SIR-modellen är en av de enklaste compartmentalmodellerna, och många modeller är derivat av denna grundläggande form. Modellen består av tre fack:-

S: antalet mottagliga individer. När en mottaglig och en smittsam individ kommer i” smittsam kontakt”, kontraherar den mottagliga individen sjukdomen och övergår till det smittsamma facket. I: antalet smittsamma individer. Dessa är individer som har smittats och kan infektera mottagliga individer. R för antalet borttagna (och immun) eller avlidna individer. Dessa är individer som har smittats och antingen har återhämtat sig från sjukdomen och gått in i det borttagna facket eller dött. Det antas att antalet dödsfall är försumbart med avseende på den totala befolkningen. Detta fack kan också kallas” återställd ”eller”resistent”. denna modell är rimligt prediktiv för infektionssjukdomar som överförs från människa till människa, och där återhämtning ger varaktig resistens, såsom mässling, påssjuka och röda hund.

dessa variabler (S, I och R) representerar antalet personer i varje fack vid en viss tidpunkt. För att representera att antalet mottagliga, smittsamma och borttagna individer kan variera över tiden (även om den totala befolkningsstorleken förblir konstant), gör vi de exakta siffrorna en funktion av T(tid): S(t), I(t) och R (t). För en specifik sjukdom i en specifik population kan dessa funktioner utarbetas för att förutsäga möjliga utbrott och få dem under kontroll.

som antyds av variabelfunktionen för t är modellen dynamisk genom att siffrorna i varje fack kan fluktuera över tiden. Betydelsen av denna dynamiska aspekt är mest uppenbar i en endemisk sjukdom med en kort infektionsperiod, såsom mässling i Storbritannien före införandet av ett vaccin 1968. Sådana sjukdomar tenderar att förekomma i cykler av utbrott på grund av variationen i antalet mottagligheter (S(t)) över tiden. Under en epidemi faller antalet mottagliga individer snabbt när fler av dem smittas och därmed kommer in i de smittsamma och borttagna facken. Sjukdomen kan inte bryta ut igen förrän antalet mottagligheter har byggts upp igen, t.ex. som ett resultat av att avkommor föds in i det mottagliga facket.

{\frac {ds} {dt}} = − {\frac {\beta är} {n}},\\&{\frac {DS} {dt}}=-{\frac {\beta är} {n}},\\&{\frac {Di} {Dt}}={\frac {\Beta är} {N}}-\gamma i,\\&{\frac {Dr} {dt}}=\gamma I,\end{aligned}}}

där s {\displaystyle s}

är beståndet av mottagliga populationer, i {\displaystyle i}

är beståndet av infekterade, R {\displaystyle r}

är beståndet av borttagna population (antingen genom död eller återhämtning) och n {\displaystyle n}

är summan av dessa tre. denna modell föreslogs för första gången av William Ogilvy Kermack och Anderson Gray McKendrick som ett speciellt fall av vad vi nu kallar Kermack–McKendrick-teorin och följde arbete McKendrick hade gjort med Ronald Ross.

detta system är icke-linjärt, men det är möjligt att härleda sin analytiska lösning i implicit form. Observera först att från:

d S d t + d I d t + d R d t = 0 , {\displaystyle {\frac {ds}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}

det följer att:

S ( t ) + I ( t ) + R ( T ) = konstant = N , {\displaystyle S(t)+I(t)+R(T)={\text{konstant}}=n,}

uttryck i matematiska termer populationens beständighet n {\displaystyle n}

. Observera att ovanstående förhållande innebär att man bara behöver studera ekvationen för två av de tre variablerna.

För det andra noterar vi att dynamiken i den smittsamma klassen beror på följande förhållande:

r 0 = {\displaystyle r_ {0}={\frac {\beta} {\gamma}},}

det så kallade grundläggande reproduktionsnumret (även kallat grundläggande reproduktionsförhållande). Detta förhållande härleds som det förväntade antalet nya infektioner (dessa nya infektioner kallas ibland sekundära infektioner) från en enda infektion i en population där alla ämnen är mottagliga. Den här tanken kan förmodligen lättare ses om vi säger att den typiska tiden mellan kontakter är T c = 2 {\displaystyle t_{c}=\beta ^{-1}}

, och den typiska tiden tills borttagning är T r = 1 {\displaystyle t_{r}=\gamma ^{-1}}

. Härifrån följer att i genomsnitt antalet kontakter av en smittsam individ med andra innan den smittsamma har tagits bort är: T r / T c . {\displaystyle T_{r}/t_{c}.}

genom att dividera den första differentialekvationen med den tredje, separera variablerna och integrera får vi

S ( t ) = s ( 0 ) e − R 0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / N , {\displaystyle S(t)=s(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/n},}

där s ( 0 ) {\displaystyle s(0)}

och R ( 0 ) {\displaystyle r(0)}

är de initiala siffrorna för respektive mottagliga och borttagna ämnen. Skriva s 0 = S ( 0 ) / n {\displaystyle s_{0}=S(0)/n}

för den initiala andelen mottagliga individer och s

{\displaystyle S_{\infty }=s (\infty ) / n} och r (r)/n{\displaystyle R_{\infty}=r(\infty)/n}

för andelen mottagliga och borttagna individer respektivei gränsen t IC, {\displaystyle t\to\infty,}

en har s − 1 − R − 1-r-0 ( r-0(r-0 ) {\displaystyle s_{\infty} = 1-r_{\infty} = s_{0}e^{- r_{0} (r_{\infty} – r_{0})}}

(Observera att det smittsamma facket töms i denna gräns).Denna transcendentala ekvation har en lösning när det gäller Lambert W − funktionen, nämligen

s 0 = 1 − r 0 − 1 w ( − s 0 r 0 e − r 0 ( 1 − r 0 ) ) . {\displaystyle s_ {\infty }=1-r_{\infty} =-R_{0}^{-1}\,W (- s_{0}r_{0}e^{- R_{0}(1-r_{0})}).}

detta visar att i slutet av en epidemi som överensstämmer med SIR-modellens enkla antaganden, såvida inte s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

, inte alla individer i befolkningen har tagits bort, så vissa måste förbli mottagliga. En drivkraft som leder till slutet av en epidemi är en minskning av antalet smittsamma individer. Epidemin slutar vanligtvis inte på grund av en fullständig brist på mottagliga individer.

rollen för både det grundläggande reproduktionsnumret och den initiala mottagligheten är extremt viktiga. Faktum är att vid omskrivning av ekvationen för smittsamma individer enligt följande:

d I d t = ( R 0 S N − 1 ) I , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\vänster(r_{0}{\frac {s}{N}}-1\höger)\gamma I,}

det ger att om:

r 0 msk s ( 0 ) > n , {\displaystyle r_{0}\cdot s(0)>n,}

sedan:

d I d t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}

dvs det kommer att bli ett ordentligt epidemiskt utbrott med en ökning av antalet smittsamma (som kan nå en betydande del av befolkningen). Tvärtom, om

R 0 msk S ( 0 ) < N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}

sedan

d i d t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {Di}{Dt}}(0)<0,}

dvs oberoende av den initiala storleken på den mottagliga populationen kan sjukdomen aldrig orsaka ett ordentligt epidemiskt utbrott. Som en konsekvens är det uppenbart att både det grundläggande reproduktionsnumret och den initiala mottagligheten är extremt viktiga.

kraften av infektionedit

Observera att i ovanstående modell funktionen:

f = 0, {\displaystyle F= \ beta i,}

modeller övergångshastigheten från facket av mottagliga individer till facket av smittsamma individer, så att det kallas infektionskraften. För stora klasser av smittsamma sjukdomar är det emellertid mer realistiskt att överväga en infektionskraft som inte beror på det absoluta antalet smittsamma ämnen, utan på deras fraktion (med avseende på den totala konstanta populationen N {\displaystyle n}

): f = XXL i n . {\displaystyle F=\beta {\frac {i}{N}}.}

Capasso och därefter har andra författare föreslagit icke-linjära infektionskrafter för att modellera mer realistiskt smittprocessen.

exakta analytiska lösningar till SIR-modellenredigera

2014 härledde Harko och medförfattare en exakt så kallad analytisk lösning (med en integral som endast kan beräknas numeriskt) till SIR-modellen. I fallet utan vital dynamics setup, för S ( u ) = S(t ) {\displaystyle {\mathcal {s}} (u)=S(t)}

, etc., det motsvarar följande tidsparametrisering S ( u ) = s ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {s}}(u)=s(0)u}

I ( u ) = N − r ( u ) − s ( u ) {\displaystyle {\mathcal {i}}(u)=n-{\mathcal {r}}(u)-{\mathcal {s}}(u)}

r ( u ) = r ( 0) − (U ) {\displaystyle {\mathcal {r}}(u)=r(0)-\Rho \ln(u)}

för

t = N β ∫ u 1 d (u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {jag}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}

med ursprungliga villkor

( S ( 1 ) , jag ( 1 ) , R ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , N − R ( 0 ) − S ( 0 ) , R ( 0 ) ) , u T < u < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. Genom transcendental ekvationen för R ∞ {\displaystyle R_{\infty }}

ovanstående följer att u T = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = S ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}

, om S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)}

och jag ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0}

.

En motsvarande så kallad analytisk lösning (med en integrerad som bara kan beräknas numeriskt) fann att av Miller ger

S ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ρ ξ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t f ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{anpassas}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\I(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{anpassas}}}

här kan man tolka det förväntade antalet sändningar som en individ har fått med tiden t {\displaystyle t}

som det förväntade antalet sändningar som en individ har fått med tiden t {\displaystyle t}

. De två lösningarna är relaterade till e-Bisexuell (t)=u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}

.

effektivt kan samma resultat hittas i det ursprungliga arbetet av Kermack och McKendrick.

dessa lösningar kan lätt förstås genom att notera att alla termer på höger sida av de ursprungliga differentialekvationerna är proportionella mot I {\displaystyle i}

. Ekvationerna kan således delas igenom med I {\displaystyle i}

, och tiden skalas om så att differentialoperatören på vänster sida helt enkelt blir d / d exporter {\displaystyle d/d\tau }

, där d expori = I d t {\displaystyle D\tau =IDT}

, dvs. displaystyle\tau = \int IDT} . Differentialekvationerna är nu alla linjära, och den tredje ekvationen, av formen d R / d, och den tredje ekvationen, av formen d r/d, av formen d r/d, av formen d r/d, av formen d r/d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen d r / d, av formen D R / D., visar att exporten {\displaystyle \tau }

och R {\displaystyle r}

(och exporten {\displaystyle \xi }

ovan) är helt enkelt linjärt relaterade.

en mycket noggrann analytisk approximant av SIR-modellen tillhandahölls av Kr Kubigger och Schlickeiser, så att det inte finns något behov av att utföra en numerisk integration för att lösa SIR-modellen, för att få dess parametrar från befintliga data eller för att förutsäga den framtida dynamiken hos en epidemier modellerad av SIR-modellen. Approximanten involverar Lambert W-funktionen som ingår i all grundläggande datavisualiseringsprogramvara som Microsoft Excel, MATLAB och Mathematica.

SIR-modellen med vital dynamik och konstant populationEdit

Tänk på en population som kännetecknas av en dödsfrekvens exporten {\displaystyle \mu}

och födelsetal exporten {\displaystyle \Lambda}

, och där en smittsam sjukdom sprider sig. Modellen med massaktionsöverföring är: d S S d d t = (Λ) − μ S − β i S N d i d t = β i S N − γ I − μ i d R d t = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{anpassas}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu-S-{\frac {\beta}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta}{N}}-\gamma I-\mu jag\\{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\ \ end{anpassas}}}

för vilken sjukdomsfri jämvikt ( DFE) är:

(S ( t ) , I ( t ) , R ( t)) = (0 , 0 ) . {\displaystyle \ vänster(S (t),I(t), R(t)\höger)=\vänster({\frac {\Lambda }{\mu}}, 0, 0\höger).}

i det här fallet kan vi härleda ett grundläggande reproduktionsnummer:

R 0 = 2x, {\displaystyle r_{0}={\frac {\beta }{\mu + \gamma}},}

som har tröskelegenskaper. I själva verket kan man, oberoende av biologiskt meningsfulla initialvärden, visa att:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t) I ( t) R ( t ) ) = (DFE) = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\ \ till \infty }(S(t) I(t) R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\höger)}

R 0 > 1 , jag ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t) I ( t) R ( t ) ) = EE = ( γ + μ β , μ β ( R-0 − 1 ) , γ-β ( R-0 − 1 ) ) . {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\till \infty }(S(t),I(T),R(t))={\textrm {ee}}=\vänster({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\vänster(r_{0}-1\höger),{\frac {\gamma }{\beta }}\vänster(r_{0}-1\höger)\höger).}

punkten EE kallas den endemiska jämvikten (sjukdomen är inte helt utrotad och förblir i befolkningen). Med heuristiska argument kan man visa att R 0 {\displaystyle r_{0}}

kan läsas som det genomsnittliga antalet infektioner orsakade av ett enda infektiöst ämne i en helt mottaglig population, ovanstående förhållande betyder biologiskt att om detta antal är mindre än eller lika med en, försvinner sjukdomen, medan om detta antal är större än en kommer sjukdomen att förbli permanent endemisk i befolkningen.

The SIR modelEdit

1927 skapade W. O. Kermack och A. G. McKendrick en modell där de betraktade en fast population med endast tre fack: mottaglig, S (t) {\displaystyle S (t)}

; infekterade, I (t) {\displaystyle I(t)}

; och återvinnas, R ( t) {\displaystyle R(t)}

. De fack som används för denna modell består av tre klasser:

• S(t ) {\displaystyle S(t)}
  

  används för att representera de individer som ännu inte är infekterade med sjukdomen vid tidpunkten t, eller de som är mottagliga för befolkningens sjukdom.

• I ( t ) {\displaystyle I(t)}
  

  betecknar individerna i befolkningen som har smittats med sjukdomen och kan sprida sjukdomen till dem i den mottagliga kategorin.

• R(t ) {\displaystyle R(t)}
  

  är det fack som används för individer i befolkningen som har smittats och sedan avlägsnats från sjukdomen, antingen på grund av immunisering eller på grund av dödsfall. De i denna kategori kan inte smittas igen eller överföra infektionen till andra.

flödet av denna modell kan betraktas som följer:

S. I. S. r {\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {s}}\rightarrow {\mathcal {i}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}

använda en fast population, n = S ( t ) + i ( t ) + r ( t ) {\displaystyle N=S(t)+i(t)+r(t)}

i de tre funktionerna löser att värdet n {\displaystyle n}

bör förbli konstant inom simuleringen, om en simulering används för att lösa Sir-modellen. Alternativt kan den analytiska approximanten användas utan att utföra en simulering. Modellen startas med värden på S ( t = 0 ) {\displaystyle S(t=0)}

, I ( t = 0 ) {\displaystyle I(t=0)}

och r ( t = 0 ) {\displaystyle r(t=0)}

. Dessa är antalet personer i de mottagliga, infekterade och borttagna kategorierna vid tiden är lika med noll. Om SIR-modellen antas hålla hela tiden är dessa initiala villkor inte oberoende. Därefter uppdaterar flödesmodellen de tre variablerna för varje tidpunkt med inställda värden för {\displaystyle \beta}

och {\displaystyle \gamma }

. Simuleringen uppdaterar först den infekterade från den mottagliga och sedan uppdateras den borttagna kategorin från den infekterade kategorin för nästa tidpunkt (t=1). Detta beskriver flödespersonerna mellan de tre kategorierna. Under en epidemi skiftas inte den mottagliga kategorin med denna modell, utan under epidemins gång ändras även den mottagliga kategorin. displaystyle \beta}

under epidemins gång och det gör även den mottagliga kategorin.

. Dessa variabler bestämmer längden på epidemin och måste uppdateras med varje cykel. d s d t = − OC i n {\displaystyle {\frac {DS}{dt}}=-{\frac {\beta si}{n}}}

d I d t = OC i n − OC i {\displaystyle {\frac {dI}{Dt}}={\frac {\beta si}{n}}-\gamma i}

d r d t = {\displaystyle {\frac {Dr}{dt}}=\gamma i}

flera antaganden gjordes i formuleringen av dessa ekvationer: För det första måste en individ i populationen anses ha lika stor sannolikhet som varje annan individ att drabbas av sjukdomen med en hastighet av A {\displaystyle a}

och en lika stor fraktion b {\displaystyle B}

av personer som en individ tar kontakt med med per tidsenhet. Låt sedan {\displaystyle \beta }

vara multiplikationen av A {\displaystyle a}

och b {\displaystyle B}

. Detta är överföringssannolikheten gånger kontakthastigheten. Dessutom kommer en infekterad individ i kontakt med b {\displaystyle B}

personer per tidsenhet medan endast en bråkdel, S N {\displaystyle {\frac {s}{n}}}

av dem är mottagliga.Således har vi varje infektiv kan infektera a b S = Bisexuell s {\displaystyle abS=\beta s}

mottagliga personer, och därför är hela antalet mottaglighet som infekterats av infektionsmedel per tidsenhet är bisexuell S i {\displaystyle \beta SI}

. För den andra och tredje ekvationen, betrakta befolkningen som lämnar den mottagliga klassen som lika med antalet som kommer in i den infekterade klassen. Ett tal som är lika med fraktionen 0 {\displaystyle \gamma }

(som representerar medelåtervinnings – /dödsfrekvensen, eller 1 / occupy {\displaystyle 1/\gamma }

den genomsnittliga infektionsperioden) för smittämnen lämnar denna klass per tidsenhet för att komma in i den borttagna klassen. Dessa processer som inträffar samtidigt kallas lagen om Massaktion, en allmänt accepterad uppfattning att kontakthastigheten mellan två grupper i en befolkning är proportionell mot storleken på var och en av de berörda grupperna. Slutligen antas att infektions-och återhämtningsgraden är mycket snabbare än tidsskalan för födslar och dödsfall och därför ignoreras dessa faktorer i denna modell.

steady-state solutionsEdit

den förväntade varaktigheten för mottaglighet kommer att vara e {\displaystyle \operatorname {e}}