Vi har set, at et mekanisk system underlagt konservative kræfter er i ligevægt, når derivaterne af den potentielle energi med hensyn til koordinaterne er nul. En metode til løsning af sådanne problemer er derfor at nedskrive et udtryk for den potentielle energi og sætte derivaterne lig med nul.

en meget lignende metode er at bruge princippet om virtuelt arbejde. I denne metode forestiller vi os, at vi handler på systemet på en sådan måde, at vi øger en af koordinaterne. Vi forestiller os for eksempel, hvad der ville ske, hvis vi skulle strække en af fjedrene eller øge vinklen mellem to sammenføjede stænger eller den vinkel, som stigen laver, når den læner sig mod væggen. Vi spørger os selv, hvor meget arbejde vi skal gøre på systemet for at øge denne koordinat med en lille mængde. Hvis systemet starter fra ligevægt, vil dette arbejde være meget lille, og i grænsen for en uendelig lille forskydning vil dette “virtuelle arbejde” være nul. Denne metode er meget lidt forskellig fra at indstille derivatet af den potentielle energi til nul. Jeg nævner det her, imidlertid, fordi konceptet kan være nyttigt i kapitel 13 i beskrivelsen af Hamiltons variationsprincip.

lad os starte med at lave et simpelt stigeproblem ved hjælp af metoden til virtuelt arbejde. Den sædvanlige ensartede stige i gymnasiefysik, af længde \ (2L\) og vægt \( mg\), læner sig i begrænsende statisk ligevægt mod den sædvanlige glatte lodrette væg og det ru vandrette gulv, hvis koefficient for begrænsende statisk friktion er \( \mu\). Hvad er vinklen \(\theta \), som stigen laver med den lodrette væg?

der er flere måder at gøre dette på, som vil være kendt for mange læsere. Den eneste lille påmindelse, som jeg vil give, er at påpege, at hvis du ønsker at kombinere de to kræfter ved foden af stigen til en enkelt kraft, der virker opad og noget til venstre, så der kun er tre kræfter, der virker på stigen, skal de tre kræfter handle gennem et enkelt punkt, som vil være over midten af stigen og til højre for kontaktpunktet med væggen. Men vi er nu interesserede i at løse dette problem ved princippet om virtuelt arbejde.

før jeg starter, skal jeg advare om, at det er vigtigt at bruge princippet om virtuelt arbejde for at være omhyggeligt forsigtig med tegn, og i den henseende minder jeg læserne om, at symbolerne \( \delta\) og \( d\) foran en skalar mængde \( h\) betyder ikke “en lille ændring i” eller “en uendelig lille ændring” i \( h\). Et sådant sprog er vagt. Symbolerne står for “en lille stigning i”og” en uendelig lille stigning i”.

lad os notere følgende afstande:

\

og

\

\

og

\

yderligere, hvis skulle øge \( \theta\) med \( \delta\theta\), ville arbejdet udført af kraften ved C være \( mg\) gange faldet i afstanden CD, og arbejdet udført af friktionskraften ved E ville være minus \( \mu mg\) gange forøgelse af afstanden være. De to andre kræfter gør intet Arbejde. Således er det” virtuelle arbejde ” udført af de eksterne kræfter på stigen

\

Når vi sætter udtrykket for det virtuelle arbejde til nul, får vi

\

Du skal kontrollere, at dette er det samme svar, som du får fra andre metoder – det nemmeste er sandsynligvis at tage øjeblikke om E.

der er noget ved virtuelt arbejde, der minder mig om termodynamik. Den første lov om termodynamik er for eksempel \( \Delta U=\Delta k+\Delta V\), hvor \( \Delta U\) er stigningen i systemets indre energi, \( \Delta K\) er varmen tilføjet til systemet, og \( \Delta V\) er arbejdet udført på systemet. Præpositioner spiller en vigtig rolle i termodynamikken. Det er altid obligatorisk at angive klart og uden tvetydighed, om arbejdet udføres af stemplet på gassen eller af gassen på systemet; eller om varme opnås af systemet eller går tabt af det. Uden disse præpositioner er al diskussion meningsløs. Ligeledes ved løsning af et problem ved princippet om virtuelt arbejde er det altid vigtigt at sige, om du beskriver det arbejde, der udføres af en kraft på hvilken del af systemet (på stigen eller på gulvet?) og om du beskriver en stigning eller et fald af en vis længde eller vinkel.

lad os nu gå videre til et lidt vanskeligere problem, som vi vil prøve med tre forskellige metoder – inklusive virtuelt arbejde. 5 er en ensartet stang AB af vægt \( Mg\) og længde \( 2a\) frit hængslet ved A. enden B bærer en glat ring med ubetydelig masse. En let uudvidelig streng af længde \ (l\) har den ene ende fastgjort til et fast punkt C på samme niveau som A og fjernt \( 2a\) fra den. Den passerer gennem ringen og bærer i sin anden ende en vægt \( \frac{1}{10}Mg\) hængende frit. (Den” glatte ” ring betyder, at spændingen i strengen er den samme på begge sider af ringen.) Find vinkelkabinen, når systemet er i ligevægt.

Jeg har markeret i forskellige vinkler og længder, som let kan bestemmes ud fra systemets geometri, og jeg har også markeret de fire kræfter på stangen.

lad os først prøve en meget konventionel metode. Vi ved ret lidt om hængslets kraft R på stangen (dog se nedenfor), og derfor er det en god grund til at tage øjeblikke om punktet A. Vi får straks

\

lad os nu prøve det samme problem ved hjælp af energiforhold. Vi tager nul af potentiel energi, når stangen er vandret – på hvilket tidspunkt den lille masse er i en afstand l under niveauet AC.

\=- \ frac{2}{3}Mga(3\sin\theta-\sin\frac{1}{2}\theta)\]

derivatet er

\

lad os nu prøve det ved virtuelt arbejde. Vi vil øge \ (\theta\) med \( \delta\theta\) og se, hvor meget arbejde der udføres.

således er det virtuelle arbejde

\

hvis vi sætter dette lig med nul, opnår vi det samme resultat som før.