Projekt Nayuki
Definice: Fibonacciho posloupnost je definována jako \(F(0) = 0\), \(F(1) = 1\) a \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\) pro \(n ≥ 2\). Takže posloupnost (začínající na \(F (0)\)) je 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….
chceme-Li vypočítat jeden termín v posloupnosti (např. \(F(n)\)), existuje několik algoritmů, aby tak učinily. Některé algoritmy jsou mnohem rychlejší než jiné.
algoritmy
učebnice rekurzivní (extrémně pomalé)
naivně můžeme přímo provést opakování, jak je uvedeno v matematické definici Fibonacciho sekvence. Bohužel je to beznadějně pomalé: používá \(Θ (n)\) zásobník prostoru a \(Θ (φ^n)\) aritmetické operace, kde \(φ = \frac {\sqrt{5} + 1}{2}\) (zlatý poměr). Jinými slovy, počet operací pro výpočet \(F (n)\) je úměrný konečné číselné odpovědi, která exponenciálně roste.
Dynamické programování (pomalý)
mělo by být jasné, že pokud jsme již vypočtené \(F(k-2)\) a \(F(k-1)\), pak můžeme přidat do dostat \(F(k)\). Dále přidáme \(F (K-1)\) a \(F (k)\), abychom získali \(F (K+1)\). Opakujeme, dokud nedosáhneme \(k = n\). Většina lidí si tento algoritmus všimne automaticky, zejména při ručním výpočtu Fibonacciho. Tento algoritmus bere \(Θ(1)\) prostor a \(Θ (n)\) operace.
Maticové umocňování (rychle)
algoritmus je založen na nevinně vypadající identity (což lze dokázat pomocí matematické indukce):
\( \left^n = \left \).
je důležité použít umocňování pomocí tohoto algoritmu, protože jinak degeneruje do dynamického programovacího algoritmu. Tento algoritmus bere \(Θ(1)\) prostor a \(Θ (\log n)\) operace. (Poznámka: Počítáme počet bigint aritmetických operací, ne operace s pevnou šířkou slova.)
Rychlé zdvojnásobení (rychlejší)
Vzhledem k \(F(k)\) a \(F(k+1)\), můžeme vypočítat tyto:
\(\begin{align}F(2k) &= F(k) \left. \\F (2k+1) & = F (K+1)^2 + F (K)^2.\end{align}\)
tyto identity lze extrahovat z algoritmu exponentiace matice. V jistém smyslu je tento algoritmus algoritmem exponentiace matice s odstraněnými redundantními výpočty. Mělo by to být konstantní faktor rychlejší než umocnění matice, ale asymptotická časová složitost je stále stejná.
Shrnutí: dva rychlé Fibonacciho algoritmy jsou maticové umocňování a rychle zdvojnásobil, z nichž každý má asymptotické složitosti \(Θ(\log n)\) bigint aritmetické operace. Oba algoritmy používají násobení, takže se stávají ještě rychlejšími, když se používá násobení Karatsuba. Další dva algoritmy jsou pomalé; používají pouze sčítání a žádné násobení.
zdrojový kód
implementace jsou k dispozici ve více jazycích:
-
Java: FastFibonacci.java (všechny 3 algoritmy, načasování referenční, runnable hlavní program)
-
Python: fastfibonacci.py (rychle zdvojnásobí funkce)
-
Haskell: fastfibonacci.hs (pouze funkce rychlého zdvojnásobení)
-
C#: FastFibonacci.cs (pouze rychlé zdvojnásobení, spustitelný hlavní program)
(vyžaduje. NET Framework 4.0 nebo vyšší; compile withcsc /r:System.Numerics.dll fastfibonacci.cs)
Benchmarks
Graphs
All algorithms, naive multiplication
All algorithms, Karatsuba multiplication
Fast algorithms, both multiplication algorithms
(Note: The graphs have logarithmic scales on the x and y axes.)
Table
| n | Fast doubling, Karatsuba multiplication | Fast matrix, Karatsuba multiplication | Fast doubling, naive multiplication | Fast matrix, naive multiplication | Slow dynamic programming | Slow recursive |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 414 | 1 042 | 4 197 | 887 | 10 | 4 |
| 2 | 5 638 | 2 092 | 4 442 | 1 822 | 53 | 22 |
| 3 | 5 708 | 2 740 | 4 509 | 2 342 | 92 | 56 |
| 4 | 5 945 | 3 027 | 4 733 | 2 660 | 133 | 114 |
| 5 | 5 989 | 3 677 | 4 787 | 3 147 | 172 | 219 |
| 6 | 5 972 | 3 956 | 4 765 | 3 371 | 211 | 400 |
| 8 | 6 191 | 3 972 | 4 969 | 3 428 | 289 | 1 161 |
| 10 | 6 283 | 4 952 | 5 022 | 4 154 | 370 | 3 113 |
| 13 | 6 307 | 5 610 | 5 046 | 4 667 | 488 | 13 480 |
| 16 | 6 479 | 4 955 | 5 177 | 4 210 | 605 | 57 300 |
| 20 | 6 542 | 5 923 | 5 234 | 4 985 | 763 | 394 000 |
| 25 | 6 632 | 6 565 | 5 263 | 5 479 | 964 | 4 373 000 |
| 32 | 6 794 | 5 887 | 5 388 | 4 908 | 1 235 | 127 500 000 |
| 40 | 6 818 | 6 880 | 5 433 | 5 715 | 1 552 | 5 980 000 000 |
| 50 | 6 806 | 7 742 | 5 486 | 6 446 | 2 023 | |
| 63 | 6 931 | 10 180 | 5 589 | 8 339 | 2 598 | |
| 79 | 7 162 | 11 090 | 5 753 | 9 187 | 3 396 | |
| 100 | 7 279 | 9 225 | 5 904 | 7 717 | 4 472 | |
| 126 | 7 427 | 12 410 | 6 059 | 10 220 | 5 866 | |
| 158 | 7 600 | 13 090 | 6 141 | 10 900 | 7 888 | |
| 200 | 8 006 | 11 700 | 6 556 | 9 969 | 10 640 | |
| 251 | 8 146 | 15 660 | 6 672 | 13 060 | 14 280 | |
| 316 | 8 597 | 18 810 | 7 089 | 16 530 | 19 610 | |
| 398 | 9 501 | 20 550 | 8 078 | 18 120 | 27 650 | |
| 501 | 9 964 | 24 050 | 8 492 | 21 340 | 38 970 | |
| 631 | 11 070 | 38 790 | 9 510 | 35 720 | 55 540 | |
| 794 | 13 020 | 41 810 | 11 520 | 39 380 | 80 280 | |
| 1 000 | 14 660 | 50 870 | 13 130 | 48 230 | 118 000 | |
| 1 259 | 18 640 | 99 020 | 16 990 | 95 640 | 175 300 | |
| 1 585 | 25 300 | 113 500 | 23 660 | 110 800 | 263 000 | |
| 1 995 | 32 360 | 148 100 | 30 770 | 144 700 | 397 500 | |
| 2 512 | 45 540 | 314 800 | 43 980 | 311 400 | 608 800 | |
| 3 162 | 67 800 | 372 200 | 66 250 | 369 000 | 937 200 | |
| 3 981 | 98 560 | 491 500 | 96 780 | 488 100 | 1 457 000 | |
| 5 012 | 143 500 | 1 050 000 | 145 900 | 1 132 000 | 2 269 000 | |
| 6 310 | 214 100 | 1 284 000 | 227 700 | 1 357 000 | 3 546 000 | |
| 7 943 | 320 300 | 1 662 000 | 351 300 | 1 821 000 | 5 547 000 | |
| 10 000 | 466 400 | 3 519 000 | 538 400 | 4 382 000 | 8 700 000 | |
| 12 589 | 691 100 | 4 303 000 | 851 700 | 5 254 000 | 13 640 000 | |
| 15 849 | 1 007 000 | 5 481 000 | 1 310 000 | 7 079 000 | 21 440 000 | |
| 19 953 | 1 493 000 | 11 800 000 | 2 081 000 | 17 260 000 | 33 620 000 | |
| 25 119 | 2 185 000 | 13 620 000 | 3 296 000 | 20 710 000 | 53 030 000 | |
| 31 623 | 3 205 000 | 17 570 000 | 5 159 000 | 27 860 000 | 83 310 000 | |
| 39 811 | 4 637 000 | 36 800 000 | 8 109 000 | 68 540 000 | 131 500 000 | |
| 50 119 | 6 750 000 | 42 430 000 | 12 910 000 | 82 230 000 | 207 700 000 | |
| 63 096 | 9 913 000 | 54 770 000 | 20 410 000 | 110 600 000 | 326 900 000 | |
| 79 433 | 14 450 000 | 113 300 000 | 32 300 000 | 275 100 000 | 517 100 000 | |
| 100 000 | 20 800 000 | 130 600 000 | 51 640 000 | 330 700 000 | 819 700 000 | |
| 125 893 | 30 380 000 | 168 900 000 | 81 150 000 | 445 200 000 | 1 296 000 000 | |
| 158 489 | 44 090 000 | 346 800 000 | 129 200 000 | 1 103 000 000 | 2 058 000 000 | |
| 199 526 | 63 260 000 | 405 400 000 | 205 100 000 | 1 325 000 000 | 3 249 000 000 | |
| 251 189 | 92 330 000 | 517 300 000 | 325 100 000 | 1 766 000 000 | 5 153 000 000 | |
| 316 228 | 133 700 000 | 1 055 000 000 | 515 700 000 | 4 413 000 000 | 8 161 000 000 | |
| 398 107 | 191 900 000 | 1 228 000 000 | 815 500 000 | 5 311 000 000 | 12 930 000 000 | |
| 501 187 | 280 200 000 | 1 572 000 000 | 1 297 000 000 | 7 059 000 000 | 20 520 000 000 | |
| 630 957 | 404 900 000 | 3 181 000 000 | 2 061 000 000 | 17 570 000 000 | 32 570 000 000 | |
| 794 328 | 580 700 000 | 3 691 000 000 | 3 265 000 000 | 21 090 000 000 | 51 650 000 000 | |
| 1 000 000 | 846 100 000 | 4 724 000 000 | 5 182 000 000 | 28 310 000 000 | 82 000 000 000 | |
| 1 258 925 | 1 221 000 000 | 9 570 000 000 | 8 168 000 000 | 70 280 000 000 | 130 300 000 000 | |
| 1 584 893 | 1 750 000 000 | 11 050 000 000 | 12 970 000 000 | 84 120 000 000 | 207 300 000 000 | |
| 1 995 262 | 2 549 000 000 | 14 230 000 000 | 20 610 000 000 | 112 700 000 000 | 329 700 000 000 | |
| 2 511 886 | 3 676 000 000 | 28 800 000 000 | 32 610 000 000 | 279 900 000 000 | 525 100 000 000 | |
| 3 162 278 | 5 247 000 000 | 32 980 000 000 | 51 600 000 000 | 335 600 000 000 | ||
| 3 981 072 | 7 654 000 000 |
Všechny časy jsou uvedeny v nanosekundách (ns), s ohledem na 4 platné číslice. Všechny výše uvedené testy byly provedeny na Intel Core 2 Quad Q6600 (2.40 GHz)pomocí jediného vlákna, Windows XP SP 3, Java 1.6.0_22.
důkazy
exponentiace matice
použijeme slabou indukci k prokázání této identity.
základní případ
pro \(n = 1\), jasně \ (\left^1 = \left \).
indukční krok
Předpokládejme pro \(n ≥ 1\), že \ (\left^n = \left \). Pak:
\(\left^{n+1} \ \ = \ left^n \ left \ \ = \ left \ left \ \ = \ left \ \ = \ left \ \ = \ left.\)
rychlé zdvojnásobení
předpokládáme, že metoda umocňování matice je správná pro všechny \(n ≥ 1\).
\(\left \ \ = \ left^{2n} \ \ = \ left (\left^n \ right)^2 \ \ = \ left^2 \ \ = \ left.\)
Proto, ztotožněním buněk v matrixu:
\(\begin{align}F(2n+1) &= F(n+1)^2 + F(n)^2. \\F(2n) &= F(n) \left \\&= F(n) \left \\&= F(n) \left. \\F(2n-1) &= F(n)^2 + F(n-1)^2.\end{align}\)