Rummodeller i epidemiologi
SIR-modellen er en af de enkleste rummodeller, og mange modeller er derivater af denne grundlæggende form. Modellen består af tre rum:-
S: antallet af modtagelige individer. Når et modtageligt og et infektiøst individ kommer i” infektiøs kontakt”, kontraherer det modtagelige individ sygdommen og overgår til det infektiøse rum. I: antallet af smitsomme individer. Dette er personer, der er blevet inficeret og er i stand til at inficere modtagelige individer. R for antallet af fjernede (og immune) eller afdøde personer. Dette er personer, der er blevet inficeret og enten er kommet sig efter sygdommen og kommet ind i det fjernede rum eller døde. Det antages, at antallet af dødsfald er ubetydeligt i forhold til den samlede befolkning. Dette rum kan også kaldes” genvundet “eller”resistent”.
denne model er rimeligt forudsigelig for infektionssygdomme, der overføres fra menneske til menneske, og hvor genopretning giver varig modstand, såsom mæslinger, fåresyge og røde hunde.
disse variabler (S, I og R) repræsenterer antallet af personer i hvert rum på et bestemt tidspunkt. For at repræsentere, at antallet af modtagelige, infektiøse og fjernede individer kan variere over tid (selvom den samlede befolkningsstørrelse forbliver konstant), gør vi de nøjagtige tal til en funktion af t (tid): S(t), I(t) og R(t). For en bestemt sygdom i en bestemt population kan disse funktioner udarbejdes for at forudsige mulige udbrud og bringe dem under kontrol.
som antydet af T ‘ s variable funktion er modellen dynamisk, idet tallene i hvert rum kan svinge over tid. Betydningen af dette dynamiske aspekt er mest åbenlyst i en endemisk sygdom med en kort infektiøs periode, såsom mæslinger i Storbritannien inden introduktionen af en vaccine i 1968. Sådanne sygdomme har tendens til at forekomme i udbrudscyklusser på grund af variationen i antallet af susceptibles (S(t)) over tid. Under en epidemi falder antallet af modtagelige individer hurtigt, da flere af dem er inficeret og således kommer ind i de infektiøse og fjernede rum. Sygdommen kan ikke bryde ud igen, før antallet af modtagelige er opbygget igen, f.eks. som et resultat af, at afkom er født i det modtagelige rum.
hvert medlem af befolkningen udvikler sig typisk fra modtagelig for infektiøs til genoprettet. Dette kan vises som et strømningsdiagram, hvor boksene repræsenterer de forskellige rum og pilene overgangen mellem rum, dvs.
overgangshastighederrediger
for den fulde specifikation af modellen skal pilene mærkes med overgangshastighederne mellem rum. Mellem S og I antages overgangsfrekvensen at være d(S/N)/dt = -kurssi/N2, hvor N er den samlede befolkning, er det gennemsnitlige antal kontakter pr.person pr. gang ganget med sandsynligheden for sygdomsoverførsel i en kontakt mellem et modtageligt og et infektiøst individ, og SI/N2 er den brøkdel af disse kontakter mellem et infektiøst og modtageligt individ, som resulterer i, at den modtagelige person bliver inficeret. (Dette svarer matematisk til loven om masseaktion i kemi, hvor tilfældige kollisioner mellem molekyler resulterer i en kemisk reaktion, og fraktionshastigheden er proportional med koncentrationen af de to reaktanter).
mellem I og R antages overgangsfrekvensen at være proportional med antallet af infektiøse individer, som er yI. Dette svarer til at antage, at sandsynligheden for, at et infektiøst individ kommer sig i ethvert tidsinterval dt, simpelthen er ydt. Hvis en person er smitsom i en gennemsnitlig periode D, så er kr = 1 / D. Dette svarer også til antagelsen om, at længden af tid brugt af et individ i den infektiøse tilstand er en tilfældig variabel med en eksponentiel fordeling. Den” klassiske ” SIR-model kan ændres ved hjælp af mere komplekse og realistiske distributioner til I-R-overgangsfrekvensen (f.eks.
i det specielle tilfælde, hvor der ikke er nogen fjernelse fra det infektiøse rum (Kurt=0), reduceres SIR-modellen til en meget enkel SI-model, som har en logistisk løsning, hvor hvert individ til sidst bliver inficeret.
SIR-modellen uden vital dynamicsEdit
dynamikken i en epidemi, for eksempel flu, er ofte meget hurtigere end dynamikken i fødsel og død, derfor udelades fødsel og død ofte i enkle rummodeller. SIR-systemet uden såkaldt vital dynamik (fødsel og død, undertiden kaldet demografi) beskrevet ovenfor kan udtrykkes ved følgende sæt almindelige differentialligninger:
d s d t = − Lis I S N , D I d t = Lis I S N − Lis i , d R d T = Lis I , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\&{\frac {di}{dt}}={\frac {\beta is}{n}}-\gamma i,\\&{\frac {Dr}{dt}}=\gamma i,\end{aligned}}}
hvor s {\displaystyle S}
er bestanden af modtagelige befolkning, I {\displaystyle jeg}
er bestanden af inficerede, R {\displaystyle R}
er bestanden af fjernet befolkning (enten ved død eller helbredelse), og N {\displaystyle N}
er summen af disse tre. denne model blev for første gang foreslået af Ogilvy Kermack og Anderson Gray Mckendrick som et specielt tilfælde af det, vi nu kalder kermack–McKendrick teori, og fulgte arbejde McKendrick havde gjort med Ronald Ross.
dette system er ikke-lineært, men det er muligt at udlede sin analytiske løsning i implicit form. Bemærk først, at fra:
d S d T + D I d t + d R d t = 0, {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}
det følger heraf:
S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = konstant = N , {\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\tekst{konstant}}=N,}
udtrykker i matematiske termer bestandigheden af befolkningen n {\displaystyle n}
. Bemærk, at ovenstående forhold indebærer, at man kun behøver at studere ligningen for to af de tre variabler.
for det andet bemærker vi, at dynamikken i den infektiøse klasse afhænger af følgende forhold:
R 0 = liter, {\displaystyle R_ {0}={\frac {\beta} {\gamma}},}
det såkaldte grundlæggende reproduktionsnummer (også kaldet grundlæggende reproduktionsforhold). Dette forhold er afledt som det forventede antal nye infektioner (disse nye infektioner kaldes undertiden sekundære infektioner) fra en enkelt infektion i en population, hvor alle forsøgspersoner er modtagelige. Denne ide kan sandsynligvis lettere ses , hvis vi siger, at den typiske tid mellem kontakter er T c = Lars − 1 {\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}
, og den typiske tid indtil fjernelse er T r = Lars − 1 {\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}
. Herfra følger det, at antallet af kontakter fra et infektiøst individ med andre, før det infektiøse er fjernet, i gennemsnit er: T r / T c . {\displaystyle T_{r} / t_{c}.}
Ved at dividere den første differentialligning med den tredje, adskille variablerne og integrere får vi
S ( t ) = S ( 0 ) e − R 0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / N , {\displaystyle S(t)=s(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}
hvor s ( 0) {\displaystyle S(0)}
og R ( 0) {\displaystyle r(0)}
er de oprindelige tal for henholdsvis modtagelige og fjernede emner. Skrivning s 0 = S ( 0 ) / N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N}
for den oprindelige andel af modtagelige individer, og s Lars = s (Lars ) / N {\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}
og R Larse = r (Larse ) / n {\displaystyle R_{\infty }=r(\infty )/n}
for andelen af modtagelige og fjernede individer i overensstemmelse hermed i grænsen t-kursen , {\displaystyle t\til \infty ,}
man har s list = 1 − r List = s 0 e − r 0 ( r list − r 0 ) {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}
(bemærk, at det infektiøse rum tømmes i denne grænse).Denne transcendentale ligning har en løsning med hensyn til Lambert h-funktionen, nemlig
S-L = 1 – R-L = − R 0 − 1 B (−s 0 R 0 e − r 0 ( 1-R 0 ) ) . {\displaystyle s_ {\infty }=1-r_{\infty} =-R_{0}^{-1}\,V (- s_{0}R_{0}e^{- R_{0}(1-r_{0})}).}
Dette viser, at i slutningen af en epidemi, der er i overensstemmelse med de enkle antagelser fra SIR-modellen , medmindre s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}
, er ikke alle individer i befolkningen blevet fjernet, så nogle skal forblive modtagelige. En drivkraft, der fører til afslutningen af en epidemi, er et fald i antallet af infektiøse individer. Epidemien slutter typisk ikke på grund af en fuldstændig mangel på modtagelige individer.
rollen af både det grundlæggende reproduktionsnummer og den indledende modtagelighed er ekstremt vigtig. Faktisk, ved omskrivning af ligningen for infektiøse individer som følger:
d I d t = ( R 0 S N − 1 ) ret i , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\venstre(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\højre)\gamma I,}
det giver, at hvis:
r 0 List s ( 0 ) > n, {\displaystyle R_{0}\cdot s(0)>n,}
derefter:
d I d t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}
dvs.der vil være et ordentligt epidemisk udbrud med en stigning i antallet af smitsomme (som kan nå en betydelig del af befolkningen). Tværtimod, hvis
R 0 Ren S ( 0 ) < N , {\displaystyle R_{0}\cdot s(0)<N,}
derefter
D I d t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {di}{dt}}(0)<0,}
dvs.uafhængigt af den oprindelige størrelse af den modtagelige population kan sygdommen aldrig forårsage et ordentligt epidemisk udbrud. Som følge heraf er det klart, at både det grundlæggende reproduktionsnummer og den oprindelige modtagelighed er yderst vigtige.
infektionskraftenredit
Bemærk, at funktionen i ovenstående model:
F = kursist I, {\displaystyle F=\beta i,}
modeller overgangshastigheden fra rummet af modtagelige individer til rummet af infektiøse individer, så det kaldes kraften af infektion, hvilket gør det muligt at af infektion. For store klasser af smitsomme sygdomme er det imidlertid mere realistisk at overveje en infektionskraft, der ikke afhænger af det absolutte antal infektiøse emner, men på deres fraktion (med hensyn til den samlede konstante befolkning N {\displaystyle N}
): f = kursist i n . {\displaystyle F= \ beta {\frac {I}{N}}.}
Capasso og bagefter har andre forfattere foreslået ikke-lineære infektionskræfter for at modellere mere realistisk smitteprocessen.
nøjagtige analytiske løsninger til SIR-modellenredit
i 2014 afledte Harko og medforfattere en nøjagtig såkaldt analytisk løsning (involverer en integral, der kun kan beregnes numerisk) til SIR-modellen. I tilfælde uden vital dynamics setup , for S ( u ) = S ( t ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}
osv., svarer det til følgende tidsparametrisering S ( u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}
I ( u ) = N − r ( u ) − s ( u ) {\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {i}}(u)=n-{\mathcal {r}}(u)-{\mathcal {s}}(u)}
r ( u ) = r ( 0 ) − ret Ln ( u) {\displaystyle {\mathcal {r}}(u)=r(0)-\Rho\Ln(u)}
for
t = N-β ∫ u 1 u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {jeg}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}
med oprindelige betingelser
( S ( 1 ) , I ( 1 ) , F ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , N − R ( 0 ) − S ( 0 ) , R ( 0 ) ) , u T < u < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {E}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}
where u T {\displaystyle u_{T}}
satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}
. Af transcendental ligning for R ∞ {\displaystyle R_{\infty }}
ovenfor, følger det, at u T = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = R ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-F(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}
, hvis S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)}
og jeg ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0}
.
En tilsvarende såkaldt analytisk løsning (der involverer en integrerende der kan kun beregnes numerisk) fundet af Miller udbytter
S ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ρ ξ ( t) – ξ ( t ) = β N ∫ 0 t ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{justeret}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\I(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=F(0)+\rho \xi (t)\\\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{justeret}}}
here Larse ( t ) {\displaystyle \hi (t)}
kan fortolkes som det forventede antal transmissioner, som en person har modtaget med tiden t {\displaystyle t}
. De to løsninger er relateret af e-list (t ) = u {\displaystyle e^{-\hi (t)}=u}
. faktisk kan det samme resultat findes i det originale værk af Kermack og McKendrick.
disse løsninger kan let forstås ved at bemærke, at alle udtrykkene på højre side af de originale differentialligninger er proportional med i {\displaystyle I}
. Ligningerne kan således deles igennem af i {\displaystyle I}
, og tiden skaleres , så differentialoperatøren på venstre side bliver simpelthen d / d-ret {\displaystyle d/d\tau }
, hvor D Lars =i d t{\displaystyle D\tau=IDT}
, dvs .Lars =Lars I d {\displaystyle\Tau=\int IDT}
. Differentialligningerne er nu alle lineære, og den tredje ligning, af formen d R/D L = {\displaystyle dR/D\tau =}
const., viser, at LARP {\displaystyle \tau }
og R {\displaystyle R}
(og LARP {\displaystyle \hi }
ovenfor) er simpelthen lineært relateret.
en meget nøjagtig analytisk tilnærmelse af SIR-modellen blev leveret af kr Krisger og Schlickeiser, så der ikke er behov for at udføre en numerisk integration for at løse SIR-modellen, for at få dens parametre ud fra eksisterende data eller for at forudsige den fremtidige dynamik i en epidemi modelleret af SIR-modellen. Den approksimante involverer Lambert h-funktionen, som er en del af alle grundlæggende datavisualiseringsprogrammer som f.eks.
SIR-modellen med vital dynamik og konstant befolkningredit
overvej en befolkning , der er kendetegnet ved en dødsrate, der er {\displaystyle \mu }
og fødselsrate, der er kendetegnet ved en dødsfrekvens, der er {\displaystyle \Lambda }
, og hvor en smitsom sygdom spreder sig. Modellen med masseaktionstransmission er: d S d t = Λ − μ S − b i S N d i d t = β i S N − γ I − m i d F d t = γ jeg − μ F {\displaystyle {\begin{justeret}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta}{N}}-\gamma-jeg-\mu I\\{\frac {dR}{dt}}&=\gamma-jeg-\mu R\end{justeret}}}
for som den sygdomsfrie ligevægt ( DFE) er:
(S ( t ) , I ( t ) , R ( t)) = (list , 0 , 0 ) . {\displaystyle\left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left ({\frac {\Lambda} {\mu }},0,0 \ right).}
i dette tilfælde kan vi udlede et grundlæggende reproduktionsnummer:
R 0 = liter + liter, {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma}},}
som har tærskelegenskaber. Faktisk kan man uafhængigt af biologisk meningsfulde indledende værdier vise det:
R, 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t) I ( t ) , R ( t ) ) = DFE = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t) I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}
R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t) I ( t ) , R ( t ) ) = EE = ( γ + μ β , μ β ( R, 0 − 1 ) , γ β ( R, 0 − 1 ) ) . {\displaystyle R_{0}>1,i(0)>0\højre pil \lim _{t\til \infty }(S(t),I(t),R(t))={\tekstrm {EE}}=\venstre({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\venstre(R_{0}-1\højre),{\frac {\gamma }{\beta }}\venstre(r_{0}-1\højre)\højre).}
punktet EE kaldes den endemiske ligevægt (sygdommen er ikke fuldstændig udryddet og forbliver i befolkningen). Med heuristiske argumenter kan man vise, at R 0 {\displaystyle R_{0}}
kan læses som det gennemsnitlige antal infektioner forårsaget af et enkelt infektiøst individ i en helt modtagelig population betyder ovenstående forhold biologisk, at hvis dette tal er mindre end eller lig med en, uddør sygdommen, mens hvis dette tal er større end en, vil sygdommen forblive permanent endemisk i befolkningen.
The SIR modelEdit
, and rates for infection β = 0.4 {\textstyle \beta =0.4}
and for recovery γ = 0.04 {\textstyle \gamma =0.04}
, og genopretningshastighed larp = 0,04 {\tekststil \gamma =0,04}
. Animationen viser effekten af at reducere infektionshastigheden fra liter = 0,5 {\tekststyle \beta =0,5}
til venstre = 0.12 {\tekststyle \ beta =0.12}
. Hvis der ikke er nogen medicin eller vaccination tilgængelig, er det kun muligt at reducere infektionshastigheden (ofte omtalt som “udfladning af kurven”) ved passende foranstaltninger såsom social afstand.
i 1927 oprettede vi Kermack og A. G. McKendrick en model, hvor de betragtede en fast befolkning med kun tre rum: modtagelig, s ( t ) {\displaystyle S(t)}
; inficeret, I ( t ) {\displaystyle I(t)}
; og genvundet, R ( t ) {\displaystyle R(t)}
. De rum, der anvendes til denne model, består af tre klasser:
- S ( t ) {\displaystyle S(t)}
bruges til at repræsentere de personer, der endnu ikke er inficeret med sygdommen på tidspunktet t, eller dem, der er modtagelige for befolkningens sygdom.
- I (t) {\displaystyle I(t)}
betegner individer i befolkningen, der er blevet inficeret med sygdommen og er i stand til at sprede sygdommen til dem i den modtagelige kategori.
- R (t) {\displaystyle R(t)}
er det rum, der bruges til individer i befolkningen, der er blevet inficeret og derefter fjernet fra sygdommen, enten på grund af immunisering eller på grund af død. De i denne kategori er ikke i stand til at blive inficeret igen eller overføre infektionen til andre.
strømmen af denne model kan betragtes som følger:
s-ret I-ret {\displaystyle {\Farve {Blå}{{\mathcal {s}}\højre-ret {\mathcal {I}}\højre-ret {\mathcal {R}}}}
brug af en fast population, n = s ( t ) + i ( t ) + r ( t ) {\displaystyle n=s(t)+i(t)+r(t)}
i de tre funktioner løser, at værdien n {\displaystyle n}
skal forblive konstant inden for simuleringen, hvis en simulering bruges til at løse Sir-modellen. Alternativt kan den analytiske tilnærmelse anvendes uden at udføre en simulering. Modellen startes med værdier af S ( t = 0 ) {\displaystyle S(t=0)}
, I ( t = 0 ) {\displaystyle I(t=0)}
og R ( T = 0 ) {\displaystyle r(t=0)}
. Dette er antallet af mennesker i de modtagelige, inficerede og fjernede kategorier til tiden lig med nul. Hvis SIR-modellen antages at holde på alle tidspunkter, er disse indledende betingelser ikke uafhængige. Derefter opdaterer strømningsmodellen de tre variabler for hvert tidspunkt med indstillede værdier for prisT {\displaystyle \beta }
og prisT {\displaystyle \gamma }
. Simuleringen opdaterer først den inficerede fra den modtagelige, og derefter opdateres den fjernede kategori fra den inficerede kategori til næste tidspunkt (t=1). Dette beskriver strømmen personer mellem de tre kategorier. Under en epidemi ændres den modtagelige kategori ikke med denne model, og det samme gør den modtagelige kategori med denne model, og det samme gør den følsomme kategori med denne model, og det samme gør den følsomme kategori med denne model, og det samme gør den følsomme kategori med denne model.
. Disse variabler bestemmer epidemiens længde og skal opdateres med hver cyklus. d s d t = − ret S I N {\displaystyle {\frac {DS}{dt}}=-{\frac {\beta SI}{N}}}
d I d t = ret S I N − ret i {\displaystyle {\frac {dI}} {dt}}={\frac {\beta si} {n}}-\gamma i}
D R D T = vers i {\displaystyle {\frac {Dr} {dt}}=\gamma i}
flere antagelser blev foretaget i formuleringen af disse ligninger: For det første skal et individ i befolkningen betragtes som at have en lige sandsynlighed som ethvert andet individ for at få sygdommen med en hastighed på a {\displaystyle a}
og en lige fraktion b {\displaystyle b}
af mennesker, som en person får kontakt med med pr.tidsenhed. Lad derefter Lars {\displaystyle \beta }
være multiplikationen af a {\displaystyle a}
og b {\displaystyle b}
. Dette er transmissionssandsynligheden gange kontaktfrekvensen. Desuden kommer en inficeret person i kontakt med b {\displaystyle b}
personer pr.tidsenhed, mens kun en brøkdel, S N {\displaystyle {\frac {S}{N}}}
af dem er modtagelige.Således har vi alle infektive kan inficere en b s = Kris s {\displaystyle abS=\beta s}
modtagelige personer, og derfor er hele antallet af susceptibles inficeret af infectives pr .tidsenhed er Kris s i {\displaystyle \beta SI}
. For den anden og tredje ligningbetragter befolkningen, der forlader den modtagelige klasse, som lig med antallet, der kommer ind i den inficerede klasse. Imidlertid er et tal lig med fraktionen prisT {\displaystyle \gamma }
(som repræsenterer den gennemsnitlige genopretnings – /dødsrate, eller 1 / prisT {\displaystyle 1/\gamma }
den gennemsnitlige infektive periode) af infektiver forlader denne klasse pr enhedstid for at komme ind i den fjernede klasse. Disse processer, der forekommer samtidigt, kaldes loven om massehandling, en bredt accepteret ide om, at kontakthastigheden mellem to grupper i en befolkning er proportional med størrelsen af hver af de pågældende grupper. Endelig antages det, at infektions-og genopretningshastigheden er meget hurtigere end tidsskalaen for fødsler og dødsfald, og derfor ignoreres disse faktorer i denne model.
steady-state løsningerredit
den forventede varighed af modtagelighed vil være e l {\displaystyle \operatorname {E}}
hvor T L {\displaystyle T_{L}}
afspejler tiden i live (forventet levetid) og T s {\displaystyle T_{s}}
afspejler tiden i den modtagelige tilstand, før den bliver inficeret, hvilket kan forenkles til: E = ∫ 0 ∞ e − ( μ + δ ) x d x = 1 μ + δ , {\displaystyle \operatorname {E} =\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}
sådan, at antallet af modtagelige personer er antallet indtaste modtagelige rum μ N {\displaystyle \mu N}
gange varigheden af modtagelighed: S = μ N μ + λ . {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}
Analogt, steady-state antallet af inficerede personer er antallet indtaste den inficerede stat fra modtagelige tilstand (antal modtagelige, gange sats af infektion λ = β N , {\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta jeg}{N}},}
gange varigheden af smitsomhed 1 μ + v {\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}
: I = μ N μ + λ λ 1 μ + v . {\displaystyle i={\frac {\mu N} {\mu + \ lambda }} \ lambda {\frac {1}{\mu +v}}.}
andre rummodellerredit
der er mange ændringer af SIR-modellen, herunder dem, der omfatter fødsler og dødsfald, hvor der ved genopretning ikke er nogen immunitet (SIS-model), hvor immuniteten kun varer i en kort periode (SIRS), hvor der er en latent periode af sygdommen, hvor personen ikke er smitsom (SEIS og SEIR), og hvor spædbørn kan fødes med immunitet (MSIR).