den begrænsende afstand, som en satellit kan nærme sig uden at bryde op, afhænger af satellitens stivhed. På en ekstrem måde vil en helt stiv satellit opretholde sin form, indtil tidevandsstyrker bryder den fra hinanden. På den anden ekstreme deformeres en meget flydende satellit gradvist, hvilket fører til øgede tidevandsstyrker, hvilket får satellitten til at forlænges, hvilket yderligere sammensætter tidevandsstyrkerne og får den til at bryde lettere fra hinanden.

de fleste virkelige satellitter ville ligge et sted mellem disse to ekstremer, med trækstyrke, der gør satellitten hverken perfekt stiv eller perfekt flydende. For eksempel vil en asteroide med murbrokker opføre sig mere som en væske end en solid stenet; en iskold krop opfører sig ret stift i starten, men bliver mere flydende, når tidevandsopvarmning akkumuleres, og dens is begynder at smelte.

men bemærk, at Roche-grænsen som defineret ovenfor henviser til et legeme, der udelukkende holdes sammen af gravitationskræfterne, som får ellers ikke-forbundne partikler til at samle sig og således danne det pågældende legeme. Roche-grænsen beregnes normalt også for tilfælde af en cirkulær bane, selvom det er ligetil at ændre beregningen, der gælder for tilfældet (for eksempel) af et legeme, der passerer det primære på en parabolsk eller hyperbolsk bane.

beregning af stiv satellitredit

Roche-grænsen for stiv krop er en forenklet beregning for en sfærisk satellit. Uregelmæssige former, såsom tidevandsdeformation på kroppen eller den primære bane, forsømmes. Det antages at være i hydrostatisk ligevægt. Disse antagelser, selvom de er urealistiske, forenkler beregningerne i høj grad.

Roche-grænsen for en stiv sfærisk satellit er afstanden, d {\displaystyle d}

, fra den primære, hvor tyngdekraften på en testmasse ved objektets overflade er nøjagtigt lig med tidevandskraften, der trækker massen væk fra objektet: d = R M ( 2 ret M ret m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\venstre(2{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\højre)^{\frac {1}{3}}}

hvor R m {\displaystyle R_{M}}

er radius for den primære, er den primære, den primære, den primære, den primære, den primære, den primære, den primære, den primære, den primære, den primære, den massefylde af den primære, og prisT m {\displaystyle \Rho _{m}}

er densiteten af satellitten. Dette kan skrives ækvivalent som d = R m ( 2 M M M M ) 1 3 {\displaystyle d=r_{m}\venstre(2{\frac {M_{m}}{m_{m}}\højre)^{\frac {1} {3}}}

hvor R m {\displaystyle R_{m}}

er sekundærens radius, M m {\displaystyle M_{M}}

er massen af den primære, og m m {\displaystyle m_{m}}

er massen af den sekundære.

dette afhænger ikke af objekternes størrelse, men af forholdet mellem tætheder. Regolith) på overfladen af satellitten tættest på den primære ville blive trukket væk, og ligeledes vil materiale på siden modsat den primære også gå væk fra snarere end mod satellitten.

Bemærk, at dette er et omtrentligt resultat, da inerti kraft og stiv struktur ignoreres i dens afledning.

orbitalperioden afhænger derefter kun af den sekundære tæthed:

P = 2 π ( d 3 G-M, M ) 1 / 2 = 2 π ( d 3 ( 4 / 3 ) π G R M 3 ρ M ) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}

hvor G er tyngdekraften konstant. For eksempel en tæthed på 3.346 g / cc (tætheden af vores måne) svarer til en omløbstid på 2.552 timer.

afledning af formlenrediger

for at bestemme Roche-grænsen skal du overveje en lille masse u {\\displaystyle u}

på overfladen af satellitten tættest på den primære. Der er to kræfter på denne masse u {\displaystyle u}

: tyngdekraften trækker mod satellitten og tyngdekraften trækker mod den primære. Antag, at satellitten er i frit fald omkring det primære, og at tidevandsstyrken er det eneste relevante udtryk for den primære gravitationsattraktion. Denne antagelse er en forenkling, da frit fald kun virkelig gælder for planetcentret, men vil være tilstrækkeligt til denne afledning.

gravitationstræk F g {\displaystyle F_{\tekst{G}}}

på massen u {\displaystyle u}

mod satellitten med masse m {\displaystyle M}

og radius r {\displaystyle r}

kan udtrykkes i henhold til gravitationens lov. F G = G M u r 2 {\displaystyle F_{\tekst{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}

tidevandskraften F t {\displaystyle F_{\tekst{T}}}

på massen u {\displaystyle u}

mod den primære med radius r {\displaystyle r}

og masse m {\displaystyle M}

, i en afstand d {\displaystyle d}

mellem centrene i de to organer, kan udtrykkes omtrent som F t = 2 G M u R D 3 {\displaystyle F_ {\tekst{T}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}}

.

for at opnå denne tilnærmelse skal du finde forskellen i primærens gravitationstræk i midten af satellitten og på kanten af satellitten tættest på den primære:

F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

i tilnærmelsen hvor r-r {\displaystyle r\ll R}

og R < d {\displaystyle r<d}

, det kan siges, at R 2 {\displaystyle r^{2}}

i tælleren og hvert udtryk med r {\displaystyle r}

i nævneren går til nul, hvilket giver os: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

eller

G M u r 2 = 2 G M U R D 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}}

,

som giver Roche-grænsen, d {\displaystyle d}

, som D = R ( 2 m m ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {m}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}

satellitens radius skal ikke vises i udtrykket for grænsen, så det omskrives med hensyn til tætheder.

for en kugle massen M {\displaystyle M}

kan skrives som M = 4 liter M R 3 3 {\displaystyle M = {\frac {4\pi \Rho _ {M} R^{3}}{3}}}

hvor R {\displaystyle R}

er radius for den primære.

og ligeledes

m = 4 ret M r 3 3 {\displaystyle M = {\frac {4\pi \Rho _ {M} r^{3}}{3}}}

hvor r {\displaystyle r}

er satellitens radius.

for at Erstatte masserne i ligningen for Roche-grænse, og at annullere 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}

giver d = r ( 2 ρ M R 3 ρ m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}

,

, som kan forenkles til følgende Roche-grænse:

d = R ( 2 ρ M ρ i, m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( ret M ret m ) 1 3 {\displaystyle d=R\venstre(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\højre)^{\frac {1}{3}}\ca 1.26 R\venstre({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\højre)^{\frac {1}{3}}}

.

en mere præcis formulaEdit

da en tæt satellit sandsynligvis kredser i en næsten cirkulær bane med synkron rotation, skal du overveje, hvordan centrifugalkraften fra rotation vil påvirke resultaterne. Denne kraft er

F C = liter 2 u R = G M U R D 3 {\displaystyle F_{C}= \ omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}}

og det bliver tilføjet til FT. Udførelse af kraftbalanceberegningen giver dette resultat for Roche-grænsen:

d = R M ( 3 LR m LRM ) 1 3 LR 1.442 LRM ( LRR m LRM ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}} {\rho _{m}}}\højre)^{\frac{1} {3}}\ca.1. 442r_ {M}\lrg ({\frac{\Rho _{m}} {\Rho _ {m}}}\højre)^{\frac{1} {3}}}

………. (1)

eller: d = R m ( 3 M M M m ) 1 3 ret 1.442 R m ( M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=r_{m}\venstre(3\;{\frac {M_{m}}{m_{m}}\højre)^{\frac {1} {3}}\ca.1. 442r_{m}\venstre({\frac {M_{M}} {m_{m}}}\højre)^{\frac {1}{3}}}

………. (2)

brug m = 4 liter M r 3 3 {\displaystyle M = {\frac {4\pi \Rho _ {M} r^{3}}{3}}}

(hvor r {\displaystyle r}

er satellitens radius) for at erstatte Larra m {\displaystyle \rho _{m}}

i Formel(1) kan vi have en tredje formel:
d = ( 9 m m 4 list m ) 1 3 list 0.8947 ( m m list m ) 1 3 {\displaystyle d=\left({\frac {9m_{m}}{4\pi \Rho _{m}}}\højre)^{\frac {1}{3}}\ca 0.8947\left ({\frac {M_{m}} {\rho _{m}}} \ right)^{\frac {1}{3}}}

………. (3)

det er således tilstrækkeligt at observere stjernens masse (planet) og at estimere planetens tæthed (satellit) for at beregne Roche-grænsen for planeten (satellit) i stjernens (planetariske) system.

Roche limit, Hill sphere and radius of the planetEdit

overvej en planet med en massefylde på L {\displaystyle \Rho _{m}}

og en radius af r {\displaystyle r}

, der kredser om en stjerne med er den fysiske betydning af Roche limit, Roche lobe og Hill sphere.

Formel(2) kan beskrives som: R Roche = r Hill 3 m m 3 = r sekundær 3 M m 3 {\displaystyle R_{\tekst{Roche}}=r_{\tekst{Hill}}{\KVRT{\frac {3M}{M}}}=R_{\tekst{sekundær}}{\KVRT{\frac {3M}{m}}}

, en perfekt matematisk symmetri.
Dette er den astronomiske Betydning af Roche limit og Hill sphere.

Bemærk: Roche limit og Hill sphere er helt forskellige fra hinanden, men er begge værker af Roshdouard Roche.Bakkesfære i et astronomisk legeme er det område, hvor det dominerer satelliternes tiltrækning, mens Roche-grænsen er den mindste afstand, som en satellit kan nærme sig sin primære krop uden tidevandskraft, der overvinder den indre tyngdekraft, der holder satellitten sammen.

Bemærk : Roche limit og Hill sphere er helt forskellige fra hinanden, men er begge værker af Rotdouard Roche.Bakkesfære i et astronomisk legeme er det område, hvor det dominerer satelliternes tiltrækning, mens Roche-grænsen er den mindste afstand, som en satellit kan nærme sig sin primære krop uden tidevandskraft, der overvinder den indre tyngdekraft, der holder satellitten sammen.

Fluid satellitesEdit

en mere præcis tilgang til beregning af Roche-grænsen tager hensyn til deformationen af satellitten. Et ekstremt eksempel ville være en tidevandslåst flydende satellit, der kredser om en planet, hvor enhver kraft, der virker på satellitten, ville deformere den til en prolate sfæroid.

beregningen er kompleks, og dens resultat kan ikke repræsenteres i en nøjagtig algebraisk formel. Roche selv udledte følgende omtrentlige løsning for Roche-grænsen:

d list 2.44 R ( list M list m ) 1 / 3 {\displaystyle d\ca.2.44 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\højre)^{1/3}}

en bedre tilnærmelse, der tager højde for primærens oblateness og satellitens masse, er imidlertid:

d left 2.423 R ( Left m left m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 m ) + c 3 R ( 1 + m M ) 1 − c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\ca 2.423 r\venstre({\frac {\Rho _{m}}{\Rho _{m}}}\højre)^{1/3}\venstre({\frac {(1+{\frac {m}{3m}})+{\frac {C}{3R}}(1+{\frac {m}{m}})}{1-c/R}}\højre)^{1/3}}

hvor c / R {\displaystyle c/R}

er oblateness af den primære. Den numeriske faktor beregnes ved hjælp af en computer.

væskeopløsningen er passende til kroppe, der kun holdes løst sammen, såsom en komet. For eksempel komet Shoemaker–Levy 9 ‘ s forfaldne bane omkring Jupiter passerede inden for sin Roche-grænse i juli 1992, hvilket fik den til at fragmentere i et antal mindre stykker. Ved sin næste tilgang i 1994 styrtede fragmenterne ind i planeten. Shoemaker-Levy 9 blev først observeret i 1993, men dens bane indikerede, at den var blevet fanget af Jupiter et par årtier tidligere.

afledning af formlenrediger

da væskesatellitkassen er mere delikat end den stive, beskrives satellitten med nogle forenklende antagelser. Antag først, at objektet består af inkompressibel væske, der har konstant massefylde prish m {\displaystyle \rho _{m}}

og volumen V {\displaystyle V}

som ikke afhænger af eksterne eller interne kræfter. for det andet antager satellitten bevæger sig i en cirkulær bane, og den forbliver i synkron rotation. Dette betyder, at vinkelhastigheden, som den roterer rundt om sit massecenter, er den samme som den vinkelhastighed, hvormed den bevæger sig rundt om det samlede systembarycenter.

vinkelhastigheden lyri {\displaystyle \ omega }

er givet ved Keplers tredje lov: pristi 2 = G M + m D 3 . {\displaystyle \ omega ^{2}=G\, {\frac {M+m}{d^{3}}}.}

Når M er meget større end m, vil dette være tæt på

liter 2 = G M D 3 . {\displaystyle \ omega ^{2}=G\, {\frac {M}{d^{3}}}.}

den synkrone rotation indebærer, at væsken ikke bevæger sig, og problemet kan betragtes som en statisk. Derfor spiller viskositeten og friktionen af væsken i denne model ikke en rolle, da disse mængder kun vil spille en rolle for en flydende væske.

i betragtning af disse antagelser skal følgende kræfter tages i betragtning:

• tyngdekraften på grund af hovedlegemet;
• centrifugalkraften i det roterende referencesystem; og
• satellitens selvgravitationsfelt.

da alle disse kræfter er konservative, kan de udtrykkes ved hjælp af et potentiale. Desuden er overfladen af satellitten en ækvipotentiel. Ellers ville forskellene i potentialet give anledning til kræfter og bevægelse af nogle dele af væsken på overfladen, hvilket modsiger den statiske modelantagelse. I betragtning af afstanden fra hovedlegemet skal formen på overfladen, der opfylder den ækvipotentielle tilstand, bestemmes.

da bane er antaget cirkulær, annullerer den samlede tyngdekraft og kredsløbscentrifugalkraft, der virker på hovedlegemet. Det efterlader to kræfter: tidevandskraften og den roterende centrifugalkraft. Tidevandskraften afhænger af positionen i forhold til massecentret, der allerede er overvejet i den stive model. For små kroppe er afstanden af de flydende partikler fra midten af kroppen lille i forhold til afstanden d til hoveddelen. Tidevandskraften kan således lineariseres, hvilket resulterer i den samme formel for FT som angivet ovenfor.

mens denne kraft i den stive model kun afhænger af satellitens radius r, skal alle punkter på overfladen overvejes, og tidevandskraften afhænger af afstanden fra massens centrum til en given partikel projiceret på linjen, der forbinder satellitten og hoveddelen. Vi kalder RPD den radiale afstand. Da tidal force er lineær i Δd, de potentielle, er proportional med kvadratet af variable og for m ≪ M {\displaystyle m\ll M}

vi har V T = − 3 G M-2 d 3 Δ u 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

Ligeledes, centrifugal kraft, der er en potentiel

V C = − 1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M-2 d 3 Δ u 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

til rotationsvinkelhastighed prisT {\displaystyle \omega }

.

vi ønsker at bestemme formen på satellitten, for hvilken summen af selvgravitationspotentialet og VT + VC er konstant på overfladen af kroppen. Generelt er et sådant problem meget vanskeligt at løse, men i dette særlige tilfælde kan det løses ved et dygtigt gæt på grund af den firkantede afhængighed af tidevandspotentialet på den radiale afstand Pristd til en første tilnærmelse, vi kan ignorere centrifugalpotentialet VC og kun overveje tidevandspotentialet VT.

da den potentielle VT kun ændres i en retning, dvs.retningen mod hovedkroppen, kan satellitten forventes at tage en aksialt symmetrisk form. Mere præcist kan vi antage, at det tager form af et solidt revolution. Selvpotentialet på overfladen af et så solidt revolution kan kun afhænge af den radiale Afstand til massens centrum. Faktisk er skæringspunktet mellem satellitten og et plan vinkelret på linjen, der forbinder kroppene, en skive, hvis grænse ved vores antagelser er en cirkel med konstant potentiale. Skulle forskellen mellem selvgravitationspotentialet og VT være konstant, skal begge potentialer på samme måde afhænge af KRP. Med andre ord skal selvpotentialet være proportionalt med kvadratet på karrusel. Derefter kan det vises, at den ækvipotentielle løsning er en ellipsoid af revolution. Givet en konstant tæthed og volumen afhænger selvpotentialet af en sådan krop kun af ellipsoidens ekscentricitet:

V s = V s 0 + g ret M ret f ( ret) ret d 2 , {\displaystyle V_{s}=v_{S_{0}}+g\pi \Rho _{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \DELTA D^{2},}

hvor V S 0 {\displaystyle v_{S_{0}}}

er det konstante selvpotentiale på skæringspunktet mellem den cirkulære kant af kroppen og det centrale symmetriplan givet af ligningen kr=0.

Den dimensionsløse funktion f skal bestemmes ud fra den nøjagtige opløsning for ellipsoidens potentiale

f ( Lira ) = 1 − Lira 2 Lira 3 Lira {\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}

og overraskende nok afhænger ikke af satellitens volumen.

selvom den eksplicitte form for funktionen f ser kompliceret ud, er det klartat vi måske og vælger værdien af KRP, så den potentielle VT er lig med VS plus en konstant uafhængig af variablen KRP. Ved inspektion sker dette, når

2 g liter M R 3 D 3 = g liter M F ( liter ) {\displaystyle {\frac {2G\pi \Rho _{M}R^{3}}{D^{3}}}=g\pi \Rho _{m}f(\varepsilon )}

denne ligning kan løses numerisk. Grafen indikerer, at der er to løsninger, og at den mindre repræsenterer den stabile ligevægtsform (ellipsoiden med den mindre ekscentricitet). Denne løsning bestemmer ekscentriciteten af tidevandsellipsoiden som en funktion af afstanden til hovedkroppen. Derivatet af funktionen f har et nul, hvor den maksimale ekscentricitet opnås. Dette svarer til Roche-grænsen.

mere præcist bestemmes Roche-grænsen af det faktum, at funktionen f, som kan betragtes som et ikke-lineært mål for kraften, der klemmer ellipsoiden mod en sfærisk form, er afgrænset, så der er en ekscentricitet, hvor denne kontraherende kraft bliver maksimal. Da tidevandskraften stiger, når satellitten nærmer sig hovedkroppen, er det klart, at der er en kritisk afstand, hvor ellipsoiden er revet op.

den maksimale ekscentricitet kan beregnes numerisk som nul af derivatet af f’. Man opnår

kr. maks .kr. 0. 86 {\displaystyle \ varepsilon _{\tekst{maks}} \ ca 0{.}86}

hvilket svarer til forholdet mellem ellipsoidakserne 1:1,95. Indsættelse af dette i formlen for funktionen f man kan bestemme den minimale afstand, hvor ellipsoiden eksisterer. Dette er Roche-grænsen,

d-2 . 423 r r m 3 . {\displaystyle d \ ca. 2{.}423 \ cdot R \ cdot {\frac {\rho _ {M}} {\rho _{m}}}\,.}

overraskende, inklusive centrifugalpotentialet gør bemærkelsesværdig lille forskel, selvom objektet bliver en Roche ellipsoid, en generel triaksial ellipsoid med alle akser med forskellige længder. Potentialet bliver en meget mere kompliceret funktion af aksellængderne, der kræver elliptiske funktioner. Løsningen fortsætter dog meget som i tidevand-eneste tilfælde, og vi finder

d-2 . 455 r r m 3 . {\displaystyle d \ ca. 2{.}455 \ cdot R \ cdot {\frac {\rho _ {M}} {\rho _{m}}}\,.}