i detta avsnitt utvecklar vi ett alternativt tillvägagångssätt för att beräkna \(V({\bf r})\) som rymmer dessa gränsvillkor och därigenom underlättar analysen av det skalära potentialfältet i närheten av strukturer och rumsligt varierande materialegenskaper. Detta alternativa tillvägagångssätt bygger på Poissons ekvation, som vi nu härleder.

vi börjar med den differentiella formen av Gauss ’ lag (avsnitt 5.7):

\

\

därefter tillämpar vi förhållandet (avsnitt 5.14):

\ ger \

detta är Poissons ekvation, men det är inte i den form som det vanligtvis används. För att erhålla den alternativa formen, överväga operatören \(\nabla \cdot \nabla\) i kartesiska koordinater:

\

Observera att Poissons ekvation är en partiell differentialekvation och därför kan lösas med hjälp av välkända tekniker som redan är etablerade för sådana ekvationer. Faktum är att Poissons ekvation är en inhomogen differentialekvation, med den inhomogena delen \(- \rho_v/\epsilon\) som representerar fältets källa. I närvaro av materialstruktur identifierar vi relevanta gränsvillkor vid gränssnitten mellan material, och uppgiften att hitta \(V({\bf r})\) reduceras till den rent matematiska uppgiften att lösa det associerade gränsvärdesproblemet (se ”ytterligare läsning” i slutet av detta avsnitt). Detta tillvägagångssätt är särskilt effektivt när ett av materialen är en perfekt ledare eller kan modelleras som ett sådant material. Detta beror på att – som noterat i början av detta avsnitt-Den elektriska potentialen vid alla punkter på ytan av en perfekt ledare måste vara lika, vilket resulterar i ett särskilt enkelt gränsförhållande.

i många andra applikationer ligger laddningen som är ansvarig för det elektriska fältet utanför problemets domän; dvs vi har icke-noll elektriskt fält (därmed potentiellt icke-noll elektrisk potential) i en region som är gratis. I detta fall förenklar Poissons ekvation till Laplaces ekvation:

\