte din toate software-urile de bază de vizualizare a datelor, cum ar fi Microsoft Excel, MATLAB și Mathematica.

modelul SIR cu dinamică vitală și populație constantăedit

luați în considerare o populație caracterizată printr-o rată a deceselor (\mu și rata natalității (\Lambda și unde se răspândește o boală transmisibilă. Modelul cu transmisie în masă este: d S d t = Λ − μ S − β I S a N d I d t = β I S N − γ I − μ I d R d t = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{aliniat}{\frac {d}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta ESTE}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta ESTE}{N}}-\gamma eu-\mu I\\{\frac {dR}{dt}}&=\gamma eu-\mu R\end{aliniat}}}

pentru care echilibrul fără boală ( DFE) este:

(S ( t ) , I ( t ) , R ( t)) = (0 , 0 ) . {\displaystyle \ stânga(S(t),I(t),R (T)\dreapta)=\stânga ({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\dreapta).}

în acest caz, putem deduce un număr de reproducere de bază:

R 0 = hectolixt+, {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\Gamma }},}

care are proprietăți de prag. De fapt, independent de valorile inițiale semnificative din punct de vedere biologic, se poate arăta că:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = DFE = ( Λ, μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}

R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = EE = ( γ + μ β μ β ( R 0 − 1 ) , γ β ( R 0 − 1 ) ) . {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\la \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\stânga({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\stânga(R_{0}-1\dreapta),{\frac {\Gamma }{\Beta} \stânga(R_{0} -1\dreapta)\dreapta).}

punctul EE se numește echilibru Endemic (boala nu este complet eradicată și rămâne în populație). Cu argumente euristice, se poate arăta că R 0 {\displaystyle R_{0}}

poate fi citit ca numărul mediu de infecții cauzate de un singur subiect infecțios într-o populație complet susceptibilă, relația de mai sus înseamnă biologic că, dacă acest număr este mai mic sau egal cu unul, boala dispare, în timp ce dacă acest număr este mai mare decât unul, boala va rămâne permanent endemică în populație.

The SIR modelEdit

în 1927, W. O. Kermack și A. G. McKendrick au creat un model în care au considerat o populație fixă cu doar trei compartimente: susceptibil, s ( t) {\displaystyle S(t)}

; infectat, i ( t ) {\displaystyle I(t)}

; și recuperat, R ( t ) {\displaystyle R(t)}

. Compartimentele utilizate pentru acest model constau din trei clase:

• S ( t ) {\displaystyle S(t)}
  

  este utilizat pentru a reprezenta indivizii care nu au fost încă infectați cu boala la momentul t sau cei susceptibili la boala populației.

• I ( t ) {\displaystyle I(t)}
  

  denotă indivizii din populație care au fost infectați cu boala și sunt capabili să răspândească boala la cei din categoria susceptibilă.

• R ( t ) {\displaystyle R(t)}
  

  este compartimentul utilizat pentru indivizii din populație care au fost infectați și apoi eliminați din boală, fie din cauza imunizării, fie din cauza morții. Cei din această categorie nu sunt capabili să fie infectați din nou sau să transmită infecția altora.

fluxul acestui model poate fi considerat după cum urmează:

s__div>

folosind o populație fixă, N = S ( t ) + i ( t ) + r ( t) {\displaystyle N=S(t)+I(t)+r(t)}

în cele trei funcții rezolvă că valoarea n {\displaystyle n}

ar trebui să rămână constantă în cadrul simulării, dacă se utilizează o simulare pentru a rezolva modelul sir. Alternativ, aproximantul analitic poate fi utilizat fără a efectua o simulare. Modelul este pornit cu valorile lui S ( t = 0 ) {\displaystyle S(t=0)}

, I ( t = 0 ) {\displaystyle I(t=0)}

și r ( t = 0 ) {\displaystyle r(t=0)}

. Acestea sunt numărul de persoane din categoriile sensibile, infectate și eliminate la timp este egal cu zero. Dacă se presupune că modelul SIR este valabil în orice moment, aceste condiții inițiale nu sunt independente. Ulterior, modelul de flux actualizează cele trei variabile pentru fiecare punct de timp cu valori setate pentru secvent {\displaystyle \beta}

și secvent {\displaystyle \gamma}

. Simularea actualizează mai întâi persoanele infectate din categoria susceptibilă și apoi categoria eliminată este actualizată din categoria infectată pentru următorul punct de timp (t=1). Aceasta descrie fluxul persoane între cele trei categorii. În timpul unei epidemii categoria susceptibilă nu este mutată cu acest model, iar această categorie nu se modifică în cursul epidemiei, ci se modifică pe parcursul epidemiei, la fel ca și categoria susceptibilă . Aceste variabile determină durata epidemiei și ar trebui actualizate cu fiecare ciclu. d S d t = − int s i n {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta SI}{n}}}

d I d t = int s i n − int i {\displaystyle {\frac {} {DT}}={\frac {\beta si} {n}}-\Gamma i}

D R D t = {\displaystyle {\frac {Dr} {DT}}=\Gamma i}

au fost făcute mai multe ipoteze în formularea acestor ecuații: În primul rând, un individ din populație trebuie considerat ca având o probabilitate egală ca orice alt individ de a contracta boala cu o rată de a {\displaystyle A}

și o fracție egală b {\displaystyle b}

de oameni pe care un individ îi contactează cu pe unitate de timp. Apoi, să fie {\displaystyle \beta }

înmulțirea lui a {\displaystyle a}

și b {\displaystyle B}

. Aceasta este probabilitatea de transmisie ori rata de contact. În plus, o persoană infectată intră în contact cu B {\displaystyle b}

persoane pe unitate de timp în timp ce doar o fracțiune, S n {\displaystyle {\frac {S}{N}}}

dintre ele sunt sensibile.Astfel, avem fiecare infectant care poate infecta a b s = hectolitri s {\displaystyle abS=\beta s}

persoane sensibile și, prin urmare, numărul întreg de susceptibili infectați cu infecții pe unitate de timp este de ordinul zecimilor s i {\displaystyle \beta si}

. Pentru a doua și a treia ecuație, luați în considerare populația care părăsește clasa susceptibilă ca fiind egală cu numărul care intră în clasa infectată. Cu toate acestea, un număr egal cu fracțiunea de la {\displaystyle \gamma }

(care reprezintă rata medie de recuperare/mortalitate, sau 1 / XNUMX {\displaystyle 1/\gamma }

perioada medie de infectare) a unitatea de timp pentru a intra în clasa eliminat. Aceste procese care au loc simultan sunt denumite Legea acțiunii în masă, o idee larg acceptată că rata de contact între două grupuri dintr-o populație este proporțională cu dimensiunea fiecăruia dintre grupurile în cauză. În cele din urmă, se presupune că rata de infecție și recuperare este mult mai rapidă decât scara de timp a nașterilor și deceselor și, prin urmare, acești factori sunt ignorați în acest model.

soluții la starea de Stanțăedit

durata preconizată a susceptibilității va fi e {\displaystyle \operatorname {e}}

unde T L {\displaystyle T_{l}}

reflectă timpul viu (speranța de viață) și T S {\displaystyle t_{s}}

reflectă timpul în starea susceptibilă înainte de a deveni infectat, care poate fi simplificat la: E ⁡ = ∫ 0 ∞ e − ( μ + δ ) x d x = 1 μ + δ , {\displaystyle \operatorname {E} =\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}

astfel că numărul persoanelor susceptibile este numărul introducerea sensibile compartiment μ N {\displaystyle \mu N}

ori durata de sensibilitate: S = μ N μ + λ . {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}

în mod Analog, la starea de echilibru, numărul de persoane infectate este numărul intrarea infectate de stat din susceptibile de stat (număr de sensibile, ori rata de infecție λ = β N , {\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta am}{N}},}

ori durata de contagiozitate 1 μ + v {\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}

: I = μ N μ + λ λ 1 μ + v . {\displaystyle I = {\frac {\mu n} {\mu + \ lambda }} \ lambda {\frac {1} {\mu + v}}.}

alte modele compartimentaleedit

există multe modificări ale modelului SIR, inclusiv cele care includ nașteri și decese, unde la recuperare nu există imunitate (modelul SIS), unde imunitatea durează doar o perioadă scurtă de timp (SIRS), unde există o perioadă latentă a bolii în care persoana nu este infecțioasă (SEIS și SEIR) și unde sugarii se pot naște cu imunitate (MSIR).