V této části jsme vyvinout alternativní přístup k výpočtu \(V({\bf r})\), které pojme tyto okrajové podmínky, a tím usnadňuje analýzu skalární potenciál pole v okolí staveb a prostorově různé vlastnosti materiálu. Tento alternativní přístup je založen na Poissonově rovnici, kterou nyní odvodíme.

Začínáme diferenciální formou Gaussova zákona (Oddíl 5.7):

\

\

Next, budeme aplikovat vztah (Bod 5.14):

\ výtěžkem \

Toto je Poissonova Rovnice, ale není v podobě, v jaké je běžně zaměstnán. Získat alternativní formě, zvažte operátor \(\nabla \cdot \nabla\) v Kartézských souřadnicích:

\

Všimněte si, že Poissonova Rovnice je parciální diferenciální rovnice, a proto může být vyřešen pomocí dobře známých technik již zavedené pro tyto rovnice. Ve skutečnosti je Poissonova rovnice nehomogenní diferenciální rovnicí, přičemž nehomogenní část \(-\rho_v/\epsilon\) představuje zdroj pole. V přítomnosti materiál strukturu, určit příslušné okrajové podmínky na rozhraní mezi materiály, a za úkol najít \(V({\bf r})\) je snížena na čistě matematické úlohy řešení souborům okrajové problém (viz „Další Čtení“ na konci tohoto oddílu). Tento přístup je zvláště účinný, když jeden z materiálů je dokonalým vodičem nebo může být modelován jako takový materiál. Je to proto, že – jak již bylo uvedeno na začátku této části – elektrický potenciál ve všech bodech na povrchu dokonalého vodiče musí být stejné, což má za následek obzvláště jednoduché okrajové podmínky.

V mnoha jiných aplikací, poplatku odpovědná za elektrické pole leží mimo doménu problému; tj. máme non-nulové elektrické pole (tedy potenciálně nenulový elektrický potenciál) v oblasti, která je zdarma. V tomto případě se Poissonova rovnice zjednodušuje na Laplaceovu rovnici:

\