5.15: Poisson’s and Laplace’s Equations
In diesem Abschnitt entwickeln wir einen alternativen Ansatz zur Berechnung von \(V({\bf r})\), der diese Randbedingungen berücksichtigt und dadurch die Analyse des skalaren Potentialfeldes in der Nähe von Strukturen und räumlich variierenden Materialeigenschaften erleichtert. Dieser alternative Ansatz basiert auf der Poisson-Gleichung, die wir nun ableiten.
Wir beginnen mit der Differentialform des Gaußschen Gesetzes (Abschnitt 5.7):
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\
Als nächstes wenden wir die Beziehung an (Abschnitt 5.14):
\ yielding \
Dies ist die Poisson-Gleichung, aber nicht in der Form, in der sie üblicherweise verwendet wird. Um die alternative Form zu erhalten, betrachten Sie den Operator \(\nabla \cdot \nabla\) in kartesischen Koordinaten:
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Die Poisson-Gleichung (Gleichung \ref{m0067_ePoisson}) besagt, dass der Laplacian des elektrischen Potentialfeldes gleich der Volumenladungsdichte dividiert durch die Permittivität ist, wobei sich das Vorzeichen ändert.
Beachten Sie, dass die Poisson-Gleichung eine partielle Differentialgleichung ist und daher mit bekannten Techniken gelöst werden kann, die bereits für solche Gleichungen etabliert sind. Tatsächlich ist die Poisson-Gleichung eine inhomogene Differentialgleichung, wobei der inhomogene Teil \(-\rho_v /\epsilon \) die Quelle des Feldes darstellt. Bei Vorhandensein der Materialstruktur identifizieren wir die relevanten Randbedingungen an den Grenzflächen zwischen Materialien, und die Aufgabe, \(V({\bf r})\) zu finden, wird auf die rein mathematische Aufgabe reduziert, das zugehörige Randwertproblem zu lösen (siehe „Zusätzliche Lektüre“ am Ende dieses Abschnitts). Dieser Ansatz ist besonders effektiv, wenn eines der Materialien ein perfekter Leiter ist oder als solches modelliert werden kann. Dies liegt daran, dass – wie zu Beginn dieses Abschnitts erwähnt – das elektrische Potential an allen Punkten auf der Oberfläche eines perfekten Leiters gleich sein muss, was zu einer besonders einfachen Randbedingung führt.In vielen anderen Anwendungen liegt die Ladung, die für das elektrische Feld verantwortlich ist, außerhalb des Bereichs des Problems; d. h. Wir haben ein elektrisches Feld ungleich Null (daher potenziell ein elektrisches Potential ungleich Null) in einer Region, die kostenlos ist. In diesem Fall vereinfacht sich die Poisson-Gleichung zur Laplace-Gleichung:
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Die Laplace-Gleichung (Gleichung \ref{m0067_eLaplace}) besagt, dass der Laplace des elektrischen Potentialfeldes in einem quellenfreien Bereich Null ist.