Hemos visto que un sistema mecánico sujeto a fuerzas conservadoras está en equilibrio cuando las derivadas de la energía potencial con respecto a las coordenadas son cero. Un método para resolver tales problemas, por lo tanto, es escribir una expresión para la energía potencial y poner las derivadas iguales a cero.

Un método muy similar es utilizar el principio de trabajo virtual. En este método, imaginamos que actuamos sobre el sistema de tal manera que aumentamos una de las coordenadas. Imaginamos, por ejemplo, lo que sucedería si estiráramos uno de los resortes, o aumentáramos el ángulo entre dos varillas articuladas, o el ángulo que hace la escalera al apoyarse en la pared. Nos preguntamos cuánto trabajo tenemos que hacer en el sistema para aumentar esta coordenada en una pequeña cantidad. Si el sistema parte del equilibrio, este trabajo será muy pequeño, y, en el límite de un desplazamiento infinitesimalmente pequeño, este «trabajo virtual» será cero. Este método es muy poco diferente de establecer la derivada de la energía potencial a cero. Lo menciono aquí, sin embargo, porque el concepto podría ser útil en el Capítulo 13 para describir el principio variacional de Hamilton.

Comencemos por hacer un problema de escalera simple por el método de trabajo virtual. La escalera uniforme habitual de física de secundaria, de longitud \ (2l\) y peso \ (mg\), se inclina en equilibrio estático limitante contra la pared vertical lisa habitual y el piso horizontal rugoso cuyo coeficiente de fricción estática limitante es \( \mu\). ¿Cuál es el ángulo \(\theta \) que hace la escalera con la pared vertical?

Hay varias maneras de hacer esto, que serán familiares para muchos lectores. El único pequeño recordatorio que daré es señalar que, si desea combinar las dos fuerzas al pie de la escalera en una sola fuerza que actúe hacia arriba y un poco hacia la izquierda, de modo que solo haya tres fuerzas que actúen en la escalera, las tres fuerzas deben actuar a través de un solo punto, que estará por encima del centro de la escalera y a la derecha del punto de contacto con la pared. Pero ahora estamos interesados en resolver este problema por el principio del trabajo virtual.

Antes de comenzar, debo advertir que es importante al usar el principio del trabajo virtual ser meticulosamente cuidadoso con los signos, y en ese sentido recuerdo a los lectores que en el cálculo diferencial los símbolos \( \delta\) y \( d\) delante de una cantidad escalar \( x\) no significan «un pequeño cambio en» o «un cambio infinitesimal» en \( x\). Ese lenguaje es vago. Los símbolos representan » un pequeño aumento en «y»un aumento infinitesimal en».

Vamos a tomar nota de las siguientes distancias:

\

y

\

\

y

\

Además, si hubiera un aumento de \( \theta\) con \( \delta\theta\), el trabajo realizado por la fuerza en C sería \( mg\) veces la disminución de la distancia de CD, y el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en E iba a ser menos \( \mu mg\) veces el aumento de la distancia de SER. Las otras dos fuerzas no funcionan. Por lo tanto, el» trabajo virtual » realizado por las fuerzas externas en la escalera es

\

Al poner la expresión para el trabajo virtual a cero, obtenemos

\

Debe verificar que esta es la misma respuesta que obtiene de otros métodos, el más fácil de los cuales es probablemente tomar momentos sobre E.

Hay algo en el trabajo virtual que me recuerda a la termodinámica. La primera ley de la termodinámica, por ejemplo, es \ (\Delta U = \ Delta q+ \ Delta w\), donde \( \Delta U\) es el aumento de la energía interna del sistema, \ (\Delta q\) es el calor añadido al sistema, y \( \Delta w\) es el trabajo realizado en el sistema. Las preposiciones juegan un papel importante en la termodinámica. Siempre es obligatorio indicar claramente y sin ambigüedades si el trabajo se realiza por el pistón en el gas, o por el gas en el sistema; o si el calor es ganado por el sistema o se pierde de él. Sin estas preposiciones, toda discusión carece de sentido. Del mismo modo, al resolver un problema por el principio del trabajo virtual, siempre es esencial decir si está describiendo el trabajo realizado por una fuerza en qué parte del sistema (en la escalera o en el piso?) y si está describiendo un aumento o una disminución de alguna longitud o ángulo.

Pasemos ahora a un problema un poco más difícil, que intentaremos con tres métodos diferentes, incluido el trabajo virtual.

En la Figura IX. 5, una varilla uniforme AB de peso \( Mg\) y longitud \( 2a\) se articula libremente en A. El extremo B lleva un anillo liso de masa insignificante. Una cadena inextensible ligera de longitud \ (l\) tiene un extremo unido a un punto fijo C al mismo nivel que A y distante \( 2a\) de él. Pasa a través del anillo y lleva en su otro extremo un peso \( \frac{1}{10}Mg\) colgando libremente. (El anillo «liso» significa que la tensión en la cuerda es la misma en ambos lados del anillo.) Encuentre la CABINA de ángulo cuando el sistema esté en equilibrio.

He marcado en varios ángulos y longitudes, que se pueden determinar fácilmente a partir de la geometría del sistema, y también he marcado las cuatro fuerzas en la varilla.

intentemos primero una muy método convencional. Sabemos bastante poco sobre la fuerza R de la bisagra en la varilla (aunque vea más abajo), y por lo tanto esta es una buena razón para tomarse momentos sobre el punto A. Inmediatamente obtenemos

\

Ahora intentemos el mismo problema usando condiciones de energía. Tomaremos el cero de energía potencial cuando la varilla es horizontal, momento en el que la masa pequeña está a una distancia l por debajo del nivel AC.

\=-\frac{2}{3}Mga(3\sin\theta\sin\frac{1}{2}\theta)\]

El derivado

\

Ahora vamos a intentarlo por trabajo virtual. Vamos a aumentar \ (\theta\) por \(\delta\ theta\) y ver cuánto trabajo se ha hecho.

Así, el trabajo virtual es

\

Si ponemos esta igual a cero, obtenemos el mismo resultado que antes.