El modelo SIR es uno de los modelos compartimentales más simples, y muchos modelos son derivados de esta forma básica. El modelo consta de tres compartimentos: –

S: El número de individuos susceptibles. Cuando un individuo susceptible y un individuo infeccioso entran en «contacto infeccioso», el individuo susceptible contrae la enfermedad y pasa al compartimiento infeccioso. I: El número de individuos infecciosos. Estos son individuos que han sido infectados y son capaces de infectar a individuos susceptibles. R para el número de individuos eliminados (e inmunes) o fallecidos. Se trata de individuos que han sido infectados y se han recuperado de la enfermedad y han entrado en el compartimiento eliminado, o han muerto. Se supone que el número de muertes es insignificante con respecto a la población total. Este compartimento también puede llamarse «recuperado»o » resistente».

Este modelo es razonablemente predictivo para enfermedades infecciosas que se transmiten de un ser humano a otro, y en las que la recuperación confiere resistencia duradera, como el sarampión, las paperas y la rubéola.

Estas variables (S, I y R) representan el número de personas en cada compartimento en un momento determinado. Para representar que el número de individuos susceptibles, infecciosos y eliminados puede variar con el tiempo (incluso si el tamaño total de la población permanece constante), hacemos que los números precisos sean una función de t (tiempo): S(t), I(t) y R(t). Para una enfermedad específica en una población específica, estas funciones se pueden desarrollar para predecir posibles brotes y controlarlos.

Como lo implica la función variable de t, el modelo es dinámico en el sentido de que los números en cada compartimiento pueden fluctuar con el tiempo. La importancia de este aspecto dinámico es más evidente en una enfermedad endémica con un período infeccioso corto, como el sarampión en el Reino Unido antes de la introducción de una vacuna en 1968. Tales enfermedades tienden a ocurrir en ciclos de brotes debido a la variación en el número de susceptibles (S(t)) a lo largo del tiempo. Durante una epidemia, el número de individuos susceptibles disminuye rápidamente a medida que más de ellos se infectan y, por lo tanto, entran en los compartimentos infecciosos y eliminados. La enfermedad no puede reaparecer hasta que se haya recuperado el número de sensibles, por ejemplo, como resultado del nacimiento de crías en el compartimento sensible.

Cada uno de los miembros de la población típicamente progresa de susceptibles a las infecciosas a recuperar. Esto se puede mostrar como un diagrama de flujo en el que las cajas representan los diferentes compartimentos y las flechas la transición entre compartimentos, es decir,

Tasas de transicióneditar

Para la especificación completa del modelo, las flechas deben etiquetarse con las tasas de transición entre compartimentos. Entre S e I, se supone que la tasa de transición es d (S/N)/dt = -ßSI/N2, donde N es la población total, β es el número medio de contactos por persona por tiempo, multiplicado por la probabilidad de transmisión de la enfermedad en un contacto entre un sujeto susceptible y un sujeto infeccioso, y SI/N2 es la fracción de esos contactos entre un individuo infeccioso y susceptible que resultan en que la persona susceptible se infecte. (Esto es matemáticamente similar a la ley de acción de masas en química, en la que las colisiones aleatorias entre moléculas dan lugar a una reacción química y la velocidad fraccional es proporcional a la concentración de los dos reactivos).

Entre I y R, se asume que la tasa de transición es proporcional al número de individuos infecciosos que es yI. Esto es equivalente a asumir que la probabilidad de que un individuo infeccioso se recupere en cualquier intervalo de tiempo dt es simplemente ydt. Si un individuo es infeccioso durante un período de tiempo promedio D, entonces γ = 1 / D. Esto también es equivalente a la suposición de que el tiempo que pasa un individuo en estado infeccioso es una variable aleatoria con una distribución exponencial. El modelo SIR» clásico » puede modificarse utilizando distribuciones más complejas y realistas para la tasa de transición I-R (por ejemplo, la distribución Erlang).

Para el caso especial en el que no hay eliminación del compartimiento infeccioso (γ=0), el modelo SIR se reduce a un modelo SI muy simple, que tiene una solución logística, en la que cada individuo eventualmente se infecta.

El modelo SIR sin dinámica vital Edit

La dinámica de una epidemia, por ejemplo, la gripe, a menudo es mucho más rápida que la dinámica del nacimiento y la muerte, por lo tanto, el nacimiento y la muerte a menudo se omiten en modelos compartimentales simples. El sistema SIR sin la llamada dinámica vital (nacimiento y muerte, a veces llamada demografía) descrita anteriormente se puede expresar mediante el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias:

d S d t = − β I S N d I d t = β I S N − γ I d R d t = γ I , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta}{N}},\\&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta}{N}}-\gamma I,\\&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}}

donde S {\displaystyle S}

es el stock de población susceptible, I {\displaystyle I}

es el stock de infectados, R {\displaystyle R}

es la acción de quitarse la población (ya sea por muerte o recuperación), y N {\displaystyle N}

es la suma de estos tres.

Este modelo fue propuesto por primera vez por William Ogilvy Kermack y Anderson Gray McKendrick como un caso especial de lo que ahora llamamos teoría Kermack–McKendrick, y siguió el trabajo que McKendrick había hecho con Ronald Ross.

Este sistema no es lineal, sin embargo, es posible derivar su solución analítica en forma implícita. En primer lugar, tenga en cuenta que a partir de:

d S d t + d I d t + d R d t = 0 , {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}

se sigue que:

S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = constante = N , {\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{constante}}=N,}

expresar en términos matemáticos la constancia de población N {\displaystyle N}

. Tenga en cuenta que la relación anterior implica que solo se necesita estudiar la ecuación para dos de las tres variables.

En segundo lugar, observamos que la dinámica de la clase infecciosa depende de la siguiente proporción:

R 0 = β γ , {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},}

la llamada reproducción básica (también llamado basic relación de reproducción). Esta proporción se deriva del número esperado de nuevas infecciones (estas nuevas infecciones a veces se denominan infecciones secundarias) de una sola infección en una población en la que todos los sujetos son susceptibles. Esta idea probablemente puede ser más fácil de ver si nos dicen que el tiempo típico entre contactos es T c = β − 1 {\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}

, y el típico tiempo hasta la retirada es T r = γ − 1 {\displaystyle T_{i}=\gamma ^{-1}}

. De aquí se deduce que, en promedio, el número de contactos de un individuo infeccioso con otros antes de que se haya eliminado el infeccioso es: T r / T c. {\displaystyle T_ {r} / T_ {c}.}

dividiendo la primera ecuación diferencial por el tercero, separando las variables e integrando obtenemos

S ( t ) = S ( 0 ) e − R 0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / N , {\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}

donde S ( 0 ) {\displaystyle S(0)}

y R ( 0 ) {\displaystyle R(0)}

son los números iniciales de, respectivamente, y susceptibles de eliminarse los sujetos. Escrito s 0 = S ( 0 ) / N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N}

para la proporción inicial de individuos susceptibles, y s ∞ = S ( ∞ ) / N {\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}

y r ∞ = R ( ∞ ) / N {\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}

para la proporción de susceptibles y quita los individuos respectivelyin el límite t → ∞ , {\displaystyle t\to \infty ,}

uno tiene s ∞ = 1 − r ∞ = s 0 e − R 0 ( r ∞ − r 0 ) {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}

(tenga en cuenta que el infecciosas compartimiento vacía en este límite).Este trascendental ecuación tiene una solución en términos de la función W de Lambert, a saber,

s ∞ = 1 − r ∞ = − R 0 − 1 W ( − s 0 R 0 e − R 0 ( 1 − r 0 ) ) . {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}

Esto muestra que al final de una epidemia que se ajusta a las suposiciones simples del modelo SIR, a menos que s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

, no todos los individuos de la población han sido eliminados, por lo que algunos deben permanecer susceptibles. Una fuerza impulsora que conduce al fin de una epidemia es la disminución del número de individuos infecciosos. La epidemia no suele terminar debido a una falta total de individuos susceptibles.

El papel tanto del número básico de reproducción como de la susceptibilidad inicial son extremadamente importantes. De hecho, al reescribir la ecuación para individuos infecciosos de la siguiente manera:

d I d t = ( R 0 S N − 1 ) γ I , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\derecho)\gamma I,}

el resultado es que si:

R 0 ⋅ S ( 0 ) > N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}

entonces:

d I d t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}

es decir, hay una verdadera epidemia con un incremento en el número de las infecciosas (que puede alcanzar una fracción considerable de la población). Por el contrario, si

R 0 ⋅ S ( 0 ) < N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}

entonces

d I d t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}

es decir, independientemente del tamaño inicial de la población susceptible a la enfermedad no puede causar un adecuado brote epidémico. Como consecuencia, está claro que tanto el número básico de reproducción como la susceptibilidad inicial son extremadamente importantes.

La fuerza de infeccióneditar

Tenga en cuenta que en el modelo anterior la función:

F = β I , {\displaystyle F=\beta I,}

modela la tasa de transición del compartimiento de individuos susceptibles al compartimiento de individuos infecciosos, de modo que se llama la fuerza de infección. Sin embargo, para grandes clases de enfermedades transmisibles, es más realista considerar una fuerza de infección que no depende del número absoluto de sujetos infecciosos, sino de su fracción (con respecto a la población constante total N {\displaystyle N}

): F = β I N . {\displaystyle F = \beta {\frac {I}{N}}.}

Capasso y, posteriormente, otros autores han propuesto fuerzas no lineales de infección para modelar de manera más realista el proceso de contagio.

Soluciones analíticas exactas al modelo siredItar

En 2014, Harko y los coautores derivaron una solución analítica exacta (que implica una integral que solo se puede calcular numéricamente) al modelo SIR. En el caso de que sin la dinámica vital de instalación, por S ( u ) = S ( t ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}

, etc., corresponde a la siguiente parametrización de S ( u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}

I ( u ) = N − R ( u ) − S ( u ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}

R ( u ) = R ( 0 ) − ρ ln ⁡ ( u ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}

para

t = β N ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ β N , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}

con las condiciones iniciales

( S ( 1 ) , I ( 1 ) , R ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , N − R ( 0 ) − S ( 0 ) , R ( 0 ) ) , u T < u < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. Por el trascendental ecuación para R ∞ {\displaystyle R_{\infty }}

anterior, se sigue que u T = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = S ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}

, si S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)}

y yo ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0}

.

Un equivalente a los llamados solución analítica (la participación de un integrante que sólo se puede calcular numéricamente) encontrado por Miller rendimientos

S ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ρ ξ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t I ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\I(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}}

Aquí ξ ( t ) {\displaystyle \xi (t)}

puede ser interpretado como el número esperado de las transmisiones de una persona que ha recibido por el momento t {\displaystyle t}

. Las dos soluciones están relacionados por e − ξ ( t ) = u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}

.

Efectivamente, el mismo resultado se puede encontrar en el trabajo original de Kermack y McKendrick.

Estas soluciones pueden entenderse fácilmente observando que todos los términos en el lado derecho de las ecuaciones diferenciales originales son proporcionales a I {\displaystyle I}

. Las ecuaciones por lo tanto puede ser dividido por I {\displaystyle I}

, y el tiempo ajustaron de modo que el diferencial de operador en el lado izquierdo se convierte simplemente d / d τ {\displaystyle d/d\tau }

, donde d τ = I d t {\displaystyle d\tau =Idt}

, es decir, τ = ∫ I d t {\displaystyle \tau =\int Idt}

. Las ecuaciones diferenciales son ahora todos lineal, y la tercera ecuación, de la forma d R / d τ = {\displaystyle dR/d\tau =}

const., muestra que τ {\displaystyle \tau }

y R {\displaystyle R}

(y ξ {\displaystyle \xi }

arriba) simplemente están linealmente relacionadas.

Kröger y Schlickeiser proporcionaron una aproximación analítica altamente precisa del modelo SIR, de modo que no es necesario realizar una integración numérica para resolver el modelo SIR, obtener sus parámetros a partir de datos existentes o predecir la dinámica futura de una epidemia modelada por el modelo SIR. El approximant involucra la función W de Lambert, que es parte de todos los programas de visualización de datos básicos como Microsoft Excel, MATHLAB y Mathematica.

El modelo SIR con dinámica vital y población constantedItar

Considera una población caracterizada por una tasa de mortalidad μ {\displaystyle \mu }

y una tasa de natalidad Λ {\displaystyle \Lambda }

, y donde se está propagando una enfermedad transmisible. El modelo con transmisión de acción masiva es: d S d t = Λ − µ S − β I S N d I d t = β I S N − γ I − µ I d R d t = γ I − µ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda\mu S-{\frac {\beta}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta}{N}}-\gamma I-\mu I\\{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}

para cuyo equilibrio libre de enfermedad ( EFD) es:

(S ( t ) , I ( t ) , R ( t)) = (Λ μ , 0 , 0 ) . {\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\derecho).}

En este caso, podemos obtener una reproducción básica cantidad:

R 0 = β μ + γ , {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}

que tiene umbral de propiedades. De hecho, independientemente de los valores iniciales biológicamente significativos, se puede demostrar que:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = DFE = ( Λ µ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\derecho)}

R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = EE = ( γ + μ β , µ b ( R 0 − 1 ) , γ β ( R 0 − 1 ) ) . {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\derecho),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\derecho)\derecho).}

El punto EE se llama Equilibrio Endémico (la enfermedad no está totalmente erradicada y permanece en la población). Con argumentos heurísticos, se puede demostrar que R 0 {\displaystyle R_{0}}

puede leerse como el número promedio de infecciones causadas por un solo sujeto infeccioso en una población totalmente susceptible, la relación anterior significa biológicamente que si este número es menor o igual a uno, la enfermedad se extingue, mientras que si este número es mayor que uno, la enfermedad permanecerá permanentemente endémica en la población.

The SIR modelEdit

En 1927, W. O. Kermack y A. G. McKendrick crearon un modelo en el que consideraban una población fija con solo tres compartimentos: susceptible, S ( t ) {\displaystyle S (t)}

; infectados, I ( t ) {\displaystyle I(t)}

; y se ha recuperado, R ( t ) {\displaystyle R(t)}

. Los compartimentos utilizados para este modelo constan de tres clases:

• S ( t ) {\displaystyle S(t)}
  

  se utiliza para representar a los individuos aún no infectados con la enfermedad en el momento t, o aquellos susceptibles a la enfermedad de la población.

• I ( t ) {\displaystyle I(t)}
  

  denota los individuos de la población que han sido infectadas con la enfermedad, y son capaces de transmitir la enfermedad a aquellos en la categoría susceptible.

• R (t) {\displaystyle R(t)}
  

  es el compartimento utilizado para los individuos de la población que han sido infectados y luego retirados de la enfermedad, ya sea debido a la inmunización o debido a la muerte. Las personas de esta categoría no pueden volver a infectarse ni transmitir la infección a otras personas.

El flujo de este modelo puede considerarse de la siguiente manera:

S → I → R {\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}

el Uso de una determinada población, N = S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) {\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}

en las tres funciones resuelve que el valor de N {\displaystyle N}

debe mantenerse constante dentro de la simulación, si la simulación es utilizada para resolver el modelo SIR. Alternativamente, el aproximante analítico se puede usar sin realizar una simulación. El modelo se inicia con valores de S ( t = 0 ) {\displaystyle S(t=0)}

, I ( t = 0 ) {\displaystyle I(t=0)}

y R ( t = 0 ) {\displaystyle R(t=0)}

. Estos son el número de personas en las categorías susceptibles, infectadas y eliminadas en el momento es igual a cero. Si se supone que el modelo SIR se mantiene en todo momento, estas condiciones iniciales no son independientes. Posteriormente, el modelo de flujo actualiza las tres variables para cada punto de tiempo con valores establecidos para β {\displaystyle \ beta }

y γ {\displaystyle\gamma }

. La simulación actualiza primero al infectado desde el susceptible y luego la categoría eliminada se actualiza desde la categoría infectada para el siguiente punto de tiempo (t = 1). Esto describe las personas de flujo entre las tres categorías. Durante una epidemia de la categoría susceptible no cambió con este modelo, β {\displaystyle \beta }

cambios durante el curso de la epidemia y lo hace γ {\displaystyle \gamma }

. Estas variables determinan la duración de la epidemia y tendrían que actualizarse con cada ciclo. d S d t = − β S I N {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta SI}{N}}}

d I d t = β S I N − γ I {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I}

d R d t = γ I {\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}

Varios de los supuestos de hecho en la formulación de estas ecuaciones: En primer lugar, se debe considerar que un individuo de la población tiene la misma probabilidad que cualquier otro individuo de contraer la enfermedad con una tasa de a {\displaystyle a}

y una fracción igual de b {\displaystyle b}

de personas con las que un individuo hace contacto por unidad de tiempo. A continuación, vamos a β {\displaystyle \beta }

ser la multiplicación de un {\displaystyle un}

y b {\displaystyle b}

. Esta es la probabilidad de transmisión por la velocidad de contacto. Además, una persona infectada entra en contacto con b {\displaystyle b}

personas por unidad de tiempo, mientras que sólo una fracción, S N {\displaystyle {\frac {S}{N}}}

ellos son susceptibles.Por lo tanto, tenemos todos los infecciosa puede infectar a b S = β S {\displaystyle abS=\beta S}

personas susceptibles, y por lo tanto, el número total de susceptibles infectados por infecciosos por unidad de tiempo es β S I {\displaystyle \beta SI}

. Para la segunda y tercera ecuaciones, considere que la población que sale de la clase susceptible es igual al número que entra en la clase infectada. Sin embargo, un número igual a la fracción γ {\displaystyle \gamma }

(que representa la tasa media de recuperación/mortalidad, o 1 / γ {\displaystyle 1/\gamma }

el período infeccioso medio) de los infectivos están dejando esta clase por unidad de tiempo para ingresar clase. Estos procesos que ocurren simultáneamente se conocen como la Ley de la Acción de Masas, una idea ampliamente aceptada de que la tasa de contacto entre dos grupos de una población es proporcional al tamaño de cada uno de los grupos en cuestión. Finalmente, se asume que la tasa de infección y recuperación es mucho más rápida que la escala de tiempo de nacimientos y muertes y, por lo tanto, estos factores se ignoran en este modelo.

estado Estacionario solutionsEdit

se espera que La duración de la susceptibilidad será E ⁡ {\displaystyle \operatorname {E} }

donde T L {\displaystyle T_{L}}

refleja el tiempo de vida (esperanza de vida) y T S {\displaystyle T_{S}}

refleja el momento en el susceptible de estado antes de ser infectado, que puede ser simplificado a: E ⁡ = ∫ 0 ∞ e − ( μ + δ ) x d x = 1 μ + δ , {\displaystyle \operatorname {E} =\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}

tales que el número de personas susceptibles es el número de susceptibles de entrar en el compartimiento µ N {\displaystyle \mu N}

veces la duración de la sensibilidad: S = µ N μ + λ . {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}

de forma análoga, el estado estacionario número de personas infectadas es el número de entrar en el infectadas estado de los susceptibles de estado (número de susceptibles, los tiempos de la tasa de infección λ = β I N , {\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta}{N}},}

veces la duración de la infecciosidad 1 μ + v {\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}

: I = µ N μ + λ λ 1 μ + v . {\displaystyle I={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu +v}}.}

Otros modelos compartimentaleseditar

Hay muchas modificaciones del modelo SIR, incluidas las que incluyen nacimientos y defunciones, donde al recuperarse no hay inmunidad (modelo SIS), donde la inmunidad dura solo por un corto período de tiempo (SRIS), donde hay un período latente de la enfermedad donde la persona no es infecciosa (SEIS y SEIR), y donde los bebés pueden nacer con inmunidad (MSIR).