Seitdem wurden Tausende von Dissertationen, Artikeln und Büchern dem Studium von Schwarzschilds Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen gewidmet. Obwohl Schwarzschilds bekannteste Arbeit auf dem Gebiet der Allgemeinen Relativitätstheorie liegt, waren seine Forschungsinteressen äußerst breit, einschließlich der Arbeit in der Himmelsmechanik, der beobachtenden Sternphotometrie, der Quantenmechanik, der instrumentellen Astronomie, der Sternstruktur, der Sternstatistik, des Halleyschen Kometen und der Spektroskopie.

Zu seinen besonderen Leistungen zählen Messungen variabler Sterne mit Hilfe der Fotografie und die Verbesserung optischer Systeme durch die störende Untersuchung geometrischer Aberrationen.

Physics of photographybearbeiten

Während seiner Zeit in Wien 1897 entwickelte Schwarzschild eine Formel, die heute als Schwarzschild-Gesetz bekannt ist, um die optische Dichte von fotografischem Material zu berechnen. Es handelte sich um einen Exponenten, der jetzt als Schwarzschild-Exponent bekannt ist und der p {\displaystyle p}

in der Formel ist:

i = f ( I \cdot t^{p}) {\displaystyle i=f(I\cdot t^{p})}

(wobei i {\displaystyle i}

die optische Dichte belichtete fotografische Emulsion, eine Funktion von I {\displaystyle I}

, der Intensität der beobachteten Quelle, und t {\displaystyle t}

, der Belichtungszeit, mit p {\displaystyle p}

eine Konstante). Diese Formel war wichtig, um genauere fotografische Messungen der Intensitäten schwacher astronomischer Quellen zu ermöglichen.

Elektrodynamikbearbeiten

Nach Wolfgang Pauli (Relativitätstheorie)ist Schwarzschild der erste, der den korrekten Lagrange−Formalismus des elektromagnetischen Feldes einführt als

S = ( 1 / 2 ) ∫ ( H 2 − E 2 ) d V + ∫ ρ ( ϕ – A → ⋅ u → ) d V {\displaystyle S=(1/2)\int (H^{2}-E^{2})dV+\int \rho (\ phi -{\vec {A}}\cdot {\vec {u}})dV}

wobei E → , H → {\displaystyle {\vec {E}},{\vec {H}}}

sind das elektrische und magnetische Feld, A → {\displaystyle {\vec {A}}}

ist das Vektorpotential und ϕ {\displaystyle \phi }

ist das elektrische potenzial.

Er führte auch ein Feld frei variationelle Formulierung der Elektrodynamik (auch bekannt als „handeln auf Distanz“ oder „direct interparticle action“) basiert nur auf der Welt, die Linie von Partikeln

S = ∑ i m i ∫ C i d s i + 1 2 ∑ i , j ∬ C i , C j q i q j δ ( ‖ P i P j“), und d s i d s j {\displaystyle S=\sum _{i}m_{i}\int _{C_{i}}ds_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\iint _{C_{i},C_{j}}q_{i}q_{j}\delta \left(\left\Vert P_{i}P_{j}\right\Vert \right)d\vec {s} _{i}d\vec {s} _{j}}

wobei C α {\displaystyle C_{\alpha }}

sind die Weltlinien des Teilchens, d s α {\displaystyle d\mathbf {s} _{\alpha }}

das (vektorielle) Bogenelement entlang der welt linie. Zwei Punkte auf zwei Weltlinien tragen nur dann zum Lagrangeschen bei (sind gekoppelt), wenn sie eine Minkowski-Entfernung von Null sind (verbunden durch einen Lichtstrahl), daher der Term δ ( ‖ P i P j ‖ ) {\displaystyle \delta \left(\left\Vert P_{i}P_{j}\right\Vert \right)}

. Die Idee wurde von Tetrode und Fokker in den 1920er Jahren und Wheeler und Feynman in den 1940er Jahren weiterentwickelt und stellt eine alternative / äquivalente Formulierung der Elektrodynamik dar.

relativitätbearbeiten

Das Kepler-Problem in der allgemeinen Relativitätstheorie unter Verwendung der Schwarzschild-Metrik

Einstein selbst war angenehm überrascht zu erfahren, dass die Feldgleichungen genaue Lösungen, wegen ihrer prima facie Komplexität, und weil er selbst nur eine ungefähre Lösung hergestellt hatte. Einsteins ungefähre Lösung wurde in seinem berühmten Artikel von 1915 über den Fortschritt des Perihels von Merkur gegeben. Dort verwendete Einstein rechteckige Koordinaten, um das Gravitationsfeld um eine sphärisch symmetrische, nicht rotierende, nicht geladene Masse zu approximieren. Schwarzschild hingegen wählte ein eleganteres „polarähnliches“ Koordinatensystem und konnte eine genaue Lösung finden, die er erstmals in einem Brief an Einstein vom 22. Dezember 1915 niederlegte, den Schwarzschild während seines Kriegsdienstes an der russischen Front verfasste. Schwarzschild schloss den Brief mit dem Schreiben ab: „Wie Sie sehen, hat mich der Krieg trotz des schweren Gewehrfeuers freundlich genug behandelt, um mir zu erlauben, von allem wegzukommen und diesen Spaziergang im Land Ihrer Ideen zu machen.“ 1916 schrieb Einstein an Schwarzschild über dieses Ergebnis:

Ich habe Ihre Arbeit mit größtem Interesse gelesen. Ich hatte nicht erwartet, dass man die genaue Lösung des Problems so einfach formulieren könnte. Ich mochte Ihre mathematische Behandlung des Themas sehr. Am kommenden Donnerstag werde ich die Arbeit der Akademie mit ein paar erläuternden Worten vorstellen.

— Albert Einstein,

Grenzbereich der Schwarzschild-Innen- und Außenlösung

Schwarzschilds zweites Papier, das gibt, was ist jetzt bekannt als die „Innere Schwarzschild-Lösung“ (auf Deutsch: „innere Schwarzschild-Lösung“), gilt innerhalb einer Kugel von homogenen und isotropen verteilten Molekülen innerhalb einer Schale mit dem Radius r = R. Es ist anwendbar auf Feststoffe; inkompressible Flüssigkeiten; die Sonne und Sterne als quasi-isotropes erhitztes Gas betrachtet; und jedes homogene und isotrope verteilte Gas.

Schwarzschilds erste (kugelsymmetrische) Lösung enthält keine Koordinatensingularität auf einer Oberfläche, die jetzt nach ihm benannt ist. In Schwarzschild-Koordinaten liegt diese Singularität auf der Kugel von Punkten in einem bestimmten Radius, der als Schwarzschild-Radius bezeichnet wird:

R s = 2 G M c 2 {\displaystyle R_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}

wobei G die Gravitationskonstante, M die Masse des Zentralkörpers und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. In Fällen, in denen der Radius des Zentralkörpers kleiner als der Schwarzschild-Radius ist, stellt R s {\displaystyle R_{s}}

den Radius dar, innerhalb dessen alle massereichen Körper und sogar Photonen unvermeidlich in den Zentralkörper fallen müssen (wobei Quantentunneleffekte in der Nähe der Grenze ignoriert werden). Wenn die Massendichte dieses Zentralkörpers eine bestimmte Grenze überschreitet, löst dies einen Gravitationskollaps aus, der, wenn er mit sphärischer Symmetrie auftritt, ein sogenanntes Schwarzes Loch von Schwarzschild erzeugt. Dies geschieht beispielsweise, wenn die Masse eines Neutronensterns die Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Grenze überschreitet (etwa drei Sonnenmassen).