Límite Roche
La distancia límite a la que un satélite puede acercarse sin romperse depende de la rigidez del satélite. En un extremo, un satélite completamente rígido mantendrá su forma hasta que las fuerzas de marea lo rompan. En el otro extremo, un satélite altamente fluido se deforma gradualmente, lo que provoca un aumento de las fuerzas de marea, lo que hace que el satélite se alarga, agrava aún más las fuerzas de marea y hace que se rompa más fácilmente.
La mayoría de los satélites reales se encontrarían en algún lugar entre estos dos extremos, con una resistencia a la tracción que haría que el satélite no fuera ni perfectamente rígido ni perfectamente fluido. Por ejemplo, un asteroide de pila de escombros se comportará más como un fluido que como un sólido rocoso; un cuerpo helado se comportará de manera bastante rígida al principio, pero se volverá más fluido a medida que el calentamiento de las mareas se acumule y sus hielos comiencen a derretirse.
Pero tenga en cuenta que, como se definió anteriormente, el límite de Roche se refiere a un cuerpo unido únicamente por las fuerzas gravitacionales que causan que las partículas no conectadas se unan, formando así el cuerpo en cuestión. El límite de Roche también se calcula generalmente para el caso de una órbita circular, aunque es sencillo modificar el cálculo para aplicarlo al caso (por ejemplo) de un cuerpo que pasa el primario en una trayectoria parabólica o hiperbólica.
Cálculo de satélites rígidoseditar
El límite Roche de cuerpo rígido es un cálculo simplificado para un satélite esférico. Las formas irregulares, como las de deformación de marea en el cuerpo o las órbitas primarias, se descuidan. Se supone que está en equilibrio hidrostático. Estas suposiciones, aunque poco realistas, simplifican en gran medida los cálculos.
El límite de Roche para un satélite esférico rígido es la distancia, d {\displaystyle d}
, desde el primario en el que la fuerza gravitacional en una masa de prueba en la superficie del objeto es exactamente igual a la fuerza de marea que aleja la masa del objeto: d = R M ( 2 ρ ρ M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(2{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
donde R M {\displaystyle R_{M}}
es el radio de la primaria, ρ M {\displaystyle \rho _{M}}
es la densidad de la primaria, y ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
es la densidad del satélite. Esto puede ser equivalentemente, se escribe como d = R m ( 2 M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
donde R m {\displaystyle R_{m}}
es el radio de la secundaria, M M {\displaystyle M_{M}}
es la masa de la primaria, y M m {\displaystyle M_{m}}
es la masa de la secundaria.
Esto no depende del tamaño de los objetos, sino de la relación de densidades. Esta es la distancia orbital dentro de la cual el material suelto (por ejemplo, regolito) en la superficie del satélite más cercano al primario se alejaría, y del mismo modo el material en el lado opuesto al primario también se alejará del satélite, en lugar de dirigirse hacia él.
Tenga en cuenta que este es un resultado aproximado, ya que la fuerza de inercia y la estructura rígida se ignoran en su derivación.
El período orbital depende entonces solo de la densidad del secundario:
P = 2 π ( d 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( d 3 ( 4 / 3 ) π G R a M 3 ρ M ) 1 / 2 = 6 π ρ G m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}
donde G es la constante gravitacional. Por ejemplo, una densidad de 3.346 g / cc (la densidad de nuestra luna) corresponde a un período orbital de 2.552 horas.
Derivación de la formulaEdit
con el fin De determinar el límite de Roche, considere la posibilidad de una pequeña masa u {\displaystyle u}
en la superficie del satélite más cercano a la primaria. Hay dos fuerzas en esta misa u {\displaystyle u}
: la atracción gravitacional hacia el satélite y la atracción gravitacional hacia el primario. Supongamos que el satélite está en caída libre alrededor de la primaria y que la fuerza de marea es el único término relevante de la atracción gravitatoria de la primaria. Esta suposición es una simplificación, ya que la caída libre solo se aplica verdaderamente al centro planetario, pero será suficiente para esta derivación.
La fuerza gravitacional F G {\displaystyle F_{\text{G}}}
en la misa u {\displaystyle u}
hacia el satélite con una masa m {\displaystyle m}
y radio r {\displaystyle r}
puede ser expresado de acuerdo a la ley de Newton de la gravitación. F G = G m u r 2 {\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}
la fuerza de las mareas F T {\displaystyle F_{\text{T}}}
en la misa u {\displaystyle u}
hacia la primaria con radio R {\displaystyle R}
y masa M {\displaystyle M}
, a una distancia d {\displaystyle d}
entre los centros de los dos cuerpos, se puede expresar aproximadamente como F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}
.
Para obtener esta aproximación, encuentre la diferencia en la atracción gravitacional de la primaria en el centro del satélite y en el borde del satélite más cercano a la primaria:
F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}
F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}
F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}
En la aproximación donde r ≪ R {\displaystyle r\ll R}
y R < d {\displaystyle R<d}
, se puede decir que el r 2 {\displaystyle r^{2}}
en el numerador y cada término con r {\displaystyle r}
en el denominador tiende a cero, lo que nos da: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}
F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}
The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.
F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}
o
G m u r 2 = 2 G M u r d 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}
,
, que da el límite de Roche, d {\displaystyle d}
, como d = r ( 2 M m ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}
El radio del satélite no debe aparecer en la expresión para el límite, por lo que es re-escrita en términos de las densidades.
Para una esfera de masa M {\displaystyle M}
se puede escribir como M = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}
donde R {\displaystyle R}
es el radio de la primaria.
asimismo
m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}
donde r {\displaystyle r}
es el radio del satélite.
la Sustitución de las masas en la ecuación para el límite de Roche, y la cancelación de 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}
da d = r ( 2 ρ M R 3 ρ m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}
,
, que puede ser simplificado hasta el siguiente límite de Roche:
d = R ( 2 ρ ρ M m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( ρ ρ M m ) 1 3 {\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.26 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
.
Una fórmula más preciaeditar
Dado que un satélite cercano probablemente orbitará en una órbita casi circular con rotación sincrónica, considere cómo la fuerza centrífuga de la rotación afectará los resultados. Que la fuerza es
F C = ω 2 u r = G M u r d 3 {\displaystyle F_{C}=\omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}}
y que se añade a FT. Haciendo el equilibrio de fuerza cálculo de los rendimientos de este resultado para el límite de Roche:
d = R M ( 3 ρ ρ M m ) 1 3 ≈ 1.442 R M ( ρ ρ M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{M}\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
………. (1)
o: d = R m ( 3 M M M m ) 1 3 ≈ 1.442 R m M M M m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
………. (2)
el Uso de m = 4 π ρ m r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}
(donde r {\displaystyle r}
es el radio de satélite) para reemplazar ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
en la fórmula(1), podemos tener una tercera fórmula:
d = ( 9 M M 4 π ρ m ) 1 3 ≈ 0.8947 ( M M ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=\left({\frac {9M_{M}}{4\pi \rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\aprox 0.8947\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
………. (3)
Por lo tanto, es suficiente observar la masa de la estrella (planeta) y estimar la densidad del planeta (satélite) para calcular el límite de Roche del planeta (satélite) en el sistema estelar (planetario).
Límite de Roche, esfera de Colina y radio del planetaeditar
Considere un planeta con una densidad de ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
y un radio de r {\displaystyle r}
, orbitando una estrella con significado de límite de Roche, lóbulo de Roche y Hill sphere.
la Fórmula(2) puede ser descrito como: Roche R = R Hill 3 M m 3 = R secundaria 3 M m 3 {\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Hill}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}=R_{\text{secundaria}}{\sqrt{\frac {3M}{m}}}}
, un matemático perfecto de simetría.Este es el significado astronómico de Roche limit y Hill sphere.
Nota: Roche limit y Hill sphere son completamente diferentes entre sí, pero ambos son obra de Édouard Roche.
La esfera de colina de un cuerpo astronómico es la región en la que domina la atracción de los satélites, mientras que el límite de Roche es la distancia mínima a la que un satélite puede acercarse a su cuerpo primario sin que la fuerza de marea supere la gravedad interna que mantiene unido al satélite.
La esfera de colina de un cuerpo astronómico es la región en la que domina la atracción de los satélites, mientras que el límite de Roche es la distancia mínima a la que un satélite puede acercarse a su cuerpo primario sin que la fuerza de marea supere la gravedad interna que mantiene unido al satélite.
Satélites fluidoseditar
Un enfoque más preciso para calcular el límite de Roche tiene en cuenta la deformación del satélite. Un ejemplo extremo sería un satélite líquido bloqueado por las mareas que orbita un planeta, donde cualquier fuerza que actúe sobre el satélite lo deformaría en un esferoide prolato.
El cálculo es complejo y su resultado no se puede representar en una fórmula algebraica exacta. El propio Roche derivó la siguiente solución aproximada para el límite de Roche:
d ≈ 2.44 R (ρ M ρ m ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2.44 R\left ({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}
sin Embargo, una mejor aproximación que tenga en cuenta la primaria oblateness y el satélite de masa es:
d ≈ 2.423 R ( ρ ρ M m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 M ) + c 3 R ( 1 + m ) 1 − c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\aprox 2.423 R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\derecho)^{1/3}}
dónde c / R {\displaystyle c/R}
es el oblateness de la primaria. El factor numérico se calcula con la ayuda de un ordenador.
La solución líquida es apropiada para cuerpos que solo se mantienen sueltos, como un cometa. Por ejemplo, la órbita en descomposición del cometa Shoemaker–Levy 9 alrededor de Júpiter pasó dentro de su límite de Roche en julio de 1992, causando que se fragmentara en varias piezas más pequeñas. En su siguiente aproximación en 1994, los fragmentos se estrellaron contra el planeta. Shoemaker-Levy 9 fue observado por primera vez en 1993, pero su órbita indicaba que había sido capturado por Júpiter unas décadas antes.
Derivación de la formulaeditar
Como el caso del satélite fluido es más delicado que el rígido, el satélite se describe con algunas suposiciones simplificadoras. En primer lugar, supongamos que el objeto consiste en fluido incompresible que tiene densidad constante ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
y volumen V {\displaystyle V}
que no dependen de esfuerzos externos o internos.
Segundo, supongamos que el satélite se mueve en una órbita circular y permanece en rotación sincrónica. Esto significa que la velocidad angular ω {\displaystyle \omega }
a la que gira alrededor de su centro de masa es la misma que la velocidad angular a la que se mueve alrededor del baricentro general del sistema.
La velocidad angular ω {\displaystyle \ omega}
viene dada por la tercera ley de Kepler: ω 2 = G M + m d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {M+m}{d^{3}}}.}
Cuando M es mucho más grande que m, esto estará cerca de
ω 2 = G M d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {M}{d^{3}}}.}
La rotación síncrona implica que el líquido no se mueve y el problema puede considerarse estático. Por lo tanto, la viscosidad y la fricción del líquido en este modelo no desempeñan un papel, ya que estas cantidades desempeñarían un papel solo para un fluido en movimiento.
Dadas estas suposiciones, se deben tener en cuenta las siguientes fuerzas:
- La fuerza de gravitación debida al cuerpo principal;
- la fuerza centrífuga en el sistema de referencia giratorio; y
- el campo de auto gravitación del satélite.
Dado que todas estas fuerzas son conservadoras, pueden expresarse por medio de un potencial. Además, la superficie del satélite es equipotencial. De lo contrario, las diferencias de potencial darían lugar a fuerzas y movimientos de algunas partes del líquido en la superficie, lo que contradice la suposición del modelo estático. Dada la distancia del cuerpo principal, debe determinarse la forma de la superficie que satisface la condición equipotencial.
Como la órbita se ha asumido circular, la fuerza gravitacional total y la fuerza centrífuga orbital que actúan sobre el cuerpo principal se cancelan. Eso deja dos fuerzas: la fuerza de marea y la fuerza centrífuga de rotación. La fuerza de marea depende de la posición con respecto al centro de masa, ya considerada en el modelo rígido. Para cuerpos pequeños, la distancia de las partículas líquidas desde el centro del cuerpo es pequeña en relación con la distancia d al cuerpo principal. Por lo tanto, la fuerza de marea se puede linealizar, lo que resulta en la misma fórmula para FT que se dio anteriormente.
Mientras que esta fuerza en el modelo rígido depende solo del radio r del satélite, en el caso del fluido, se deben considerar todos los puntos de la superficie, y la fuerza de marea depende de la distancia Δd desde el centro de masa a una partícula dada proyectada en la línea que une el satélite y el cuerpo principal. Llamamos Δd a la distancia radial. Puesto que la fuerza de marea es lineal en Δd, el potencial es proporcional al cuadrado de la variable y para m ≪ M {\displaystyle m\ll M}
se tiene que V T = − 3 G M 2 d 3 D d 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM (} {2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}
Asimismo, la fuerza centrífuga tiene un potencial
V C = − 1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M 2 d 3 D d 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}
para el rotacional de la velocidad angular ω {\displaystyle \omega }
.
Queremos determinar la forma del satélite para el que la suma del potencial de autogravitación y VT + VC es constante en la superficie del cuerpo. En general, este problema es muy difícil de resolver, pero en este caso particular, se puede resolver mediante una suposición hábil debido a la dependencia cuadrada del potencial de marea en la distancia radial Δd A una primera aproximación, podemos ignorar el potencial centrífugo VC y considerar solo el potencial de marea VT.
Dado que la TV potencial cambia solo en una dirección, es decir, la dirección hacia el cuerpo principal, se puede esperar que el satélite tome una forma axialmente simétrica. Más precisamente, podemos suponer que toma la forma de un sólido de revolución. El potencial propio en la superficie de tal sólido de revolución solo puede depender de la distancia radial al centro de masa. De hecho, la intersección del satélite y un plano perpendicular a la línea que une los cuerpos es un disco cuyo límite, según nuestras suposiciones, es un círculo de potencial constante. Si la diferencia entre el potencial de autogravitación y la TV es constante, ambos potenciales deben depender de la misma manera de Δd. En otras palabras, el potencial propio tiene que ser proporcional al cuadrado de Δd. Entonces se puede demostrar que la solución equipotencial es un elipsoide de revolución. Dada una densidad y un volumen constantes, el potencial propio de dicho cuerpo depende solo de la excentricidad ε del elipsoide:
V s = V s 0 + G π ρ m ⋅ f ( ε ) ⋅ Δ d 2 , {\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}}+G\pi \rho _{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \Delta d^{2},}
donde V s 0 {\displaystyle V_{s_{0}}}
es la constante de auto-potencial en la intersección del borde circular del cuerpo y de la central de simetría plano determinado por la ecuación Δd=0.
La adimensional de la función f se determinará a partir de la solución exacta para el potencial de la elipsoide
f ( ε ) = 1 − ε 2 ε 3 ⋅ {\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}
y, sorprendentemente, no dependen del volumen de satélite.
Aunque la forma explícita de la función f parece complicada, está claro que podemos elegir, y lo hacemos, el valor de ε para que el potencial VT sea igual a VS más una constante independiente de la variable Δd. Por la inspección, esto ocurre cuando
2 G π ρ M R 3 d 3 = G π ρ m f ( ε ) {\displaystyle {\frac {2G\pi \rho _{M}R^{3}}{d^{3}}}=G\pi \rho _{m}f(\varepsilon )}
Esta ecuación puede resolverse numéricamente. El gráfico indica que hay dos soluciones y, por lo tanto, la más pequeña representa la forma de equilibrio estable (el elipsoide con la excentricidad más pequeña). Esta solución determina la excentricidad del elipsoide de marea en función de la distancia al cuerpo principal. La derivada de la función f tiene un cero donde se alcanza la excentricidad máxima. Esto corresponde al límite de Roche.
Más precisamente, el límite de Roche está determinado por el hecho de que la función f, que puede considerarse como una medida no lineal de la fuerza que comprime el elipsoide hacia una forma esférica, está limitada de modo que hay una excentricidad en la que esta fuerza de contracción se convierte en máxima. Dado que la fuerza de marea aumenta cuando el satélite se acerca al cuerpo principal, está claro que hay una distancia crítica a la que el elipsoide se rompe.
La excentricidad máxima se puede calcular numéricamente como el cero de la derivada de f’. Se obtiene
ε max ≈ 0 . 86 {\displaystyle \varepsilon _{\text {max}} \ approx 0{.}86}
que corresponde a la relación de los ejes elipsoidales 1:1.95. Insertando esto en la fórmula para la función f se puede determinar la distancia mínima a la que existe el elipsoide. Este es el límite de Roche,
d ≈ 2 . 423 ⋅ R ⋅ ρ M ρ m 3 . {\displaystyle d \ approx 2{.}423\cdot R\cdot {\sqrt{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}}\,.}
Sorprendentemente, incluir el potencial centrífugo hace muy poca diferencia, aunque el objeto se convierte en un elipsoide de Roche, un elipsoide triaxial general con todos los ejes que tienen diferentes longitudes. El potencial se convierte en una función mucho más complicada de las longitudes de eje, que requiere funciones elípticas. Sin embargo, la solución procede mucho como en el caso de solo marea, y encontramos
d ≈ 2 . 455 ⋅ R ⋅ ρ M ρ m 3 . {\displaystyle d \ approx 2{.}455\cdot R\cdot {\sqrt{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}}\,.}
