5.15: Ecuaciones de Poisson y Laplace
En esta sección, desarrollamos un enfoque alternativo para calcular \(V({\bf r})\) que se adapta a estas condiciones de contorno, y por lo tanto facilita el análisis del campo de potencial escalar en la vecindad de estructuras y propiedades de materiales que varían espacialmente. Este enfoque alternativo se basa en la ecuación de Poisson, que ahora derivamos.
comenzamos con la forma diferencial de la Ley de Gauss (Sección 5.7):
\
\
a continuación, aplicamos la relación (Sección 5.14):
\ rendimiento \
Esta es la Ecuación de Poisson, pero no en la forma en que se emplean comúnmente. Para obtener la forma alternativa, considere el operador \(\nabla \ cdot \nabla\) en coordenadas cartesianas:
\
La ecuación de Poisson (Ecuación \ ref{m0067_ePoisson}) establece que el laplaciano del campo de potencial eléctrico es igual a la densidad de carga de volumen dividida por la permitividad, con un cambio de signo.
Tenga en cuenta que la ecuación de Poisson es una ecuación diferencial parcial, y por lo tanto se puede resolver utilizando técnicas bien conocidas ya establecidas para tales ecuaciones. De hecho, la ecuación de Poisson es una ecuación diferencial no homogénea, con la parte no homogénea \(-\rho_v/\epsilon\) representando la fuente del campo. En presencia de la estructura del material, identificamos las condiciones de contorno relevantes en las interfaces entre los materiales, y la tarea de encontrar \(V({\bf r})\) se reduce a la tarea puramente matemática de resolver el problema del valor de contorno asociado (consulte «Lectura adicional» al final de esta sección). Este enfoque es particularmente efectivo cuando uno de los materiales es un conductor perfecto o puede modelarse como tal material. Esto se debe a que, como se señaló al principio de esta sección, el potencial eléctrico en todos los puntos de la superficie de un conductor perfecto debe ser igual, lo que resulta en una condición de límite particularmente simple.
En muchas otras aplicaciones, la carga responsable del campo eléctrico se encuentra fuera del dominio del problema; es decir, tenemos un campo eléctrico distinto de cero (por lo tanto, potencial eléctrico potencialmente distinto de cero) en una región que es gratuita. En este caso, la Ecuación de Poisson se simplifica a la Ecuación de Laplace:
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La ecuación de Laplace (Ecuación \ref{m0067_eLaplace}) establece que el laplaciano del campo de potencial eléctrico es cero en una región libre de fuentes.