model SIR je jedním z nejjednodušších kompartmentových modelů a mnoho modelů je deriváty této základní formy. Model se skládá ze tří oddílů: –

S: počet vnímavých jedinců. Když citlivý a infekční jedinec přijde do „infekčního kontaktu“, vnímavý jedinec uzavře nemoc a přechází do infekčního kompartmentu. I: počet infekčních jedinců. Jedná se o jedince, kteří byli infikováni a jsou schopni infikovat vnímavé jedince. R pro počet odstraněných (a imunních) nebo zemřelých jedinců. Jedná se o jedince, kteří byli infikováni a buď se zotavili z nemoci a vstoupili do odstraněného oddělení, nebo zemřeli. Předpokládá se, že počet úmrtí je zanedbatelný s ohledem na celkovou populaci. Tento oddíl může být také nazýván „obnovený“ nebo „odolný“.

tento model je přiměřeně prediktivní pro infekční onemocnění, která jsou přenášena z člověka na člověka a kde zotavení přináší trvalou rezistenci, jako jsou spalničky, příušnice a zarděnky.

tyto proměnné (S, I A R) představují počet osob v každém oddělení v určitý čas. Představují si, že počet vnímavých, infekční a odstraněny jedinci mohou v průběhu času měnit (i když celková velikost populace zůstává konstantní), můžeme provést přesný čísla funkce t (čas): S(t), I(t) a R(t). Pro konkrétní onemocnění v určité populaci mohou být tyto funkce vypracovány, aby bylo možné předvídat možná ohniska a dostat je pod kontrolu.

Jak vyplývá z proměnné funkce t, model je dynamický v tom, že čísla v každém oddělení mohou v průběhu času kolísat. Význam tohoto dynamického aspektu je nejzřetelnější u endemického onemocnění s krátkým infekčním obdobím, jako jsou spalničky ve Velké Británii před zavedením vakcíny v roce 1968. Taková onemocnění se obvykle vyskytují v cyklech ohnisek v důsledku kolísání počtu náchylností (S(t)) v průběhu času. Během epidemie počet vnímavých jedinců rychle klesá, protože více z nich je infikováno, a tak vstupuje do infekčních a odstraněných kompartmentů. Nemoc nemůže vypuknout znovu, dokud počet susceptibles má vestavěný zálohování, např. v důsledku potomstvo rodí do citlivých prostor.

Každý člen populace obvykle postupuje od citlivé na infekční, aby se zotavil. To mohou být zobrazeny jako schéma, ve kterém boxy představují různé přihrádky a šipky přechod mezi prostory, tj.

Přechod ratesEdit

Pro plnou specifikaci modelu, šipky by měly být označeny míra přechodu mezi prostory. Mezi S a já, přechod sazba předpokládá se, že d(Y/N)/dt = -ßSI/N2, kde N je celkový počet obyvatel, β je průměrný počet kontaktů za osobu a čas, vynásobí pravděpodobnost přenosu nákazy v kontaktu vnímavého a infekční téma, a SI/N2 je zlomek těch kontaktů mezi infekční a vnímavého jedince, které vedou k vnímavé osobě nakažení. (To je matematicky podobná zákon masové akce, v chemii, ve které náhodné kolize mezi molekulami v důsledku chemické reakce a frakční rychlost je úměrná koncentraci obou reaktantů).

mezi I A R se předpokládá, že rychlost přechodu je úměrná počtu infekčních jedinců, kterým je yI. To je ekvivalentní předpokladu, že pravděpodobnost, že se infekční jedinec zotaví v jakémkoli časovém intervalu dt, je jednoduše ydt. Pokud je jedinec infekční po průměrnou dobu D, pak γ = 1 / D. To je také ekvivalentní předpokladu, že délka času stráveného v jednotlivých infekčních stavu je náhodná proměnná s exponenciálním rozdělením. „Klasický“ SIR model může být modifikován pomocí složitějších a realističtějších distribucí pro přechodovou rychlost I-R (např.

Pro zvláštní případ, ve kterém není odstranění z infekčních oddělení (γ=0), SIR model snižuje na velmi jednoduché SI model, který má logistické řešení, v němž každý jedinec se nakonec stane nakažených.

PANE model bez zásadní dynamicsEdit

dynamika epidemie, například, chřipka, jsou často mnohem rychlejší než dynamika narození a smrti, tedy narození a smrti jsou často vynechány v jednoduché dělené modely. Systém SIR bez takzvané vitální dynamiky (narození a smrt, někdy nazývané demografie) popsaný výše může být vyjádřen následující sadou obyčejných diferenciálních rovnic:

d S d t = − β I S N d I d t = β I S N − γ I , d R d t = γ I , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta}{N}},\\&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta}{N}}-\gamma jsem,\\&{\frac {doktor}{dt}}=\gamma jsem,\end{aligned}}}

, kde Y {\displaystyle}

je populace vnímavých obyvatel, jsem {\displaystyle I}

je skladem infikovaných, R {\displaystyle R}

je skladem odstraněny populace (buď smrt nebo uzdravení), a N {\displaystyle N}

je součtem těchto tří.

Tento model byl poprvé navrhl William Ogilvy Kermack a Anderson Šedá Mckendricka jako speciální případ z toho, co dnes nazýváme Kermack–Mckendricka teorie, a následoval práce Mckendricka udělal s Ronald Ross.

tento systém je nelineární, nicméně je možné odvodit jeho analytické řešení v implicitní podobě. Za prvé, na vědomí, že:

d S d t + d d t + d t d t = 0 , {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {doktor}{dt}}=0,}

z toho vyplývá, že:

S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = konstanta = N , {\displaystyle Y(t)+I(t)+R(t)={\text{konstanta}}=N,}

vyjádřit v matematických termínech stálost populace N {\displaystyle N}

. Všimněte si, že výše uvedený vztah znamená, že je třeba studovat pouze rovnici pro dvě ze tří proměnných.

za druhé, poznamenáváme, že dynamika infekční třídy závisí na následujícím poměru:

R 0 = β γ , {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},}

tzv. základní reprodukční číslo (také volal základní reprodukční poměr). Tento poměr je odvozen jako očekávaný počet nových infekcí (tyto nové infekce jsou někdy nazývá sekundární infekce) od jednoho infekce v populaci, kde všechny předměty jsou náchylné. Tento nápad může pravděpodobně být více snadno vidět, pokud můžeme říci, že typická doba mezi kontakty je T c = β − 1 {\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}

, a typický čas až do odstranění je T r = γ − 1 {\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}

. Z toho vyplývá, že v průměru je počet kontaktů infekčního jedince s ostatními před odstraněním infekce: T r / T c. {\displaystyle T_{r}/T_{c}.}

vydělením první diferenciální rovnice třetí, separaci proměnných a integrováním dostaneme,

Y ( t ) = S ( 0 ) e − R 0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / N , {\displaystyle Y(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}

kde S ( 0 ) {\displaystyle Y(0)}

a R ( 0 ) {\displaystyle R(0)}

jsou první čísla, respektive, citlivé a odstraněny předměty. Psaní s 0 = S ( 0 ) / N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N}

pro počáteční podíl vnímavých jedinců, a s ∞ = S ( ∞ ) / N {\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}

a r ∞ = R ( ∞ ) / N {\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}

podíl vnímavých a odstraněny jednotlivců respectivelyin limitu t → ∞ , {\displaystyle t\to \infty ,}

jedna je s ∞ = 1 − r ∞ = s 0 e − R 0 ( r ∞ − r 0 ) {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}

(všimněte si, že infekční oddělení se vlévá v tomto limitu).Tato transcendentální rovnice má řešení z hlediska funkce Lambert W, jmenovitě

s ∞ = 1-r ∞ = – R 0-1 W (- s 0 R 0 e-R 0 (1-r 0)). {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}

To ukazuje, že na konci epidemie, která odpovídá na jednoduché předpoklady modelu SIR, pokud s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

, ne všichni jedinci z populace odstraněny, takže některé musí zůstat náchylné. Hnací silou vedoucí ke konci epidemie je pokles počtu infekčních jedinců. Epidemie obvykle nekončí kvůli úplnému nedostatku vnímavých jedinců.

role základního reprodukčního čísla i počáteční citlivosti jsou nesmírně důležité. Ve skutečnosti, při přepsání rovnice pro infekční jedince takto:

d I d t = ( R 0 S N − 1 ) γ I , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma jsem,}

to, že výnosy, pokud:

R 0 ⋅ Y ( 0 ) > N , {\displaystyle R_{0}\cdot Y(0)>N,}

pak:

d I d t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}

tj. tam bude správné vypuknutí epidemie s nárůstem počtu infekčních (který může dosáhnout značnou část populace). Naopak, pokud

R 0 ⋅ Y ( 0 ) < N , {\displaystyle R_{0}\cdot Y(0)<N,}

d I d t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}

tj. nezávisle na počáteční velikost populace vnímavých onemocnění nikdy nemůže způsobit řádné epidemie ohniska. V důsledku toho je zřejmé, že základní reprodukční číslo i počáteční citlivost jsou nesmírně důležité.

síla infectionEdit

Všimněte si, že ve výše uvedeném modelu funkce:

F = β I , {\displaystyle F=\beta jsem,}

modely přechodu sazby z prostoru vnímavých jedinců do prostoru infekčních jedinců, takže, to je nazýváno síla infekce. Nicméně, pro velké třídy přenosných nemocí je to více realistické, aby zvážila silou infekce, která není závislá na absolutní počet infekčních předměty, ale na jejich frakce (s ohledem na celkové konstantní populace N {\displaystyle N}

): F = β N . {\displaystyle F= \ beta {\frac {i}{N}}.}

Capasso a poté další autoři navrhli nelineární síly infekce, aby realističtěji modelovali proces nákazy.

Přesné analytické řešení PANE modelEdit

V roce 2014, Harko a spoluautory odvodit přesnou tzv. analytické řešení (zahrnující integrální, která může být vypočtena numericky) na model SIR. V případě, že bez vitální dynamiky nastavení, pro S ( u ) = S ( t ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}

, atd. to odpovídá následující čas parametrizací S ( u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}

I ( u ) = N − R ( u ) − S ( u ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}

R ( u ) = R ( 0 ) − ρ ln ⁡ ( u ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}

t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}

s počáteční podmínky.

( S ( 1 ) I ( 1 ) , R ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , N − R ( 0 ) − Y ( 0 ) , R ( 0 ) ) , u T < u < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. Transcendentální rovnice pro R ∞ {\displaystyle R_{\infty }}

výše uvedeného vyplývá, že u T = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = S ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}

, pokud S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle Y(0)\neq 0)}

a já ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0}

.

ekvivalentní tzv. analytické řešení (zahrnující integrální, která může být vypočtena numericky) našel Miller výnosy

Y ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ρ ξ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t I ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=Y(0)e^{-\xi (t)}\\I(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}}

Tady ξ ( t ) {\displaystyle \xi (t)}

lze interpretovat jako očekávaný počet přenosů individuální obdržel podle času t {\displaystyle t}

. Obě řešení jsou ve spojení prostřednictvím e − ξ ( t ) = u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}

.

prakticky stejný výsledek lze nalézt v původním díle Kermacka a Mckendricka.

Tato řešení mohou být snadno srozumitelné zmínku, že všechny výrazy na pravé straně původní diferenciální rovnice jsou úměrné jsem {\displaystyle I}

. Rovnice tedy může být rozděleno přes tím, že jsem, {\displaystyle I}

, a čas změněna tak, aby diferenciální operátor na levé straně se stává prostě d / d τ {\displaystyle d/d\tau }

, kde d τ = I d t {\displaystyle d\tau =Idt}

, tj. τ = ∫ I d t {\displaystyle \tau =\int Idt}

. Diferenciální rovnice jsou lineární, a třetí rovnice, formuláře d R / d τ = {\displaystyle dR/d\tau =}

const. ukazuje , že τ {\displaystyle \tau }

a R {\displaystyle R}

(a ξ {\displaystyle \xi }

výše) jsou jednoduše lineárně související.

vysoce přesné analytické aproximanta SIR modelu byla poskytována Kröger a Schlickeiser, takže není třeba provádět numerické integrace, jak vyřešit PANE model, získat jeho parametry z existujících dat, nebo předpovídat budoucí dynamiku jako epidemie modelovány model SIR. Aproximant zahrnuje funkci Lambert W, která je součástí všech základních vizualizačních dat software, jako je Microsoft Excel, MATLAB a Mathematica.

PANE model životní dynamiky a neustálé populationEdit

Zvážit populace vyznačuje úmrtnost μ {\displaystyle \mu }

a porodnost Λ {\displaystyle \Lambda }

, a kde přenosných nemocí se šíří. Model s hromadným přenosem je: d S d t = Λ − μ S − β I S N d I d t = β I S N − γ I − μ I d R d t = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta}{N}}-\gamma I-\mu I\\{\frac {doktor}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}

pro což je rovnováha bez onemocnění (DFE):

(S (t), I ( t ) , R ( t)) = (Λ μ , 0 , 0 ) . {\displaystyle \left(Y(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).}

V tomto případě, můžeme odvodit základní reprodukční číslo:

R 0 = β μ + γ , {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}

která má prahovou hodnotu vlastnosti. Ve skutečnosti, nezávisle na biologicky smysluplných počátečních hodnotách, lze ukázat, že:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( Y ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = DFE k = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(Y(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}

R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → ∞ ( Y ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = EE = ( γ + μ β μ β ( R 0 − 1 ) , γ β ( R 0 − 1 ) ) . {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(Y(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}

bod EE se nazývá endemická rovnováha (nemoc není zcela eradikována a zůstává v populaci). S heuristickou argumenty, jeden může ukázat, že R 0 {\displaystyle R_{0}}

může být chápán jako průměrný počet infekcí způsobených jediné infekční podléhá zcela vnímavé populace, výše uvedený vztah biologicky znamená, že pokud toto číslo je menší než nebo rovno jedné nemoci, vyhyne, vzhledem k tomu, že pokud toto číslo je větší než jedna nemoc zůstane trvale endemický v populaci.

The SIR modelEdit

V roce 1927, W. O. Kermack a a. G. Mckendricka vytvořil model, ve kterém jsou považovány za fixní počet obyvatel pouze se třemi přihrádkami: citlivý, S ( t ) {\displaystyle Y(t)}

; nakazil, I ( t ) {\displaystyle I(t)}

; a zpět, R ( t ) {\displaystyle R(t)}

. Prostory používané pro tento model se skládá ze tří tříd:

• S ( t ) {\displaystyle Y(t)}
  

  se používá k reprezentaci jedinců není ještě nakažený s nemocí v čase t, nebo ty, náchylné k onemocnění populace.

• I ( t ) {\displaystyle I(t)}
  

  označuje jednotlivce z obyvatelstva, kteří byli nakaženi s nemocí a jsou schopny šíření nemoci na ty, kteří v citlivé kategorii.

• R ( t ) {\displaystyle R(t)}
  

  je prostor používán pro jednotlivce z obyvatelstva, kteří byli nakaženi a pak se odstraní z nemoci, a to buď v důsledku očkování, nebo v důsledku smrti. Ti v této kategorii nemohou být znovu infikováni nebo přenášet infekci na ostatní.

tok tohoto modelu lze považovat za následující:

S → I → R {\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}

Použití pevné populace, N = S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) {\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}

tři funkce řeší, že hodnota N {\displaystyle N}

by měl zůstat konstantní v rámci simulace, pokud simulace se používá k vyřešení model SIR. Alternativně lze analytický aproximant použít bez provedení simulace. Model je začal s hodnotami S ( t = 0 ) {\displaystyle Y(t=0)}

, I ( t = 0 ) {\displaystyle I(t=0)}

a R ( t = 0 ) {\displaystyle R(t=0)}

. Jedná se o počet lidí v vnímavých, nakažených a odebraných kategoriích v čase se rovná nule. Pokud se předpokládá, že model SIR bude vždy držet, nejsou tyto počáteční podmínky nezávislé. Následně, průtok aktualizace modelu tří proměnných pro každý časový bod s nastavením hodnot pro β {\displaystyle \beta }

a γ {\displaystyle \gamma }

. Simulace nejprve aktualizuje infikované z vnímavé a poté odstraněná kategorie je aktualizována z infikované kategorie pro další časový bod (t=1). To popisuje tok osob mezi třemi kategoriemi. Během epidemie náchylné kategorie není posunut s tímto modelem, β {\displaystyle \beta }

změny v průběhu epidemie, a tak se γ {\displaystyle \gamma }

. Tyto proměnné určují délku epidemie a musely by být aktualizovány s každým cyklem. d S d t = − β S I N {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta SI}{N}}}

d I d t = β Y I N − γ jsem {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I}

d R d t = γ jsem {\displaystyle {\frac {doktor}{dt}}=\gamma I}

Několik předpokladů byly provedeny ve formulaci těchto rovnic: Za prvé, jedinec v populaci musí být považovány za stejnou pravděpodobnost jako každý jiný individuální smluvní onemocnění s rychlostí a {\displaystyle a}

a stejný zlomek b {\displaystyle b}

lidí, že jedinec je v kontaktu s za jednotku času. Pak, nechť β {\displaystyle \beta }

násobení {\displaystyle a}

a b {\displaystyle b}

. Toto je pravděpodobnost přenosu krát kontaktní rychlost. Kromě toho, infikovaný jedinec je v kontaktu s b {\displaystyle b}

osoby za jednotku času vzhledem k tomu, že jen zlomek, S N {\displaystyle {\frac {S}{N}}}

z nich jsou náchylné.Tak, máme každý infekční může infikovat b S = β Y {\displaystyle abS=\beta}

vnímavých osob, a proto se celá řada susceptibles nakažený infekcím za jednotku času je β Y I {\displaystyle \beta SI}

. Pro druhé a třetí rovnice, zvažte populace opouští náchylné třídy jako rovná počtu zadání infikovaných třídy. Nicméně, řada rovna γ {\displaystyle \gamma }

(což představuje střední recovery/úmrtnost, nebo 1 / γ pro {\displaystyle 1/\gamma }

průměr infekčního období) z infekcím jsou opuštění této třídy za jednotku času vstoupit odstraněny třídy. Tyto procesy, které se vyskytují současně jsou označovány jako Zákon Masové Akce, široce přijímanou představu, že míra kontaktu mezi dvěma skupinami v populaci je přímo úměrná velikosti jednotlivých dotčených skupin. Nakonec se předpokládá, že míra infekce a zotavení je mnohem rychlejší než časová stupnice narození a úmrtí, a proto jsou tyto faktory v tomto modelu ignorovány.

Ustáleném stavu solutionsEdit

předpokládaná doba citlivosti bude E ⁡ {\displaystyle \operatorname {E} }

, kde T L {\displaystyle T_{L}}

odráží dobu naživu (naději dožití), a T Y {\displaystyle T_{Y}}

vyjadřuje čas u vnímavých stavu před nákazou, které mohou být zjednodušeny: E ⁡ = ∫ 0 ∞ e − ( μ + δ ) x d x = 1 μ + δ , {\displaystyle \operatorname {E} =\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}

taková, že počet vnímavých osob, je číslo vstupu do citlivých prostor μ N {\displaystyle \mu N}

krát délka citlivosti: S = μ. N μ + λ . {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}

Analogicky platí, že v ustáleném stavu počet infikovaných osob je číslo zadání infikovaných státu z vnímavých státu (počet vnímavých, krát sazba infekce λ = β N , {\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}

krát trvání infekčnosti 1 μ + v {\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}

: I = μ. N μ + λ λ 1 μ + v . {\displaystyle I={\frac {\mu N} {\mu + \ lambda }}\lambda {\frac {1} {\mu + v}}.}

Ostatní dělené modelsEdit

Existuje mnoho modifikací modelu SIR, včetně těch, které patří narození a úmrtí, kde po zotavení není imunita (SIS model), kde imunita trvá jen po krátkou dobu (SIRS), kde je latentní období nemoci, kdy osoba není infekční (SEIS a SEIR), a kde se děti mohou narodit s imunitou (multispektrálního a infračerveného snímkování).