Roche limit
det begränsande avståndet till vilket en satellit kan närma sig utan att bryta upp beror på satellitens styvhet. Vid en extrem kommer en helt styv Satellit att behålla sin form tills tidvattenstyrkorna bryter isär den. Vid den andra ytterligheten deformeras en mycket flytande satellit gradvis vilket leder till ökade tidvattenkrafter, vilket får satelliten att förlängas, vilket ytterligare förvärrar tidvattenkrafterna och får den att bryta isär lättare.
de flesta riktiga satelliter skulle ligga någonstans mellan dessa två ytterligheter, med draghållfasthet som gör satelliten varken helt styv eller perfekt flytande. Till exempel kommer en rubble-pile asteroid att uppträda mer som en vätska än en fast stenig; en isig kropp kommer att uppträda ganska styvt först men blir mer flytande när tidvattenuppvärmning ackumuleras och dess is börjar smälta.
men observera att, som definierat ovan, hänvisar Roche-gränsen till en kropp som hålls samman enbart av gravitationskrafterna som orsakar att annars okopplade partiklar samlas och därmed bildar kroppen i fråga. Roche-gränsen beräknas också vanligtvis för fallet med en cirkulär bana, även om det är enkelt att ändra beräkningen för att gälla fallet (till exempel) av en kropp som passerar primären på en parabolisk eller hyperbolisk bana.
Rigid-satellite calculationEdit
Roche-gränsen för rigid-body är en förenklad beräkning för en sfärisk satellit. Oregelbundna former som tidvattendeformation på kroppen eller den primära den kretsar försummas. Det antas vara i hydrostatisk jämvikt. Dessa antaganden, även om de är orealistiska, förenklar beräkningarna kraftigt.
Roche-gränsen för en styv sfärisk satellit är avståndet, d {\displaystyle d}
, från det primära vid vilket gravitationskraften på en testmassa vid objektets yta är exakt lika med tidvattenkraften som drar massan bort från objektet: d = R M ( 2 CCL m CCL m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\vänster(2{\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}}\höger)^{\frac {1}{3}}
där R M {\displaystyle R_{m}}
är radien för den primära, är M {\displaystyle \rho _{m}}
densiteten hos den primära, och IC m {\displaystyle \Rho _{m}}
är densiteten hos satelliten. Detta kan skrivas likvärdigt som d = R m ( 2 M M m m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\vänster(2{\frac {M_{m}}{M_{m}}}\höger)^{\frac {1}{3}}}
där R m {\displaystyle R_{m}}
är radien för den sekundära, M M {\displaystyle M_{m}}
är massan för den primära, och m m {\displaystyle M_{m}}
är den sekundära massan.
detta beror inte på objektets storlek, utan på förhållandet mellan densiteter. Detta är orbitalavståndet inuti vilket löst material (t.ex. regolit) på ytan av satelliten närmast primären skulle dras bort, och på samma sätt kommer material på sidan motsatt primären också att gå bort från, snarare än mot, satelliten.
Observera att detta är ett ungefärligt resultat eftersom tröghetskraft och styv struktur ignoreras i dess härledning.
omloppsperioden beror då endast på sekundärens densitet:
P = 2 π ( d 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( d 3 ( 4 / 3 ) π G R a M 3 ρ M ) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}
där G är den gravitationella konstant. Till exempel en densitet av 3.346 g / cc (månens densitet) motsvarar en omloppsperiod på 2.552 timmar.
härledning av formelnredigera
för att bestämma Roche-gränsen, överväga en liten massa u {\displaystyle u}
på ytan av satelliten närmast primären. Det finns två krafter på denna massa u {\displaystyle u}
: gravitationen drar mot satelliten och gravitationen drar mot primären. Antag att satelliten är i fritt fall runt primären och att tidvattenkraften är den enda relevanta termen för primärens gravitationsattraktion. Detta antagande är en förenkling eftersom fritt fall bara verkligen gäller planetcentret, men kommer att räcka för denna härledning.
gravitationskraften F G {\displaystyle F_{\text{g}}}
på massan u {\displaystyle u}
mot satelliten med massan m {\displaystyle M}
och radie r {\displaystyle r}
kan uttryckas enligt Newtons gravitationslag. F G = G m u r 2 {\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}
tidvattenkraften F T {\displaystyle F_{\text{T}}}
på massan u {\displaystyle u}
mot primär med radie r {\displaystyle r}
och massa m {\displaystyle M}
, på ett avstånd d {\displaystyle D}
mellan centra för de två kropparna, kan uttryckas ungefär som F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{t}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}
.
för att få denna approximation, hitta skillnaden i primärens gravitation i mitten av satelliten och på kanten av satelliten närmast primären:
F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}
F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}
F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}
i approximationen där r Jacobsen r {\displaystyle r\ll r}
och R < d {\displaystyle r<d}
, kan man säga att r 2 {\displaystyle r^{2}}
i täljaren och varje term med r {\displaystyle r}
i nämnaren går till noll, vilket ger oss: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}
F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}
The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.
F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}
eller
g u r 2 = 2 G u R d 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2gmur}{D^{3}}}
,
som ger Roche-gränsen, d {\displaystyle d}
, som d = r ( 2 m m ) 1 3 {\displaystyle D=R\vänster(2\,{\frac {M} {M}}\höger)^{\frac {1} {3}}}
satellitens radie ska inte visas i uttrycket för gränsen, så det skrivs om när det gäller densiteter.
för en sfär massan M {\displaystyle M}
kan skrivas som M = 4 kg m R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \Rho _ {M} R^{3}}{3}}}
där R {\displaystyle r}
är radien för den primära.
och på samma sätt
m = 4 kg m r 3 3 {\displaystyle M = {\frac {4\pi \Rho _ {m} r^{3}}{3}}}
där r {\displaystyle r}
är satellitens radie.
för att Ersätta massorna i ekvationen för Roche-gränsen, och att radera ut 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}
ger d = r ( 2 ρ M R 3 ρ m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}
som kan förenklas till följande Roche-gräns:
d = R ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( CBL m CBL m ) 1 3 {\displaystyle d=R\vänster(2\,{\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}}\höger)^{\frac {1}{3}}\ca 1,26 r\vänster({\frac {\rho _{m}}}\höger)^{\frac{1} {3}}}
.
en mer exakt formelredigera
eftersom en nära satellit sannolikt kommer att kretsa i en nästan cirkulär bana med synkron rotation, överväga hur centrifugalkraften från rotation kommer att påverka resultaten. Den kraften är
F C = 2 U r = G M u R d 3 {\displaystyle F_{C}= \ omega ^{2}ur={\frac {GMur}{D^{3}}}
och det läggs till FT. Att göra beräkningen av kraftbalansen ger detta resultat för Roche-gränsen:
d = r M ( 3 kg M ) 1 3 kg 1,442 kg ( kg ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\vänster(3\;{\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}}\höger)^{\frac {1}{3}}\ca 1.442r_{m}\vänster({\frac {\Rho _{m}}{\Rho _{m}}}\höger)^{\frac {1}{3}}}
………. ( 1)
eller: d = R m ( 3 M M m m ) 1 3 msk 1,442 R m(M M m m ) 1 3 {\displaystyle d=r_{m}\vänster (3\;{\frac {M_{m}}{M_{m}}}\höger)^{\frac {1}{3}}\ca 1.442r_{m}\vänster ({\frac {M_{m}}{m_{m}}}\höger)^{\frac {1}{3}}}
………. (2)
använd m = 4 kg m r 3 3 {\displaystyle M = {\frac {4\pi \Rho _ {m} r^{3}}{3}}}
(där r {\displaystyle r}
är satellitens radie) för att ersätta div>
d = ( 9 m m 4 kg ) 1 3 kg 0,8947 ( m m kg ) 1 3 {\displaystyle D=\vänster ({\frac {9m_ {m}} {4\pi\Rho _{m}}}\höger)^{\frac{1} {3}}\ca 0.8947 \ vänster ({\frac {M_{m}}{\rho _{m}}}\höger)^{\frac {1}{3}}}
………. (3)
Således är det tillräckligt att observera stjärnans massa (planet) och att uppskatta planetens densitet (satellit) för att beräkna Roche-gränsen för planeten (satellit) i stjärnsystemet (Planet).
Roche limit, Hill sphere och radius of the planetEdit
tänk på en planet med en densitet av 0 {\displaystyle \Rho _{m}}
och en radie av r {\displaystyle r}
, som kretsar kring en stjärna withis är den fysiska betydelsen av Roche limit, Roche lobe och Hill sphere.
Formel(2) kan beskrivas som: R Roche = r kulle 3 M M 3 = r sekundär 3 m m 3 {\displaystyle R_{\text{Roche}}=r_{\text{kulle}}{\sqrt{\frac {3M}{M}}}=R_{\text{sekundär}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}}
, en perfekt matematisk symmetri.
Detta är den astronomiska betydelsen av Roche limit och Hill sphere.
Obs: Roche limit och Hill sphere är helt olika från varandra, men är båda arbete av Occurdouard Roche.
Hill sfär av en astronomisk kropp är den region där den dominerar attraktionen av satelliter medan Roche limit är det minsta avståndet till vilket en satellit kan närma sig sin primära kropp utan tidvattenkraft övervinna den inre tyngdkraften som håller satelliten tillsammans.
Fluid satellitesEdit
en mer exakt metod för att beräkna Roche-gränsen tar hänsyn till deformationen av satelliten. Ett extremt exempel skulle vara en tidally låst flytande satellit som kretsar kring en planet, där någon kraft som verkar på satelliten skulle deformera den till en prolate sfäroid.
beräkningen är komplex och dess resultat kan inte representeras i en exakt algebraisk formel. Roche själv härledde följande ungefärliga lösning för Roche-gränsen:
d 2,44 r 2,44 r 1/3 {\displaystyle D\ca 2,44 r\vänster ({\frac {\rho _{m}}} {\rho _{m}}}\höger)^{1/3}}
en bättre approximation som tar hänsyn till primärens oblateness och satellitens massa är dock:
d 2,423 r ( 2 + m m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 M) + c 3 R ( 1+M M ) 1 − c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\ca 2.423 r\vänster({\frac {\Rho _{m}}{\Rho _{m}}}\höger)^{1/3}\vänster({\frac {(1+{\frac {m}{3m}})+{\frac {C}{3R}}(1 + {\frac {m}{m}})}{1-c/r}}\höger)^{1/3}}
där c / R {\displaystyle c/r}
är primärens oblateness. Den numeriska faktorn beräknas med hjälp av en dator.
vätskelösningen är lämplig för kroppar som bara hålls löst ihop, såsom en komet. Till exempel kometen Shoemaker–Levy 9s förfallna bana runt Jupiter passerade inom sin Roche-gräns i juli 1992, vilket fick den att splittras i ett antal mindre bitar. Vid nästa tillvägagångssätt 1994 kraschade fragmenten in i planeten. Shoemaker-Levy 9 observerades först 1993, men dess bana indikerade att den hade fångats av Jupiter några decennier tidigare.
härledning av formelnredigera
eftersom det flytande satellitfallet är mer känsligt än det styva, beskrivs satelliten med några förenklande antaganden. Antag först att objektet består av inkompressibel vätska som har konstant densitet 0 {\displaystyle \rho _{m}}
och volym V {\displaystyle v}
som inte beror på externa eller interna krafter.
För det andra, anta att satelliten rör sig i en cirkulär bana och den förblir i synkron rotation. Detta innebär att vinkelhastigheten (s.k. a. V.) ({\displaystyle \omega }
vid vilken den roterar runt sitt masscentrum är densamma som vinkelhastigheten vid vilken den rör sig runt hela systemet barycenter.
vinkelhastigheten 2 {\displaystyle \ omega }
ges av Keplers tredje lag: 2 = G M + m d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {m + m}{d^{3}}}.}
När M är mycket större än m, kommer detta att vara nära
2 = G M d 3. {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {m}{d^{3}}}.}
den synkrona rotationen innebär att vätskan inte rör sig och problemet kan betraktas som en statisk. Därför spelar viskositeten och friktionen hos vätskan i denna modell ingen roll, eftersom dessa kvantiteter endast skulle spela en roll för en rörlig vätska.
Med tanke på dessa antaganden bör följande krafter beaktas:
- gravitationskraften på grund av huvudkroppen;
- centrifugalkraften i det roterande referenssystemet; och
- satellitens självgravitationsfält.
eftersom alla dessa krafter är konservativa kan de uttryckas med hjälp av en potential. Dessutom är satellitytan en Ekvipotential. Annars skulle skillnaderna i potential ge upphov till krafter och rörelse av vissa delar av vätskan vid ytan, vilket strider mot det statiska modellantagandet. Med tanke på avståndet från huvudkroppen måste formen av ytan som uppfyller det ekvipotentiella tillståndet bestämmas.
när banan har antagits cirkulär avbryter den totala gravitationskraften och orbitalcentrifugalkraften som verkar på huvudkroppen. Det lämnar två krafter: tidvattenkraften och rotationscentrifugalkraften. Tidvattenkraften beror på positionen i förhållande till masscentrum, som redan beaktas i den styva modellen. För små kroppar är avståndet mellan vätskepartiklarna från kroppens centrum litet i förhållande till avståndet d till huvudkroppen. Således kan tidvattenkraften linjäriseras, vilket resulterar i samma formel för FT som anges ovan.
även om denna kraft i den styva modellen endast beror på satellitens radie r, måste i fluidfallet alla punkter på ytan beaktas, och tidvattenkraften beror på avståndet Aucd från masscentrum till en given partikel projicerad på linjen som förbinder satelliten och huvudkroppen. Vi kallar Aucd det radiella avståndet. Eftersom tidvatten kraft är linjär i Δd, den potentiella är proportionell mot kvadraten på en variabel och för m ≪ M {\displaystyle m\ll M}
vi har V T = − 3 G M 2 d 3 D d 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}
Likaså, centrifugalkraften har en potential
V C = − 1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M-2 d-3 D d 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}
för rotationsvinkelhastighet (t .ex.
vi vill bestämma formen på satelliten för vilken summan av självgravitationspotentialen och VT + VC är konstant på kroppens yta. I allmänhet är ett sådant problem mycket svårt att lösa, men i det här fallet, kan det lösas genom en skicklig gissning på grund av den kvadratiska beroendet av tidvattenpotential på det radiella avståndet Aucd till en första approximation, kan vi ignorera centrifugalpotential VC och överväga endast tidvattenpotential VT.
eftersom den potentiella VT endast ändras i en riktning, dvs riktningen mot huvudkroppen, kan satelliten förväntas ta en axiellt symmetrisk form. Mer exakt kan vi anta att det tar en form av en solid revolution. Självpotentialen på ytan av ett sådant revolutionärt ämne kan bara bero på det radiella avståndet till massans centrum. Faktum är att skärningspunkten mellan satelliten och ett plan vinkelrätt mot linjen som förbinder kropparna är en skiva vars gräns med våra antaganden är en cirkel med konstant potential. Om skillnaden mellan självgravitationspotentialen och VT är konstant, måste båda potentialerna bero på samma sätt på Aucd. Med andra ord måste självpotentialen vara proportionell mot kvadraten av Aucd. Då kan det visas att den ekvipotentiella lösningen är en ellipsoid av revolution. Med tanke på en konstant densitet och volym beror självpotentialen hos en sådan kropp endast på ellipsoidens excentricitet:
V s = v s 0 + g 2 , {\displaystyle v_{s}=V_{s_{0}}+g\pi \Rho _{m}\cdot f (\varepsilon) \cdot \delta d^{2},}
där V S 0 {\displaystyle v_{s_{0}}}
är den konstanta självpotentialen på skärningspunkten mellan kroppens cirkulära kant och den centrala symmetri plan som ges av ekvationen USD=0.
den dimensionslösa funktionen f ska bestämmas utifrån den exakta lösningen för ellipsoidens potential
f ( kg ) = 1 − 2 kg (kg) 3 kg {\displaystyle f (\varepsilon) ={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}
och förvånansvärt nog beror inte på satellitens volym.
även om den explicita formen av funktionen f ser komplicerad ut, är det tydligtatt vi kan och väljer värdet på GHz så att den potentiella VT är lika med VS plus en konstant oberoende av variabeln USD. Genom inspektion inträffar detta när
2 g ci m R 3 D 3 = G ci m f ( ci ) {\displaystyle {\frac {2G\PI \Rho _{m}r^{3}}{D^{3}}}=g\Pi \Rho _{m}f(\varepsilon )}
denna ekvation kan lösas numeriskt. Grafen indikerar att det finns två lösningar och därmed representerar den mindre den stabila jämviktsformen (ellipsoiden med den mindre excentriciteten). Denna lösning bestämmer excentriciteten hos tidvatten ellipsoid som en funktion av avståndet till huvudkroppen. Derivatet av funktionen f har en noll där maximal excentricitet uppnås. Detta motsvarar Roche-gränsen.
mer exakt bestäms Roche-gränsen av det faktum att funktionen f, som kan betraktas som ett olinjärt mått på kraften som klämmer ellipsoiden mot en sfärisk form, begränsas så att det finns en excentricitet vid vilken denna sammandragande kraft blir maximal. Eftersom tidvattenkraften ökar när satelliten närmar sig huvudkroppen är det uppenbart att det finns ett kritiskt avstånd där ellipsoiden rivs upp.
den maximala excentriciteten kan beräknas numeriskt som noll för derivatet av f’. Man får
Max 0 . 86 {\displaystyle \ varepsilon _{\text{max}} \ ca 0{.}86}
vilket motsvarar förhållandet mellan ellipsoidaxlarna 1: 1, 95. Genom att infoga detta i formeln för funktionen f kan man bestämma det minimala avståndet vid vilket ellipsoiden existerar. Detta är Roche-gränsen,
d 2 . 423 oc .r oc. M oc. M 3. {\displaystyle d \ ca 2{.}423 \ cdot R \ cdot {\sqrt{\frac {\rho _{m}} {\rho _{m}}}}\,.}
överraskande, inklusive centrifugalpotentialen gör anmärkningsvärt liten skillnad, även om objektet blir en Roche ellipsoid, en allmän triaxial ellipsoid med alla axlar som har olika längder. Potentialen blir en mycket mer komplicerad funktion av axellängderna, vilket kräver elliptiska funktioner. Lösningen fortsätter emellertid mycket som i tidvattenfallet, och vi hittar
d 2 . 455 oc R oc m oc M 3 . {\displaystyle d \ ca 2{.}455 \ cdot R \ cdot {\sqrt{\frac {\rho _{m}} {\rho _{m}}}}\,.}
