Rochelimiet
De grensafstand tot welke een satelliet kan naderen zonder te breken, hangt af van de starheid van de satelliet. Aan het ene uiterste zal een volledig starre satelliet zijn vorm behouden totdat de getijdekrachten hem uit elkaar breken. Aan het andere uiterste vervormt een sterk vloeibare satelliet geleidelijk, wat leidt tot verhoogde getijdekrachten, waardoor de satelliet zich uitbreidt, de getijdekrachten verder verergert en sneller uit elkaar breekt.
De meeste echte satellieten zouden ergens tussen deze twee uitersten liggen, met een treksterkte die de satelliet noch volkomen stijf noch volkomen vloeibaar maakt. Bijvoorbeeld, een puinhopen asteroïde zal zich meer gedragen als een vloeistof dan een vaste rots; een ijzige lichaam zal zich in het begin vrij rigide gedragen, maar meer vloeibaar worden als getijdenverwarming zich ophoopt en zijn ijs begint te smelten.
maar merk op dat, zoals hierboven gedefinieerd, de Rochelimiet betrekking heeft op een lichaam dat uitsluitend wordt bijeengehouden door de gravitatiekrachten die anders niet met elkaar verbonden deeltjes doen samensmelten, waardoor het lichaam in kwestie wordt gevormd. De Rochelimiet wordt ook meestal berekend voor het geval van een cirkelbaan, hoewel het eenvoudig is om de berekening te wijzigen om van toepassing te zijn op het geval (bijvoorbeeld) van een lichaam dat de primaire passeert op een parabolische of hyperbolische Baan.
Rigid-satellite calculationEdit
De rigid-body Rochelimiet is een vereenvoudigde berekening voor een sferische satelliet. Onregelmatige vormen zoals die van getijdenvervorming op het lichaam of de primaire IT-banen worden verwaarloosd. Het wordt verondersteld in hydrostatisch evenwicht te zijn. Deze veronderstellingen, hoewel onrealistisch, sterk vereenvoudigen berekeningen.
de Rochelimiet voor een stijve sferische satelliet is de afstand, d {\displaystyle d}
, van de primaire waarbij de gravitatiekracht op een testmassa aan het oppervlak van het object precies gelijk is aan de getijdekracht die de massa van het object wegtrekt: d = R M ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(2{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
waar R M {\displaystyle R_{M}}
de straal van de primaire, ρ M {\displaystyle \rho _{M}}
is de dichtheid van de primaire en ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
is de dichtheid van de satelliet. Dit kan volgens geschreven als d = R m ( 2 M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
waar R m {\displaystyle R_{m}}
de straal van de secundaire, M M {\displaystyle M_{M}}
de massa van de primaire en M m {\displaystyle M_{m}}
is de massa van de secundaire.
Dit hangt niet af van de grootte van de objecten, maar van de dichtheidsverhouding. Dit is de baanafstand waarbinnen los materiaal (b.v. regoliet) op het oppervlak van de satelliet het dichtst bij de primaire weg zou worden getrokken, en evenzo materiaal aan de kant tegenover de primaire zal ook weg te gaan van, in plaats van naar, de satelliet.
merk op dat dit een benaderend resultaat is aangezien de traagheidskracht en de stijve structuur bij de afleiding ervan worden genegeerd.
de orbitale periode hangt dan alleen af van de dichtheid van de secundaire:
P = 2 π ( d 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( d 3 ( 4 / 3 ) π G R M 3 ρ M ) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}
waarbij G de gravitatieconstante. Bijvoorbeeld, een dichtheid van 3.346 G / cc (De dichtheid van onze maan) komt overeen met een baanperiode van 2.552 uur.
afleiding van de formulaEdit
om de Rochelimiet te bepalen, overweeg dan een kleine massa u {\displaystyle u}
op het oppervlak van de satelliet die het dichtst bij de primaire satelliet staat. Er zijn twee krachten op deze massa u {\displaystyle u}
: de zwaartekracht naar de satelliet en de zwaartekracht naar de primaire. Stel dat de satelliet in vrije val is rond de primaire en dat de getijdekracht de enige relevante term is voor de gravitationele aantrekking van de primaire. Deze aanname is een vereenvoudiging aangezien vrije val alleen werkelijk van toepassing is op het planetaire centrum, maar zal volstaan voor deze afleiding.
De zwaartekracht F G {\displaystyle F_{\text{G}}}
op de massa ‘ u {\displaystyle u}
in de richting van de satelliet met massa m {\displaystyle m}
en straal r {\displaystyle r}
kan worden uitgedrukt volgens Newton ‘ s wet van de zwaartekracht. F G = G m u u r 2 {\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}
de kracht van de getijden F T {\displaystyle F_{\text{T}}}
op de massa ‘ u {\displaystyle u}
opzichte van de primaire met straal R {\displaystyle R}
en de massa M {\displaystyle M}
, op een afstand d {\displaystyle d}
tussen de middelpunten van de twee organen, kan ongeveer worden uitgedrukt als F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_ {\text{T}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}}
.
om deze benadering te verkrijgen, moet u het verschil vinden in de zwaartekracht van de primaire op het centrum van de satelliet en op de rand van de satelliet die het dichtst bij de primaire:
F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}
F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}
F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}
In de onderlinge aanpassing waar r ≪ R {\displaystyle r\ll R}
en R < d {\displaystyle R<d}
kan gezegd worden dat de r 2 {\displaystyle r^{2}}
in de teller en elke termijn met r {\displaystyle r}
in de noemer komt nul, dat geeft ons: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}
F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}
The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.
F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}
of
G m u u r 2 = 2 G M u u r d 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}
dat geeft de Roche-limiet, d {\displaystyle d}
, als d = r ( 2 M ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}
De straal van de satelliet moet niet worden weergegeven in de uitdrukking voor de limiet, dus het is opnieuw geschreven in termen van dichtheden.
Voor een bol de massa M {\displaystyle M}
kan geschreven worden als M = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}
waar R {\displaystyle R}
de straal van de primaire.
en ook
m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4 \ pi \ rho _{M}r^{3}}{3}}}
waarbij r {\displaystyle r}
de straal van de satelliet is.
in plaats van de massa ‘ s in de vergelijking voor de Roche-limiet, en annulering van 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}
geeft d = r ( 2 ρ M R 3 ρ m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}
die kan worden vereenvoudigd tot de volgende Roche limiet:
d = R ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\ca 1.26 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
.
een nauwkeuriger formula-edit
aangezien een nabije satelliet waarschijnlijk in een bijna cirkelvormige baan met synchrone rotatie zal draaien, moet worden overwogen hoe de centrifugale kracht van rotatie de resultaten zal beïnvloeden. Die kracht is
F C = ω 2 U R = G M U R d 3 {\displaystyle F_{C}= \ omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}}
en het wordt toegevoegd aan FT. De krachtbalansberekening levert dit resultaat op voor de Rochelimiet:
d = R M ( 3 ρ m ρ m ) 1 3 ≈ 1.442 R M ( ρ m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {\rho _{m}}{\Rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
………. (1)
of: d = R-m ( 3 M ) 1 3 ≈ 1.442 R m ( M M ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\ca 1.442R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
………. (2)
het Gebruik van m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}
(waarbij r {\displaystyle r}
de straal van de satelliet) te vervangen ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
in formule(1) kunnen we een derde formule:
d = ( 9 M M 4 π ρ m ) 1 3 ≈ 0.8947 ( M M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=\left({\frac {9M_{M}}{4\pi \rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\ca 0.8947\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
………. (3)
Het is dus voldoende om de massa van de ster (planeet) te observeren en de dichtheid van de planeet (satelliet) te schatten om de Rochelimiet van de planeet (satelliet) in het stellaire (planetaire) systeem te berekenen.
Roche-limiet, de Heuvel, de sfeer en de straal van de planetEdit
Overweeg een planeet met een dichtheid van ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
en een straal van r {\displaystyle r}
in een baan rond een ster withis is de fysische betekenis van de Roche-limiet, Roche lobe en Hill sphere.
Formule(2) kan worden omschreven als: R Roche = R Hill 3 M m 3 = R secundair 3 M m 3 {\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Heuvel}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}=R_{\text{secundaire}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}}
, een perfecte wiskundige symmetrie.dit is de astronomische betekenis van Rochelimiet en Heuvelbol.
opmerking: Rochelimiet en Heuvelbol verschillen volledig van elkaar, maar zijn beiden werk van Édouard Roche.
Heuvelbol van een astronomisch lichaam is het gebied waarin het de aantrekkingskracht van satellieten domineert, terwijl de Rochelimiet de minimale afstand is tot welke een satelliet zijn primaire lichaam kan benaderen zonder dat de getijdekracht de inwendige zwaartekracht van de satelliet bij elkaar houdt.
Heuvelbol van een astronomisch lichaam is het gebied waarin het de aantrekkingskracht van satellieten domineert, terwijl de Rochelimiet de minimale afstand is tot welke een satelliet zijn primaire lichaam kan benaderen zonder dat de getijdekracht de interne zwaartekracht overwint die de satelliet bij elkaar houdt.
Fluid satellitesEdit
een nauwkeuriger benadering voor het berekenen van de Rochelimiet houdt rekening met de vervorming van de satelliet. Een extreem voorbeeld zou een tidally locked vloeibare satelliet die rond een planeet cirkelen, waar elke kracht die op de satelliet werkt zou vervormen tot een Prolate sferoïde.
de berekening is complex en het resultaat kan niet worden weergegeven in een exacte algebraïsche formule. Roche zelf heeft de volgende oplossing voor de Rochelimiet afgeleid:
d ≈ 2.44 R (ρ m ρ m) 1/3 {\displaystyle d\approx 2.44 R\left({\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}
Echter, een betere benadering die rekening houdt met de primaire oblateness en de satelliet in de massa is:
d ≈ 2.423 R ( ρ M ρ m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 M ) + c 3 R ( 1 + m ) 1 − c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\ca 2.423 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}
waarbij c / R {\displaystyle c/R}
is de Oblaten van de primaire. De numerieke factor wordt berekend met behulp van een computer.
De vloeibare oplossing is geschikt voor lichamen die slechts losjes bij elkaar worden gehouden, zoals een komeet. Bijvoorbeeld, de rottende baan van komeet Shoemaker–Levy 9 rond Jupiter passeerde binnen zijn Rochelimiet in juli 1992, waardoor het in een aantal kleinere stukken fragmenteerde. Bij zijn volgende aanpak in 1994 crashten de fragmenten op de planeet. Shoemaker-Levy 9 werd voor het eerst waargenomen in 1993, maar zijn baan gaf aan dat het enkele decennia daarvoor door Jupiter was ingenomen.
afleiding van de Formula-edit
omdat de fluid satellite case gevoeliger is dan de starre, wordt de satelliet beschreven met een aantal vereenvoudigende veronderstellingen. Stel eerst dat het object bestaat uit incompressible fluid met een constante dichtheid ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
en volume V {\displaystyle V}
die niet afhankelijk zijn van externe of interne krachten. ten tweede, stel dat de satelliet in een cirkelbaan beweegt en in synchrone rotatie blijft. Dit betekent dat de hoeksnelheid ω {\displaystyle \Omega }
waarbij het rond het middelpunt van de massa draait, gelijk is aan de hoeksnelheid waarmee het rond het gehele barycenter van het systeem beweegt.
de hoeksnelheid ω {\displaystyle \ Omega}
wordt gegeven door Kepler ‘ s derde wet: ω 2 = G M + m D 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {M+m}{D^{3}}}.}
wanneer M veel groter is dan m, ligt dit dicht bij
ω 2 = G M d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {M}{d^{3}}}.}
de synchrone rotatie houdt in dat de vloeistof niet beweegt en dat het probleem als een statisch probleem kan worden beschouwd. Daarom spelen de viscositeit en wrijving van de vloeistof in dit model geen rol, omdat deze hoeveelheden alleen een rol zouden spelen voor een bewegende vloeistof.
gezien deze aannames moet rekening worden gehouden met de volgende krachten::
- de zwaartekracht door het hoofdlichaam;
- de centrifugale kracht in het roterende referentiesysteem; en
- het zelfzwaartekrachtveld van de satelliet.
omdat al deze krachten conservatief zijn, kunnen ze worden uitgedrukt door middel van een potentiaal. Bovendien is het oppervlak van de satelliet equipotentiaal. Anders zouden de verschillen in potentie leiden tot krachten en beweging van sommige delen van de vloeistof aan het oppervlak, wat in tegenspraak is met de statische modelhypothese. Gezien de afstand tot het hoofdlichaam, moet de vorm van het oppervlak dat voldoet aan de equipotentiële voorwaarde worden bepaald.
aangezien de baan rond is aangenomen, annuleren de totale gravitatiekracht en de orbitale centrifugale kracht die op het hoofdlichaam inwerken. Dan blijven er twee krachten over: de getijdekracht en de rotatiecentrifugale kracht. De getijdenkracht hangt af van de positie ten opzichte van het middelpunt van de massa, die al in het starre model wordt beschouwd. Voor kleine lichamen is de afstand van de vloeibare deeltjes tot het centrum van het lichaam klein in verhouding tot de afstand d tot het hoofdlichaam. Zo kan de getijdekracht lineair worden gemaakt, wat resulteert in dezelfde formule voor FT als hierboven gegeven.
hoewel deze kracht in het starre model alleen afhangt van de straal r van de satelliet, MOETEN in het vloeibare geval alle punten op het oppervlak in aanmerking worden genomen, en de getijdekracht hangt af van de afstand Δd van het middelpunt van de massa tot een bepaald deeltje geprojecteerd op de lijn die de satelliet met het hoofdlichaam verbindt. We noemen Δd de radiale afstand. Sinds de kracht van de getijden is lineair in Δd, de gerelateerde potentiële evenredig is met het kwadraat van de variabele en voor m ≪ M {\displaystyle m\ll M}
we hebben V T = − 3 G M-2 d 3 D d 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}
Ook de middelpuntvliedende kracht heeft een potentiële
V C = − 1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M-2 d 3 D d 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}
voor rotatiehoeksnelheid ω {\displaystyle \Omega }
we willen de vorm van de satelliet bepalen waarvoor de som van het zelfzwaartekrachtpotentieel en VT + VC constant is op het oppervlak van het lichaam. In het algemeen is een dergelijk probleem zeer moeilijk op te lossen, maar in dit specifieke geval kan het worden opgelost door een bekwame gok vanwege de kwadratische afhankelijkheid van de getijdenpotentiaal op de radiale afstand Δd tot een eerste benadering, kunnen we het centrifugaalpotentiaal VC negeren en alleen het getijdenpotentiaal VT in overweging nemen.
aangezien de potentiële VT slechts in één richting verandert, dat wil zeggen in de richting van het hoofdlichaam, kan worden verwacht dat de satelliet een axiaal symmetrische vorm aanneemt. Om precies te zijn, we kunnen aannemen dat het een vorm van een solid van revolutie neemt. Het zelf-potentieel op het oppervlak van zo ‘ n solid van revolutie kan alleen afhangen van de radiale afstand tot het centrum van de massa. Inderdaad, de snijpunt van de satelliet en een vlak loodrecht op de lijn die de lichamen verbindt is een schijf waarvan de grens door onze veronderstellingen is een cirkel van constante potentiaal. Indien het verschil tussen de zelfzwaartekrachtpotentiaal en VT constant is, moeten beide potentialen op dezelfde manier afhankelijk zijn van Δd. Met andere woorden, het zelfpotentiaal moet evenredig zijn met het kwadraat van Δd. Dan kan worden aangetoond dat de equipotentiale oplossing een ellipsoïde van revolutie is. Gegeven een constante dichtheid en volume hangt het zelfpotentieel van een dergelijk lichaam alleen af van de excentriciteit ε van de ellipsoïde:
V s = V s 0 + G π ρ m ⋅ f ( ε ) ⋅ Δ d 2 , {\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}}+G\pi \rho _{m}\cdot c(\varepsilon )\cdot \Delta d^{2},}
waar de V s 0 {\displaystyle V_{s_{0}}}
is de constante zelf-potentiaal op de kruising van de cirkelvormige rand van de body en de centrale symmetrie vlak gegeven door de vergelijking Δd=0.
De dimensieloze functie f is bepaald op basis van de nauwkeurige oplossing voor het potentieel van de ellipsoïde
f ( ε ) = 1 − ε 2 ε 3 ⋅ {\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}
en, verrassend genoeg, niet afhankelijk is van het volume van de satelliet.
hoewel de expliciete vorm van de functie f ingewikkeld lijkt, is het duidelijk dat we de waarde van ε kunnen en doen, zodat de potentiële VT gelijk is aan VS plus een constante onafhankelijk van de variabele Δd. Bij inspectie gebeurt dit wanneer
2 G π ρ M R 3 d 3 = G π ρ m f ( ε ) {\displaystyle {\frac {2G\pi \rho _{M}R^{3}}{d^{3}}}=G\pi \rho _{m}f(\varepsilon )}
deze vergelijking kan numeriek worden opgelost. De grafiek geeft aan dat er twee oplossingen zijn en dus vertegenwoordigt de kleinere de stabiele evenwichtsvorm (de ellipsoïde met de kleinere excentriciteit). Deze oplossing bepaalt de excentriciteit van de getijde-ellipsoïde als functie van de afstand tot het hoofdlichaam. De afgeleide van de functie f heeft een nul waar de maximale excentriciteit wordt bereikt. Dit komt overeen met de Rochelimiet.
meer bepaald wordt de Rochelimiet bepaald door het feit dat de functie f, die kan worden beschouwd als een niet-lineaire maat van de kracht die de ellipsoïde naar een bolvorm drukt, zo Begrensd is dat er een excentriciteit is waarbij deze samentrekkende kracht maximaal wordt. Aangezien de getijdenkracht toeneemt wanneer de satelliet het hoofdlichaam nadert, is het duidelijk dat er een kritische afstand is waarop de ellipsoïde wordt verscheurd.
De maximale excentriciteit kan numeriek worden berekend als de nul van de afgeleide van f’. Men verkrijgt
ε max ≈ 0 . 86 {\displaystyle \varepsilon _{\text{max}}\approx 0{.}86}
wat overeenkomt met de verhouding van de ellipsoïde assen 1:1,95. Door dit in de formule voor de functie f in te voegen, kan men de minimale afstand bepalen waarop de ellipsoïde bestaat. Dit is de Rochelimiet,
d ≈ 2 . 423 ⋅ R ρ ρ m ρ m 3 . {\displaystyle d \ approx 2{.}423\cdot R\cdot {\sqrt{\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}}}\,.}
verrassend genoeg maakt ook het centrifugale potentieel opmerkelijk weinig verschil, hoewel het object een Roche-ellipsoïde wordt, een algemene triaxiale ellipsoïde met alle assen met verschillende lengtes. De potentiaal wordt een veel ingewikkelder functie van de aslengtes, die elliptische functies vereist. Echter, de oplossing gaat veel verder als in het getijdengeval, en we vinden
d ≈ 2 . 455 ⋅ R ρ ρ m ρ m 3 . {\displaystyle d \ approx 2{.}455\cdot R\cdot {\sqrt{\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}}}\,.}
