i dette afsnit udvikler vi en alternativ tilgang til beregning \(V({\bf r})\), der imødekommer disse randbetingelser og derved letter analysen af det skalære potentielle felt i nærheden af strukturer og rumligt varierende materialeegenskaber. Denne alternative tilgang er baseret på Poissons ligning, som vi nu udleder.

Vi begynder med den differentielle form af Gauss ‘ lov (afsnit 5.7):

\

\

dernæst anvender vi forholdet (afsnit 5.14):

\ udbytte \

Dette er Poissons ligning, men det er ikke i den form, hvori det almindeligvis anvendes. For at opnå den alternative form skal du overveje operatøren \(\nabla \ cdot \ nabla\) i kartesiske koordinater:

\

Bemærk, at Poissons ligning er en delvis differentialligning og derfor kan løses ved hjælp af velkendte teknikker, der allerede er etableret for sådanne ligninger. Faktisk er Poissons ligning en inhomogen differentialligning, hvor den inhomogene del \(-\rho_v/\epsilon\) repræsenterer feltets kilde. I nærvær af materialestruktur identificerer vi de relevante randbetingelser ved grænsefladerne mellem materialer, og opgaven med at finde \(V({\bf r})\) reduceres til den rent matematiske opgave at løse det tilknyttede grænseværdiproblem (se “yderligere læsning” i slutningen af dette afsnit). Denne fremgangsmåde er særlig effektiv, når et af materialerne er en perfekt leder eller kan modelleres som et sådant materiale. Dette skyldes – som bemærket i begyndelsen af dette afsnit – det elektriske potentiale på alle punkter på overfladen af en perfekt leder skal være ens, hvilket resulterer i en særlig enkel grænsetilstand.

i mange andre applikationer ligger ladningen, der er ansvarlig for det elektriske felt, uden for problemets domæne; dvs.vi har ikke-nul elektrisk felt (dermed potentielt ikke-nul elektrisk potentiale) i en region, der er gratis. I dette tilfælde forenkler Poissons ligning til Laplace ‘ s ligning:

\