Die Grenzentfernung, auf die sich ein Satellit nähern kann, ohne aufzubrechen, hängt von der Steifigkeit des Satelliten ab. In einem Extremfall behält ein vollständig starrer Satellit seine Form bei, bis die Gezeitenkräfte ihn auseinanderbrechen. Im anderen Extrem verformt sich ein hochflüssiger Satellit allmählich, was zu erhöhten Gezeitenkräften führt, wodurch sich der Satellit verlängert, die Gezeitenkräfte weiter verstärkt und leichter auseinanderbricht.Die meisten realen Satelliten würden irgendwo zwischen diesen beiden Extremen liegen, wobei die Zugfestigkeit den Satelliten weder vollkommen starr noch vollkommen flüssig macht. Zum Beispiel verhält sich ein Trümmerhaufen-Asteroid eher wie eine Flüssigkeit als wie ein fester felsiger; Ein eisiger Körper verhält sich zunächst ziemlich starr, wird aber flüssiger, wenn sich die Gezeitenheizung ansammelt und sein Eis zu schmelzen beginnt.

Beachten Sie jedoch, dass sich die Roche-Grenze, wie oben definiert, auf einen Körper bezieht, der ausschließlich durch die Gravitationskräfte zusammengehalten wird, die dazu führen, dass ansonsten nicht verbundene Partikel verschmelzen und so den fraglichen Körper bilden. Die Roche-Grenze wird normalerweise auch für den Fall einer Kreisbahn berechnet, obwohl es einfach ist, die Berechnung zu ändern, um sie auf den Fall (zum Beispiel) eines Körpers anzuwenden, der die Primärbahn auf einer parabolischen oder hyperbolischen Flugbahn passiert.

Starrsatelliten-Berechnungbearbeiten

Die Starrkörper-Roche-Grenze ist eine vereinfachte Berechnung für einen sphärischen Satelliten. Unregelmäßige Formen wie die der Gezeitendeformation am Körper oder die primären it-Bahnen werden vernachlässigt. Es wird angenommen, dass es sich im hydrostatischen Gleichgewicht befindet. Diese Annahmen sind zwar unrealistisch, vereinfachen jedoch die Berechnungen erheblich.

Die Roche-Grenze für einen starren kugelförmigen Satelliten ist der Abstand, d {\displaystyle d}

, von dem Punkt, an dem die Gravitationskraft auf eine Testmasse an der Oberfläche des Objekts genau gleich der Gezeitenkraft ist, die die Masse vom Objekt wegzieht: d = R M ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\links(2{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\rechts)^{\frac {1}{3}}}

wobei R M {\displaystyle R_{M}}

der Radius des primären, ρ M {\displaystyle \rho _{M}}

die Dichte des primären und ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

ist die Dichte des Satelliten. Dies kann äquivalent geschrieben werden als d = R m ( 2 M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

wobei R m {\displaystyle R_{m}}

der Radius des Sekundären, M M {\displaystyle M_{M}}

die Masse des primären und M m {\displaystyle M_{m}}

ist die Masse des Sekundären.

Dies hängt nicht von der Größe der Objekte ab, sondern vom Verhältnis der Dichten. Dies ist der Orbitalabstand, innerhalb dessen loses Material (z. B. Regolith) auf der Oberfläche des Satelliten, der dem Primär am nächsten liegt, weggezogen würde, und ebenso wird Material auf der dem Primär gegenüberliegenden Seite auch vom Satelliten weg und nicht in Richtung des Satelliten gehen.

Beachten Sie, dass dies ein ungefähres Ergebnis ist, da Trägheitskraft und starre Struktur bei ihrer Ableitung ignoriert werden.

Die Umlaufzeit hängt dann nur noch von der Dichte des sekundären:

P = 2 π ( d 3 G M M ) 1/2 = 2 π ( d 3 ( 4/3 ) π G R M 3 ρ M ) 1/2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \links({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\rechts)^{1/2}=2\pi \links({\frac {d^{3}}{(4/3)\ pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\rechts)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}

wobei G die Gravitationskonstante ist. Zum Beispiel eine Dichte von 3.346 g / ccm (die Dichte unseres Mondes) entspricht einer Umlaufzeit von 2, 552 Stunden.

Ableitung der Formelbearbeiten

Um die Roche-Grenze zu bestimmen, betrachten wir eine kleine Masse u {\displaystyle u}

auf der Oberfläche des Satelliten, der dem Primärsatelliten am nächsten liegt. Auf diese Masse wirken zwei Kräfte u {\displaystyle u}

: die Anziehungskraft in Richtung des Satelliten und die Anziehungskraft in Richtung des Primärs. Angenommen, der Satellit befindet sich im freien Fall um den Primärsatelliten und die Gezeitenkraft ist der einzige relevante Begriff für die Anziehungskraft des Primärsatelliten. Diese Annahme ist eine Vereinfachung, da der freie Fall nur wirklich für das Planetenzentrum gilt, aber für diese Ableitung ausreichen wird.

Die Anziehungskraft F G {\displaystyle F_{\text{G}}}

auf die Masse u {\displaystyle u}

in Richtung des Satelliten mit der Masse m {\displaystyle m}

und Radius r {\displaystyle r}

können nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ausgedrückt werden. F G = G m u r 2 {\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}

Die Gezeitenkraft F T {\displaystyle F_{\text{T}}}

auf der Masse u {\displaystyle u}

in Richtung Primär mit Radius R {\displaystyle R}

und Masse M {\displaystyle M}

, in einem Abstand d {\displaystyle d}

zwischen den Zentren der beiden Körper, kann ungefähr ausgedrückt werden als F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

.

Um diese Näherung zu erhalten, ermitteln Sie den Unterschied in der Gravitationskraft des Primärsatelliten in der Mitte des Satelliten und am Rand des Satelliten, der dem Primärsatelliten am nächsten liegt:

F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

In der Näherung mit r ≪ R {\displaystyle r\ll R}

und R < d {\displaystyle R<d}

, kann man sagen, dass die r 2 {\displaystyle r^{2}}

im Zähler und jeder Term mit r {\displaystyle r}

im Nenner geht auf Null, was uns ergibt: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

oder

G m u r 2 = 2 G M u r d 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

,

was die Roche-Grenze ergibt, d {\displaystyle d}

, als d = r ( 2 M m ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}

Der Radius des Satelliten sollte nicht im Ausdruck für die Grenze erscheinen, daher wird er in Dichten umgeschrieben.

Für eine Kugel kann die Masse M {\displaystyle M}

geschrieben werden als M = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}

wobei R {\displaystyle R}

der Radius des primären ist.

Und ebenso

m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}

wobei r {\displaystyle r}

der Radius des Satelliten ist.

Setzt man die Massen in der Gleichung für die Roche-Grenze ein und hebt 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3} auf

ergibt d = r ( 2 ρ M R 3 ρ m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^ {3}}}\right)^{1/3}}

,

was auf die folgende Roche-Grenze vereinfacht werden kann:

d = R ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.26 R (ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R\links(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\rechts)^{\frac {1}{3}}\ungefähr 1,26R\links({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\rechts)^{\frac {1}{3}}}

.

Eine genauere Formelbearbeiten

Da ein naher Satellit wahrscheinlich in einer nahezu kreisförmigen Umlaufbahn mit synchroner Rotation umkreisen wird, überlegen Sie, wie sich die Zentrifugalkraft aus der Rotation auf die Ergebnisse auswirkt. Diese Kraft ist

F C = ω 2 u r = G M u r d 3 {\displaystyle F_{C}=\omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}}

und sie wird zu FT addiert. Die Berechnung der Kraftbilanz ergibt folgendes Ergebnis für die Roche-Grenze:

d = R M ( 3 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.442 R M ( ρ M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{M}\left({\frac {\rho _ {M}}{\rho _{m}}}\rechts)^{\frac {1}{3}}}

………. (1)

oder: d = R m (3 M M M m ) 1 3 ≈ 1.442 R m (M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\links(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\rechts)^{\frac {1}{3}}\ungefähr 1.442R_{m}\links({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\rechts)^ {\frac {1}{3}}}

………. (2)

Verwenden Sie m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}

(wobei r {\displaystyle r}

der Radius des Satelliten ist) durch ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

in Formel(1) können wir eine dritte Formel haben:
d = ( 9 M M 4 π ρ m ) 1 3 ≈ 0,8947 ( M M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=\left({\frac {9M_{M}}{4\pi \rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.8947\links({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\rechts)^{\frac {1}{3}}}

………. (3)

Es genügt also, die Masse des Sterns (Planeten) zu beobachten und die Dichte des Planeten (Satelliten) abzuschätzen, um die Roche-Grenze des Planeten (Satelliten) im stellaren (Planeten-) System zu berechnen.

Roche-Grenze, Hügelkugel und Radius des Planetenbearbeiten

Betrachten Sie einen Planeten mit einer Dichte von ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

und einem Radius von r {\displaystyle r}

, der einen Stern mit umkreistdies ist die physikalische Bedeutung von Roche-Grenze, Roche-Lappen und Hill Sphere.

Formel(2) kann wie folgt beschrieben werden: R Roche = R Hügel 3 M m 3 = R sekundär 3 M m 3 {\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Hügel}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}=R_{\text{sekundär}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}}

, eine perfekte mathematische Symmetrie.
Dies ist die astronomische Bedeutung der Grenze und Hügel Kugel.

Hinweis: Roche Limit und Hill Sphere unterscheiden sich völlig voneinander, sind aber beide Arbeiten von Édouard Roche.

Die Kugel eines astronomischen Körpers ist die Region, in der er die Anziehungskraft von Satelliten dominiert, während die Grenze die minimale Entfernung ist, in der sich ein Satellit seinem Primärkörper nähern kann, ohne dass die Gezeitenkraft die innere Schwerkraft überwindet, die den Satelliten zusammenhält.

Hinweis: Roche limit und Hill sphere unterscheiden sich völlig voneinander, sind aber beide Werke von Édouard Roche.Die Kugel eines astronomischen Körpers ist die Region, in der er die Anziehungskraft von Satelliten dominiert, während die Grenze die minimale Entfernung ist, in der sich ein Satellit seinem Primärkörper nähern kann, ohne dass die Gezeitenkraft die innere Schwerkraft überwindet, die den Satelliten zusammenhält.

Fluid satellitesEdit

Ein genauerer Ansatz zur Berechnung der Roche-Grenze berücksichtigt die Verformung des Satelliten. Ein extremes Beispiel wäre ein gezeitenverschlossener flüssiger Satellit, der einen Planeten umkreist, wo jede auf den Satelliten einwirkende Kraft ihn zu einem verlängerten Sphäroid verformen würde.

Die Berechnung ist komplex und ihr Ergebnis kann nicht in einer exakten algebraischen Formel dargestellt werden. Roche selbst leitete die folgende ungefähre Lösung für die Roche-Grenze ab:

d ≈ 2.44 R ( ρ M ρ m ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2.44R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}

Eine bessere Näherung, die die Oblatenz des Primärs und die Masse des Satelliten berücksichtigt, ist jedoch:

d ≈ 2.423 R ( ρ M ρ m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 M ) + c 3 R ( 1 + m M ) 1 − c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\≈ 2.423R\left ({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\rechts)^{1/3}\links({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\rechts)^{1/3}}

wobei c/R {\displaystyle c/R}

ist die Oblatenz der primären. Der numerische Faktor wird mit Hilfe eines Computers berechnet.

Die flüssige Lösung eignet sich für Körper, die nur lose zusammengehalten werden, wie ein Komet. Zum Beispiel passierte die zerfallende Umlaufbahn des Kometen Shoemaker–Levy 9 um Jupiter im Juli 1992 seine Roche-Grenze, wodurch er in eine Reihe kleinerer Stücke zersplitterte. Bei ihrer nächsten Annäherung im Jahr 1994 stürzten die Fragmente in den Planeten. Shoemaker-Levy 9 wurde erstmals 1993 beobachtet, aber seine Umlaufbahn deutete darauf hin, dass es einige Jahrzehnte zuvor von Jupiter eingefangen worden war.

Ableitung der Formelbearbeiten

Da der flüssige Satellitenfall empfindlicher ist als der starre, wird der Satellit mit einigen vereinfachenden Annahmen beschrieben. Angenommen, das Objekt besteht aus inkompressibler Flüssigkeit mit konstanter Dichte ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

und Volumen V {\displaystyle V}

, die nicht von äußeren oder inneren Kräften abhängen. Angenommen, der Satellit bewegt sich in einer kreisförmigen Umlaufbahn und bleibt in synchroner Rotation. Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit ω {\displaystyle \omega }

, mit der es sich um seinen Massenschwerpunkt dreht, gleich der Winkelgeschwindigkeit ist, mit der es sich um den Baryzentrum des Gesamtsystems bewegt.

Die Winkelgeschwindigkeit ω {\displaystyle \omega }

ist durch Keplers drittes Gesetz gegeben: ω 2 = G M + m d 3 . {\displaystyle \omega ^{2}=G\,{\frac {M+m}{d^{3}}}.}

Wenn M sehr viel größer als m ist, liegt dies nahe an

ω 2 = G M d 3 . {\displaystyle \omega ^{2}=G\,{\frac {M}{d^{3}}}.}

Die synchrone Rotation impliziert, dass sich die Flüssigkeit nicht bewegt und das Problem als statisch angesehen werden kann. Daher spielen die Viskosität und Reibung der Flüssigkeit in diesem Modell keine Rolle, da diese Größen nur für eine sich bewegende Flüssigkeit eine Rolle spielen würden.

Unter diesen Annahmen sollten die folgenden Kräfte berücksichtigt werden:

• Die Gravitationskraft aufgrund des Hauptkörpers;
• die Zentrifugalkraft im rotierenden Bezugssystem; und
• das Selbstgravitationsfeld des Satelliten.

Da alle diese Kräfte konservativ sind, können sie mittels eines Potentials ausgedrückt werden. Darüber hinaus ist die Oberfläche des Satelliten äquipotentiell. Andernfalls würden die Potentialunterschiede zu Kräften und Bewegungen einiger Teile der Flüssigkeit an der Oberfläche führen, was der statischen Modellannahme widerspricht. Angesichts des Abstands vom Hauptkörper muss die Form der Oberfläche bestimmt werden, die die Äquipotentialbedingung erfüllt.

Da die Umlaufbahn kreisförmig angenommen wurde, heben sich die auf den Hauptkörper wirkende Gesamtgravitationskraft und die orbitale Zentrifugalkraft auf. Das lässt zwei Kräfte: die Gezeitenkraft und die Rotationszentrifugalkraft. Die Gezeitenkraft hängt von der Position in Bezug auf den Massenschwerpunkt ab, die bereits im starren Modell berücksichtigt wurde. Bei kleinen Körpern ist der Abstand der Flüssigkeitspartikel von der Körpermitte klein im Verhältnis zum Abstand d zum Grundkörper. Somit kann die Gezeitenkraft linearisiert werden, was zu der gleichen Formel für FT führt, wie oben angegeben.

Während diese Kraft im starren Modell nur vom Radius r des Satelliten abhängt, müssen im flüssigen Fall alle Punkte auf der Oberfläche berücksichtigt werden, und die Gezeitenkraft hängt von der Entfernung Δd vom Massenmittelpunkt zu einem bestimmten Teilchen ab, das auf die Verbindungslinie zwischen Satellit und Hauptkörper projiziert wird. Wir nennen Δd den radialen Abstand. Da die Gezeitenkraft in Δd linear ist, ist das zugehörige Potential proportional zum Quadrat der Variablen und für m ≪ M {\displaystyle m\ll M}

haben wir V T = − 3 G M 2 d 3 Δ d 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

Ebenso hat die Zentrifugalkraft ein Potential

V C = − 1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M 2 d 3 Δ d 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{ \frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

für die Drehwinkelgeschwindigkeit ω {\displaystyle \omega }

.

Wir wollen die Form des Satelliten bestimmen, für den die Summe des Selbstgravitationspotentials und VT + VC auf der Oberfläche des Körpers konstant ist. Im Allgemeinen ist ein solches Problem sehr schwer zu lösen, aber in diesem speziellen Fall kann es durch eine geschickte Vermutung aufgrund der quadratischen Abhängigkeit des Gezeitenpotentials vom radialen Abstand Δd gelöst werden.

Da sich das Potential VT nur in einer Richtung, d.h. der Richtung zum Hauptkörper hin ändert, ist zu erwarten, dass der Satellit eine achssymmetrische Form annimmt. Genauer gesagt können wir annehmen, dass es die Form eines Revolutionskörpers annimmt. Das Eigenpotential auf der Oberfläche eines solchen Rotationskörpers kann nur vom radialen Abstand zum Massenschwerpunkt abhängen. In der Tat ist der Schnittpunkt des Satelliten und einer Ebene senkrecht zur Verbindungslinie der Körper eine Scheibe, deren Grenze nach unseren Annahmen ein Kreis konstanten Potentials ist. Sollte die Differenz zwischen Eigengravitationspotential und VT konstant sein, müssen beide Potentiale in gleicher Weise von Δd abhängen. Mit anderen Worten, das Eigenpotential muss proportional zum Quadrat von Δd sein. Dann kann gezeigt werden, dass die Äquipotentiallösung ein Ellipsoid der Revolution ist. Bei konstanter Dichte und Volumen hängt das Eigenpotential eines solchen Körpers nur von der Exzentrizität ε des Ellipsoids ab:

epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep {m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \Delta d^{2},}

wobei V s 0 {\displaystyle V_{s_{0}}}

das konstante Selbstpotential am Schnittpunkt der Kreiskante des Körpers und der zentralen Symmetrieebene ist, die durch die Gleichung Δd=0 gegeben ist.

Die dimensionslose Funktion f ist aus der exakten Lösung für das Potential des Ellipsoids zu bestimmen

f (ε ) = 1 − ε 2 ε 3 ⋅ {\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}

und hängt überraschenderweise nicht vom Volumen des Satelliten ab.

Obwohl die explizite Form der Funktion f kompliziert aussieht, ist es klar, dass wir den Wert von ε so wählen können und müssen, dass das Potential VT gleich VS plus einer von der Variablen Δd unabhängigen Konstante ist. Nach Prüfung tritt dies auf, wenn

2 G π ρ M R 3 d 3 = G π ρ m f (ε ) {\displaystyle {\frac {2G\pi \rho _{M}R^{3}}{d^{3}}}=G\pi \rho _{m}f(\varepsilon )}

Diese Gleichung kann numerisch gelöst werden. Die Grafik zeigt, dass es zwei Lösungen gibt und somit die kleinere die stabile Gleichgewichtsform darstellt (das Ellipsoid mit der kleineren Exzentrizität). Diese Lösung bestimmt die Exzentrizität des Gezeitenellipsoids als Funktion des Abstands zum Hauptkörper. Die Ableitung der Funktion f hat eine Null, wo die maximale Exzentrizität erreicht wird. Dies entspricht der Roche-Grenze.

Genauer gesagt wird die Roche-Grenze dadurch bestimmt, dass die Funktion f, die als nichtlineares Maß für die Kraft angesehen werden kann, die das Ellipsoid in Richtung einer Kugelform drückt, so begrenzt ist, dass es eine Exzentrizität gibt, bei der diese Kontraktionskraft maximal wird. Da die Gezeitenkraft zunimmt, wenn sich der Satellit dem Hauptkörper nähert, ist klar, dass es einen kritischen Abstand gibt, in dem das Ellipsoid aufgerissen wird.

Die maximale Exzentrizität kann numerisch als Null der Ableitung von f‘ berechnet werden. Man erhält

ε max ≈ 0 . 86 {\displaystyle \varepsilon _{\text{max}}\ungefähr 0{.}86}

, was dem Verhältnis der Ellipsoidachsen 1:1,95 entspricht. Wenn man dies in die Formel für die Funktion f einfügt, kann man den minimalen Abstand bestimmen, in dem das Ellipsoid existiert. Dies ist die Roche-Grenze,

d ≈ 2 . 423 ⋅ R ⋅ ρ M ρ m 3 . {\displaystyle d\ca. 2{.}423\cdot R\cdot {\sqrt{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}}\,.}